情報メディア創成学類解析 II (Analysis II) GC1 1201

情報メディア創成学類解析 II (Analysis II)GC1 1201 授業資料（ 4/11,18日分）

本資料について • 本資料では、教科書の内容に沿って、意味や背景説明、補足事項、関連・発展事項などについて記す。 • 練習問題や立ち入った説明などは、別途テキスト資料を web に掲載する。 • 数式などはすべてを再掲はしないので、教科書記述と併用して読むこと。

第４章：級数（概要） • 級数とは何か（定義・実例） • 級数の収束・発散一般的な収束条件、具体的・特殊な例 • 整級数（ベキ級数）多項式（整式）の項数を∞にしたもの • 関数列・関数項級数（可能な範囲で取り上げる）

コーシー列（pp.139-141） • 数列　　　　　　　　がコーシー列：（十分先のほうでは）数列の要素同士が互いにいくらでも近くにある、ということ。 • 参考：　収束列の場合には、数列の要素がある特定の点（極限値）にいくらでも近い。 • 目的：　数列がコーシー列であることと、それが収束するかしないかとの関係

コーシー列（２） • 比較する要素同士は、添字がどんなに離れていてもよい。 • よくある間違い • 隣どうしの項だけしか見ない：× • 問題：　　　　　　　　　　　　であっても、数列自体は発散する例を示せ。

コーシー列（３） • 「収束列はコーシー列である」 (4.1.2)これは当たり前。問題はこの逆： • 「コーシー列は収束列である」(4.1.3) • つまりコーシー列なら極限が存在するということ • これは実数の基本的な性質（実数の完備性）の反映である。 • また実数の完備性を表現する１つの方法でもある。 • 与えられた数列が収束するか否かの判定方法を与えてもいる（ただし極限値がわかるとは限らない）。

参考：　実数の完備性 • 実数全体の集合には「隙間（穴）がない」、ということ。 • 本によっては「実数の連続性」と書いてあるものもあるが、「完備性」のほうが適切。 • 参考：「稠密（ちゅうみつ）」：どんな狭い間隔をとっても、その間に必ず集合の要素が存在。 • 稠密性と完備性とは一見似ているが、別物。例えば有理数全体の集合は稠密だが完備ではない（いくらでも隙間がある：無理数のところ）

参考：　実数の完備性（２） • （互いに同等な）表し方は多数ある。 • 有界数列には収束部分列が存在 (2.2.3) • 有界な単調数列は収束する (2.2.4) • 有界な集合には上限が存在する (3.1.9) • コーシー列は収束列である (4.1.3) (Cauchy, Cantor) • 　　　　　　　　　　　　　　　　で　　　　　　　　　なら　　　　　の共通極限が存在する (Weierstrass) • 「デーデキントの切断」 (Dedekind)実数の分割は上端・下端の一方のみ存在する

参考：　実数の完備性（３） • 数学としては、前スライドに掲げた完備性の諸性質を論じるのが本筋だが、この授業では立ち入らない。 • しかしこれらの性質は、具体的な応用においても重要！ • 特に数列・級数の収束の判定例： • 正項級数が一定値を超えないなら収束 (2.2.4) • 交項級数の収束 (4.1.19)

参考：三角不等式について • (4.1.2)～(4.1.4) の証明でも使われている三角不等式は、極限を扱う場合の基本的な証明手段の１つ。 • 原型：２次元以上のベクトルのノルム（長さ）でも成り立つ。 • 実際の使用は次の形が多い。　

級数とは (series) • 数列　　　　　　　　　の要素の形式的な和： • 定義については様々な問題や議論があるが、ここでは立ち入らない。 • 部分和：級数の和（定義）： • 級数を部分和数列とは別個に考えるのは、各項を独立して扱うのが重要かつ簡単なことが多いから。　

級数とは（２） • 和の定義 (4.1.6) の意味 • 収束しない（発散する）場合には無限和は存在しない！コーシー以前の大問題：（これは (4.1.6) に基づけば発散する。） • （一般には）和をとる順序は変えられない！（有限和の場合には自由に変えられた） • 順序を変えると和が変わってしまう場合がある。 • それどころか、順序を変えて任意の値に収束させることもできる！（参考： p.148 コメント） • 順序を自由に変えられる場合もある。(4.1.23)

級数とは（３）：（4§2 以降の内容） • 級数の項 anが変数 xを含むとき、形式的には xを変数とする関数と見なせる。（関数（項）級数） • 例：　整級数、三角級数（フーリエ級数） • 一般に関数級数は、変数の値に応じて収束・発散が分かれる。 • 関数級数は、多様な関数を統一的に表し、分析したり、関数値の具体的な計算など、多様で重要な用途を持つ。

級数の収束 • 数列の場合もそうだが、特に級数の場合、 • 収束するかどうかの判定と、 • 実際の極限値（級数の和）を求めることとは別問題。 • 収束自体は比較的簡単に示せても、実際の極限値を求めるのが難しい場合が多い。（場合によっては未解決問題） • したがって収束判定の方法が重要となる。

級数の収束（２） • 基本は部分和数列 {Sn} が収束すること。⇒Snに数列の収束の判定方法を用いればよい。しかし！　（次スライド参照） • 特殊な場合については個別に判定条件が考えられる。 • 正項級数 • 交項級数（交代級数） • 絶対（値）収束級数⇔　条件収束級数 • 級数の和（収束値）を具体的に求めるのは困難。実際に解けるのは、いくつかの既知な場合に帰される場合のみ（等比級数など）。

級数の収束：一般の場合 • 部分和数列 {Sn} の収束を調べればよい。 • しかしそれができるのは、 Sn が簡単な式で表される（つまり一般項がわかる）ような場合に限られる。　　　例： • 収束の必要条件：　数列の項が０に収束(4.1.7)　　　（十分条件ではない。） • コーシー列であることの言い換え (4.1.9)

正項級数（１） • 正項級数の部分和は単調増加 • したがって上に有界なら収束 (2.2.4) • どのような nでも　　　　　　　　　が成り立つA を見つければよい • (4.1.12) ：上から収束数列（優級数）で押さえる • また収束するなら絶対値収束 (4.1.21~3) • 収束判定や極限値の計算で、項の順番を自由に入れ替えてよい。

正項級数（２） • 項別情報による収束判定 (4.1.13)（ダランベール、コーシー） • 「急速に」収束する級数には有効：必ずしも使い道が広くはない • 積分近似による収束判定 (4.1.15) • うまく積分式で近似でき、その積分計算が簡単にできれば有効な方法 • 多くの場面で使われる（n! の漸近展開等）

正項級数（３）：　極限値の評価 • 単調増加なので、部分和 Snは極限値の下からの評価（過小評価）を与える • 上からの評価は直接には得られない（個別に工夫する必要がある） • したがって部分和による過小評価も、どれぐらい真値に近いかは直接にはわからない

交項級数（交代級数）　(4.1.18) • an（の絶対値）が単調減少して 0 に収束するなら、和が存在する (4.1.19) a0≧0（したがって a1≦0, a2≧0, ...）なら、のように奇数項は単調増加、偶数項は単調減少して共通極限に収束する。 • したがって、収束判定だけでなく、極限値の評価も上下から評価できる

参考：ゼータ関数 (4.1.16) • ゼータ関数： • sが実数のとき、s>1 なら収束、s≤1 なら発散 • s が偶数の場合には具体的な表現式は知られているが、奇数の場合はほとんどわかっていない。ζ(3) は無理数であることは知られているが、具体的な表現式は未解決問題。 • sを複素数に拡張した複素ゼータ関数は、数学最大の未解決問題である「リーマン予想」と直接関係している。

収束の速さ（半分復習） • （教科書 2.3.5 (p.60), 2.5.5 (p.79), 「無限大・無限小の比較」 2.5.11 (p.83)） • 以下の話は関数の場合だけでなく、数列・級数に対しても当てはまる。 • 一般にであっても、両関数が同じように収束していくとは限らない。 • 収束の「速さ」の違いをどう表すか。

収束の速さ（２） • 一般に lim f(x), lim g(x) が存在するとき（±∞ も含む：極限値は必ずしも同じでなくてよい）： • (1)： f(x) はg(x) より収束が遅い： f(x)≫g(x) • (3)： f(x) はg(x) より収束が速い： f(x)≪g(x) • (2)： f(x) とg(x) は同程度の速さ：f(x)～g(x)

収束の速さ（３） • f(x)～g(x)　のとき、 f(x)=o(g(x)),g(x)=o(f (x))などとも書く。（記法は本により異なる） • o(...) の中は、よく知られた関数を書くのが普通。これにより収束速度が比較できる　例：　x→0 のとき、これは xが十分小さいとき、左辺が右辺で近似できることも表す。

整級数　（pp.150~163） • 変数 xの多項式の無限級数版。 • ベキ（冪・巾）級数とも言う。 • テイラー展開は典型的な整級数の例。 • 整級数の真価は、xを複素変数として扱った複素関数の世界に行かないとわからない。 • 整級数で表せる複素関数を「正則関数」という。正則関数は複素解析の中心的存在。

整級数（２） • 整級数のもっとも基本的な性質：収束域・収束半径の存在。(4.2.3)～(4.2.7) • 整級数　　　　　に対し、あるが存在して、 |x|<rなら収束、|x|>rなら発散（r=∞ の場合はすべての x で収束）|x|=r のときは場合による。(4.2.21)

収束半径の求め方 • 一般には (4.2.7) による。 • これらは級数の収束についてのダランベール、コーシーの判定法 (4.1.13) の応用 • ダランベールの判定法の場合、an=0 となる場合が無数にあるとそのままでは使えない。 • しかし例えば nが偶数のとき an=0 なら、奇数項についてだけ考えればよい。 • コーシーの判定法にはそういう問題はないが、計算はこちらの方が面倒。 • テイラー級数などで、あらかじめ収束半径がわかっている関数から導くほうが実用的。

参考：　収束半径について • 整級数は、複素数の範囲で考えないと真価がわからない。複素整級数は、複素関数論の中核を占める極めて重要な存在 • 複素数の世界で考えると、次の定理が成り立つ。 • 整級数　　　　　の収束半径がr なら、|z|=rの円上で、級数が発散する点（特異点）が必ず存在する。

テイラー展開 • 与えられた関数 f(x) に対し、整級数：　　　　　　が収束するなら、これをf(x) の　　　　　　（x=0 での）テイラー展開という。 • 一般に x=aでのテイラー展開は： • x=0 でのテイラー展開を「マクローリン展開」と呼ぶこともある。　 • 基本関数のテイラー展開 (4.2.14) は覚えておくとよい

テイラー展開（２） • テイラー展開は関数を整級数として表す。したがって有限項の部分和は多項式で表され、関数の近似値を与える • 多項式なので、加減乗除だけで計算できる • したがって関数値を具体的に計算する方法として、実用的にも理論的にも極めて重要！ • ただし、収束速度については関数によりかなりの違いがある。 • 遅い場合には加速法などの工夫が必要 • 実際のインプリメントでは、あらかじめ計算した表を用意するなど、様々な工夫がなされる。

例 • sin 1 (=0.8414...) を求める。 • e(=2.71828...) を求める。

テイラー展開（３） • 関数の和・差のテイラー展開は、テイラー展開の和・差 • 収束半径は、２つの収束半径の小さい方 • 積についても同様だが、整級数の形に整理するのは面倒

テイラー展開（４）：　関数の合成 • g(x) が xの整式なら　　　　　　　　　　に対しが成り立つ。 • ただし、整級数　　　　　　の形に直すには、項を適当に整理する必要がある。 • もとの級数の収束半径が r なら　　　　　　で収束するのだから、(☆) は　　　　　　　で収束する

前スライドの例 • 　　　　　　　　　　　　　　　　　で x→x2とすると項別積分して： • これは円周率計算などで用いられる • x=1 でも収束し、（ライプニッツ・グレゴリーの公式：収束は遅い）

テイラー展開（５） • 一般のテイラー展開： • 例： • この収束半径は • これにより、f(x) がテイラー展開で表せる範囲を広げていける（＝解析接続）

多項式（整式）、２項定理 • f(x) が多項式（整式）なら、展開式がそのままテイラー展開 • ２項定理はその具体例　（収束半径は∞） • f(x) で x=y+a と置いて yで整理すれば、 y=aでのテイラー展開になる

一般の２項定理　(4.2.19) • ２項定理の nを自然数でなく、任意の実数としたもの • αが自然数でなければ収束半径は 1 • これを用いて様々な関数が表せる • ニュートンの微積分研究は、この一般の２項定理が中心的役割を果たしている

項別微分・積分 • 収束半径内では（一定の条件のもとで）項別に微分・積分できる。　(4.2.17) • 普通の関数については可能 • 一般の関数列の項別積分については (4.3.9), (4.3.10), (4.3.15) 参照 • 項別微分についてはもっと条件が面倒になる • 収束円上での収束　(4.2.21): 省略

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