13 多變數函數

1. 13 多變數函數 Functions of Several Variables

2. 13.1 多變數函數導論 13.2 極限與連續 13.3 偏導數 13.4 微分 13.5 多變數函數的連鎖規則 13.6 方向導數和梯度向量 13.7 切平面和法線 13.8 兩變數函數的極值 13.9 兩變數函數極值的應用 13.10 拉格朗日乘子法

3. P.559 Ch13 多變數函數 13.4 微分(Differentials) 全微分的定義 如果 z = f (x, y) 並且Δx 和Δy 是 x 和 y 的增量 (Incremental)，則獨立變數 x 和 y 的微分是 dx =Δx和 dy =Δy 我們定義因變數 z 的全微分(Total differential) dz 如下：

4. P.560 Ch13 多變數函數 例 1求全微分(Total differential) 求下列各函數的全微分。 a. z = 2x sin y – 3x2y2 b. w = x2 + y2 + z2 解 a. 函數 z = 2x sin y – 3x2y2的全微分 dz 是 b.函數 w =x2 + y2 + z2的全微分 dw 是

5. P.560 Ch13 多變數函數 可微的定義(Definition of differentiable) 如果函數 z =f (x, y) 在點 (x0, y0) 相應於Δx，Δy 兩 個增量所得的增量Δz =f (x0 +Δx, y0 +Δy) – f (x0, y0) 可 以表成 Δz =fx(x0, y0)Δx + fy(x0, y0)Δy +ε1Δx +ε2Δy 其中ε1和ε2會隨著 (Δx, Δy) → (0, 0) 而同時趨近於 0，函數 f (x, y) 就稱為在 (x0, y0) 可微。如果 f 在一開區 域 R中處處可微，就稱 f 在 R 上可微。

6. P.560 Ch13 多變數函數 例 2說明函數的可微性 說明函數 f (x, y) = x2 + 3y 在平面上處處可微。 解　令 z =f (x, y)，則平面上任一點 (x, y)，z 的增量是 其中ε1 =Δx，ε2 = 0，由於當 (Δx,Δy) → (0, 0) 時， ε1和ε2都趨近於 0，所以 f 在平面上處處可微，f 的 圖形如圖13.34 所示。

7. P.561 Ch13 多變數函數 圖13.34

8. P.561 Ch13 多變數函數 定理13.4可微的充分條件(Sufficient condition for differentiability)

9. P.561 Ch13 多變數函數 以微分求近似值 定理13.4 說明當 (x +Δx, y +Δy) 與 (x, y) 相當接近的 時候，ε1Δx 和ε2Δy 的誤差可忽略，換句話說，當 Δx 和Δy 很小的時候，Δz 可 dz 來近似 Δz ≈ dz。 圖13.35 展示近似情形，記得偏導數 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y 可 解釋為曲面上 x-方向和 y-方向的斜率，即下列方程式 表示曲面在 (x, y, f (x, y)) 此點當 x 變化到 x +Δx，y 變 化到 y +Δy 時，其切面高度的變化，又因為空間中平 面方程式是 x, y, z 的線性（一次）表示，所以用 dz 來 近似Δz 稱為線性近似。

10. P.561 Ch13 多變數函數 圖13.35z的準確變化是Δz，Δz可以微分dz來近似。

11. P.561 Ch13 多變數函數 例 3以微分求近似值 當 (x, y) 從點 (1, 1) 變化到點 (1.01, 0.97) 時，請以 dz 求　　　　　　 變化的近似值，並與準確值比較。 解　令 (x, y) = (1, 1)，(x +Δx, y +Δy) = (1.01, 0.97) 得 到 dx =Δx = 0.01，dy =Δy = –0.03，所以 z 的變化可 以下式近似

12. P.561 Ch13 多變數函數 例 3（續） 當 x = 1 和 y = 1 時，可得 從圖13.36 可以看出準確的變化量對應的是上半球面上 兩點的高度差。此差額是

13. P.562 Ch13 多變數函數 圖13.36當(x, y) 從(1, 1) 變化到(1.01, 0.97) 時，f (x, y) 的變化大約是0.0137。

14. P.562 Ch13 多變數函數 例 4誤差分析 量測一長方體盒子各邊的誤差是±0.1 毫米，如圖13.37 量測的結果是 x = 50 公分，y = 20 公分，z = 15 公分， 請以 dV 估計計算體積時的傳遞誤差和相對誤差。 解　盒子的體積是 V = xyz，因此 由於 0.1 毫米 = 0.01 公分，所以 dx =dy =dz =±0.01， 代入上式得到傳遞誤差的近似值是 dV = (20)(15)(±0.01) + (50)(15)(±0.01) + (50)(20)(±0.01) =300(±0.01) + 750(±0.01) + 1000(±0.01) =2050(±0.01) = ±20.5 立方公分

15. P.562 Ch13 多變數函數 例 4（續） 又因量出的體積是 V = (50)(20)(15) = 15,000 立方公分 相對誤差ΔV/V 的近似值是

16. P.562 Ch13 多變數函數 圖13.37體積= xyz。

17. P.563 Ch13 多變數函數 定理13.5可微一定連續(Differentiability implies continuity) 正如單變數的情形，如果兩個或兩個以上變數的函數 在一點可微，則函數也會在該點連續。

18. P.563 Ch13 多變數函數 例 5不可微的函數 函數 f 定義如下 說明 fx(0, 0) 和 fy(0, 0) 存在，但是 f 在 (0, 0) 不可微。 解　我們先說明 f 其實在 (0, 0) 並不連續（因此從定理 13.5 得知 f 當然在 (0, 0) 不可微）。請看，當 (x, y) 沿著 兩個不同的路徑趨近 (0, 0) 時，f (x, y) 值的變化如圖 13.38 所示。 沿直線 y =x，f (x, y) 的極限是

19. P.564 Ch13 多變數函數 例 5（續） 沿直線 y = –x，f (x, y) 的極限是 因此當 (x, y) → (0, 0) 時，f (x, y) 的極限無法存在。所以f 在 (0, 0) 不連續，由定理13.5 可知 f 在 (0, 0) 不可微。另 一方面，從 fx和 fy的定義出發計算。 和 所以在 (0, 0) 的兩個偏導數存在。

20. P.564 Ch13 多變數函數 圖13.38