情報メディア創成学類解析 II (Analysis II) GC1 1201

情報メディア創成学類解析 II (Analysis II)GC1 1201 平賀　譲春日研究棟　7D209/ 7B214 hiraga@slis.tsukuba.ac.jp http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/analysis2/http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga.yuzuru.gf/analysis2/

担当者・連絡先 • 担当教員：　平賀譲 • 居室：　7D209 研究室、7B214（学類長室） • オフィスアワー：　水曜日 10:00～12:30オフィスアワーは特に設定しない • 訪問は対応可能な場合には受け付けるが、予約をとることが望ましい • 比較的空いているのは木曜、金曜午後ただしレポート提出前日等は原則として不可 • manaba による質問等の受付については検討中

日程（春学期 AB） • ４月　１１、１８、２５日 • ５月　２、１６、２３、３０日（９日は火曜振替） • ６月　６、１３、２０日期末試験：　６月２７日

履修ポリシー • 「解析 I」で不可（D）であった学生の受講は制限しない。 • ただし、内容的には「解析 I」の内容を習得していることが前提なので、きちんと理解していないと本科目の単位もおぼつかない。 • 他学類履修者は「自由科目」扱いとなる。（ただし、学類規定によってはその限りでない）

授業の進め方 • 授業のスタイル：　講義＋演習 • 板書およびプロジェクタを併用する • 必要に応じて実習室を用いる • 成績評価 • 期末試験 • 演習（小テスト）＋レポート（２～３回） • （出席状況） • 出席は毎回とる（出席表を回覧）

教科書・資料・参考書 • 教科書齋藤正彦　「微分積分学」（東京図書）（「解析 I」と同じ）：　　４～６章（＋α） • 若干部は春日購買部にて販売中 • 参考書については随時案内する • レポート問題等：　授業時に配布 • 授業の補足資料等　⇒　次スライド

授業の資料、連絡 • 授業ページ（資料配布・連絡等）http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/analysis2/ • ただし、manaba を利用する（資料配布等を manaba に移動する）かもしれない • 授業の資料等（PPT 資料を含む）は原則として上記より各自がダウンロード・プリントアウトする（こちらで配布はしない）

授業の概要とねらい • 級数の基本事項 • 級数の収束・発散 • 整級数（ベキ級数） • 関数列 • 多変数関数の解析（実際には２変数関数の場合を扱う） • 極限概念、位相の基礎（距離、開集合、閉集合）、関数の連続性 • 多変数関数の微分（偏微分、（全）微分）とその応用 • 多変数関数の積分（重積分、線積分）とその応用 • その他

授業の概要とねらい（２） • 基礎的な概念理解、計算力を身に付ける。特に　「微分」　の概念 • 数学における抽象的な扱い・考え方・論証方法に習熟する • 実際の現象を理解する数理的視点や、問題を解決するための応用力を養う • （数学ソフトなどのツールを使いこなす）

教科書との関係 • 教科書（４章～６章）が主な対象だが、そのすべての内容を扱うわけではない • 逆に授業や補足資料で、教科書にない内容を扱う場合もある • 教科書の例題、練習問題などは自力で解ける水準に達することが望まれる（もっとも中には難しい問題もある）

他科目との関係 • 「解析 I」の内容はすべて前提となる • 「線形代数 I, II」とは密接なつながりがある（話によってはそちらを先取りする） • 「確率と統計」、「統計分析」、「情報数学 III」（幾何学）、「信号とシステム」などに必須の前提となる • その他、数理系科目全般の基礎となる

履修者に望むこと • 「大学生」としての履修・勉強をする • 「言われたから（言われたことだけを）やる」といった受け身な態度ではダメ • わからないところがあったらそのままにしておかない質問する、学生同士で教えあうなど • 遅刻しないこと！ • 何のために勉強するのか、何を修得することを目的とするのかを常に自覚しておく • 授業の前より一歩でも半歩でも前進していること

数学計算ソフト、ネット上の資料

数学計算ソフト（１） • 主な用途・目的 • 定型的な数値的計算（複雑な計算は電卓よりラク） • グラフ、画像の生成・表示 • 記号的な数学計算（微分・積分・因数分解等） • 補助的・実用的ツールとしては非常に有用。もちろん、「手計算でもできる」ことが前提

数学計算ソフト（２） • 全学計算機システムで使えるもの（いずれも Windows モード）： • Mathematica　（無制限）高度・高機能な描画・記号計算ソフト • Matlab　　（25ライセンス）Mathematica よりは機能は劣るが、その分使い心地は軽い。信号計算などに強い • Excel表計算、簡単なグラフ作成うまく使えばいろいろ利用価値あり

数学関係 Web サイト例 • Wolfram MathWorldhttp://mathworld.wolfram.com/Mathematica の製作会社が提供する Web 百科事典 • Online Encyclopedia of Integer Sequenceshttp://www.research.att.com/~njas/sequences/あらゆる数列（整数列）の百科事典 • Wikipedia • 授業ページのリンクも参照

MATLAB 実習（第１回） • 本日２時限目に実習室 IIIで簡単な講習を行う • 全学システムでは、ライセンス上の制限によりMATLAB を同時に２５個しか起動できないので、適宜交代してもらう • 合わせて Mathematica も使用する（以下には資料はない）

授業の関連ページ • 授業ページ（トップ）http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/analysis2/ • 数学計算ソフト資料http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/analysis2/resource/tools.shtml • 上にある「簡易マニュアル」、「使い方 (1), (2)」、「クイックガイド」なども参照 • MATLAB の冊子版マニュアルは実習室奥の準備室にある

MATLAB の起動 • 全学計算機システムの Windows にログインする • MATLAB プログラム (MATLAB R2012b) を起動する • 初回は（デスクトップになければ）「すべてのプログラム」から（次ページ） • デスクトップアイコン、スタートメニューなどに入れておくとよい • 注：　リモート環境からは使えない（？）

起動時のウィンドウ（すぐ消える） 注：これらは平賀マシン（R2009b）でのイメージなので、全学システム（R2012b）とは見かけが少し異なるスタートメニューからの起動

起動時の初期画面 • 左右のカレントフォルダ、ワークスペース、コマンド履歴などは適宜非表示にしてもよい

MATLAB の終了 • コマンドウィンドウで：>> quitと打つ • ないし：MATLAB ウィンドウを終了する • 計算が暴走して中途で打ち切る場合には、ctrl-C とすれば止まる（場合もある）（↑コントロールと C を同時に打つ）

ヘルプ、　オンラインドキュメント • コマンドウィンドウで：>> help 関数名と打つと、そのコマンドの説明が表示される • >> helpwinヘルプウィンドウを起動する（右図）

出力表示の制御 • Help などの長い説明文や、大きな出力がある場合、そのまま表示すると画面上で流れていってしまう。あらかじめ： >> more onとしておけば、画面がいっぱいになった時点でいったん表示が停止する（help more 参照） • More の指定を取り消すには：>> more offとすればよい

簡単な計算例（１） • 数式をそのまま入力すれば、計算して結果が表示される。結果は「ans=……」の形で示される（ansは特別な変数）（以下では改行を詰めてある）>> 1+2+3ans = 6 >> sum(1:100)ans = 5050 % 1から100の和 • “%” より後ろはコメントとして扱われる

簡単な計算例（２） • 値を保存しておくには、「xxx=……」のように変数への「代入文」の形で書くxxx は適当な変数名>> a = 1*2*3*4+5+6+7*8+9a = 100 • 計算結果を表示しないためには末尾に“；”（セミコロン）を入れる >> a = 1*2*3*4+5+6+7*8+9;　　　（計算はするが結果は表示されない）

演算記号、関数 • 加減乗除、べき乗の演算記号は：+ - * / ^ • ただし、ベクトル演算では後の３つは：.* ./ .^のように、前にピリオドをつける • 三角関数（sin(x), cos(x)）、指数・対数関数（exp(x), log(x)）など、多数の組込関数がある（詳細略） • 円周率は pi という変数名で表す

ベクトル（１次元配列）を作る • 要素を並べて [……] で囲う>> a = [3 1 4 1 5 9]; • コロン演算子を使う>> a = 1:10 a = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] >> b = 0:0.1:0.5 b = [0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5] • ２つの配列をつなぐ>> c = [a b] ←　どうなるか？

１変数関数のグラフ • 　　　　　　　　　　　　　　のグラフを描く。>> x = -2:0.01:2;>> y = x.^2;>> plot(x, y); • 三角関数のグラフを描く。>> x = -4*pi:pi/360:4*pi;>> y1 = sin(x); y2 = cos(x);>> plot(x, y1, ’b’); % sin は青色>> hold on;% 　重ね書き>> plot(x, y2, ’r’);% cosは赤色>> hold off; % 　重ね書き終了

２変数関数のグラフ • >> [x y] = meshgrid(-2:0.1:2);>> z = x .* exp(-x.^2-y.^2);>> mesh(x, y, z); % メッシュ図（下）>> contour(x, y, z);% 等高線図>> surf(x, y, z);>> shading interp;% 面の塗りつぶし、%Gouraud shading

記号計算（１） • シンボリック変数の宣言と式の代入>> syms x y z n; f = (x+y+z)^3 • 式の変形>> expand(f) % 式の展開>> factor(ans) % 因数分解>>simplify(ans) % 簡単化 • 簡易グラフ>> ezplot(x*sin(x));

記号計算（２） • 微分・積分>> diff(sin(x),x) >> diff((x+y)^2, y) % 偏微分>> int(x^2, x) % 不定積分>> int(x^2, x, 0,1) %　定積分 • 極限・級数・テーラー展開>> limit(sin(x)/x, x, 0)>> symsum(1/n^2,n,1,inf)>> taylor(sin(x))

デモプログラム（１）：MATLAB ロゴ • >> logoと打つと、別ウィンドウ（右図）に MATLAB のロゴが表示される • 参考：　これは「L字領域の膜振動の固有関数」のグラフ>> vibesとすれば振動している動画が表示される

デモプログラム（２）：音響データ • >> load handel>> specgramdemo(y, Fs)と打つと、下図のようなスペクトログラム（音響データのグラフ表示）が表示される • 音の再生もできるが、回りの迷惑にならないように注意

その他のデモプログラム • >> demoと打てば、各種のデモプログラムや、チュートリアルビデオへの案内が表示される • これらの多くはソースプログラムも見ることができるので、MATLAB の勉強にもなる

プログラミング言語として • 複雑な処理は MATLAB プログラムとして書き、ファイルに保存・実行できる • プログラミング言語としては「プログラミング実習」で扱う C 言語と似たところが多いが、微妙に違う点もいろいろあるので注意が必要である • 実際の研究でも多くのアプリケーションが作成・利用されている（特に信号処理・画像処理等）

情報メディア創成学類解析 II (Analysis II) GC1 1201