一 、 摘要 ：

1. 拼拼湊湊大集合 一、摘要 ： 我們的研究乃是以直角三角形的三邊各為邊長，畫出等比例相似多邊形（正三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形、正六邊形）。再經由裁剪拼貼的方式，比較這些多邊形之間的面積關係，發現以直角三角形的勾股弦各為一邊的邊長，分別向外作等比例相似多邊形，則弦上圖形的面積等於勾和股上圖形的面積之和。而證明勾股定理的幾何關係，除了可以用正方形面積證明外，也可以用相似比例的多邊形證明。此外，我們也發現先把勾或股上兩者之任一多邊形，對齊弦上圖形的某一個邊或角後，再將另一個多邊形裁剪成數塊去填補剩餘的面積部分，是步驟最少而效率最高的裁剪拼貼方式。總而言之，勾股定理a2＋b2＝c2對我們而言，原本看似一成不變的刻板公式，經過實際的操作驗證之後，發現其實每個公式都是根據一些很簡單的原理，很科學化的整理出來的，而「公式」也就不再那麼遙不可及了。 二、研究動機： 四年級上數學課時，老師教導我們如何用直尺與三角板畫平行線。我們注意到每組三角板都是以兩種不同邊長比例的直角三角形組合而成。經老師介紹，我們知道了勾股定理（畢氏定理）一般是以正方形面積驗證，而形成通用的公式a2+b2=c2，但不知道如果用其他多邊形圖形拼貼，是否也可以驗證勾股定理？ 三、研究目的： 以直角三角形的三邊各為邊長，畫出等比例相似多邊形。經由嘗試各種裁剪拼貼的方式，試驗看看是否兩個小的多邊形面積和會等於大的多邊形面積，而驗證勾股定理。並希望在拼貼驗證的過程中，我們也可以找出步驟最少而效率最高的裁剪拼貼方式。 四、文獻探討： 在我們所蒐集的資料中，提到畢氏定理(勾股定理) 是由古希臘數學家畢達哥拉斯(Pythagoras,公元前572年至公元前492年)發現的，證明出直角三角形兩股平方和等於斜邊的平方。其實早在公元前1100年左右，中國數學家商高已發現「勾三、股四、弦五」的關係，勾指直角三角形中短的直角邊，股為長的直角邊，弦為斜邊，並用它做計算及測量，所以此定理又稱勾股定理或商高定理。而畢氏定理普遍是以直角三角形一股為邊長的正方形面積加上另一股為邊長的正方形面積等於斜邊為邊長的正方形面積來證明。畢氏定理經歷25世紀，發現了數百種的幾何論證法，其中也不乏對此定理的變形與推廣作廣泛的引申討論，然而對於畢氏定理演繹出的各種相似多邊形的實際裁剪分割，卻沒有太多的研究。因此，我們希望透過親身的操作拼貼驗証，以期更加認識所謂的畢氏定理公式。 五、研究設備及器材：紙、圓規、膠水、三角板、直尺、量角器、剪刀。 六、研究過程： 就常接觸到的多邊形中，選出正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形、正六邊形，共計九種圖形進行拼貼驗證。 1正方形 (1).作出正方形：以直角三角形的三邊，分別為邊長五公分、四公分、三公分，當作正方形 A、B、C的邊長，再將正方形B和C拼貼於正方形A上。 (2).如何剪貼：將正方形B對齊於A的邊緣直角上方並貼上去，因為是相似圖形，所以角度剛好。接著把正方形C剪成三塊，最後將正方形C的三部份分別拼貼在正方形A上，如圖一所示。 2正三角形 (1).作出正三角形：以直角三角形的三邊，分別為邊長五公分、四公分、三公分，

2. 正三角形A、B、C的邊長，再將正三角形B和C拼貼於正三角形A上。正三角形A、B、C的邊長，再將正三角形B和C拼貼於正三角形A上。 (2).如何剪貼：將正三角形B對齊於A的邊緣上方並貼上去。接著把正三角形C剪成三塊，最後 將正三角形C的三部份分別拼貼在正三角形A上，如圖二所示。 3直角三角形 (1).作出直角三角形：以直角三角形的三邊，分別為邊長五公分、四公分、三公分，各當作直 角三角形A、B、C的底邊之長度，而直角三角形的三個角度分別為90度、60度、30度，再 將直角三角形B和C拼貼於直角三角形A上。 (2).如何剪貼：將直角三角形B對齊於A的邊緣上方並貼上去，因為是相似圖形，所以角度剛 好。接著把直角三角形C剪成三塊，最後將直角三角形C的三部份分別拼貼在直角三角形A 上，如圖三所示。 4等腰三角形 (1).作出等腰三角形：以直角三角形的三邊，分別為邊長五公分、四公分、三公分，當作等腰 三角形A、B、C的底邊，在底邊中心點做相等於底邊長度的中垂線也就是高，並連接各點 做成三個等腰三角形A、B、C，再將等腰三角形B和C拼貼於等腰三角形A上。 (2).如何剪貼：將等腰三角形B對齊於A的邊緣上方並貼上去。接著把等腰三角形C依高平分剪 成三塊，最後將等腰三角形C的三部份分別拼貼在等腰三角形A上，如圖四所示。 5等腰直角三角形 (1).作出等腰直角三角形：以直角三角形的三邊，分別為邊長五公分、四公分、三公分，當作 等腰直角三角形A、B、C的底邊與高，再將等腰直角三角形B和C拼貼於等腰直角三角形A 上。 (2).如何剪貼：將等腰直角三角形B的直角對齊於A的直角並貼上去。接著把等腰直角三角形C 剪成三塊，最後將等腰直角三角形C的三部份分別拼貼在等腰直角三角形A上，如圖五所 示。 6平行四邊形 (1).作出平行四邊形：以直角三角形的三邊，分別為邊長五公分、四公分、三公分，當作平行 四邊形A、B、C的一對邊邊長，並在此對邊上做相等於對邊長度的高，且使平行四邊形的 兩內角度數為45度與135度，再將平行四邊形B和C拼貼於平行四邊形A上。 (2).如何剪貼：將平行四邊形B的135度角對齊於A上方的135度角並貼上去。接著把平行四邊形 C剪成四塊，最後將平行四邊形C的四部份分別拼貼在平行四邊形A上，如圖六所示。 7菱形 (1).作出菱形：以直角三角形的三邊，分別為邊長五公分、四公分、三公分，當作菱形A、B、 C的邊長，角度是60度與120度，再將菱形B和C拼貼於菱形A上。 (2).如何剪貼：將菱形B的60度角對齊於A的60度角上方並貼上去。接著把菱形C剪成三塊，最 後將菱形C的三部份分別拼貼在菱形A上，如圖七所示。

3. 8 梯形 (1).作出梯形：以直角三角形的三邊，分別為邊長五公分、四公分、三公分，當作梯形A、B、C 的上底和高的長度，下底長是其兩倍，且梯形中有兩個直角，再將梯形B和C拼貼於梯形A。 (2).如何剪貼：將梯形B對齊於A的邊緣上方並貼上去。接著依高的長度把梯形C平分剪成三塊， 最後將形C的三部份分別拼貼在梯形A上，如圖八所示。 9正六邊形 (1).作出正六邊形：以直角三角形的三邊，分別為邊長五公分、四公分、三公分，當作正六邊形 A、B、C的邊長，再將正六邊形B和C拼貼於正六邊形A上。 (2).如何剪貼：將正六邊形B的任一角對齊於A的任一邊緣一百二十度角貼上去，接著把正六邊形 C剪成五塊，分別拼貼在正六邊形A上，如圖九所示。 七、研究結果： (一)、以正方形面積的拼貼得以證明畢式定理。 (二)、以正三角形面積的拼貼得以證明畢式定理。 (三)、以直角三角形面積的拼貼得以證明畢式定理。 (四)、以等腰三角形面積的拼貼得以證明畢式定理。 (五)、以等腰直角三角形面積的拼貼得以證明畢式定理。 (六)、以平行四邊形面積的拼貼得以證明畢式定理。 (七)、以菱形面積的拼貼得以證明畢式定理。 (八)、以梯形面積的拼貼得以證明畢式定理。 (九)、以正六邊形面積的拼貼得以證明畢式定理。 (十)、發現正六邊形最少拼貼步驟為六塊。 (十一)、發現平行四邊形最少拼貼步驟為五塊。 (十二)、發現正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、正方形、菱形、梯形等七 個圖形其最少步驟皆為四塊。 八、研究討論： (一)、先把勾或股兩者之任一多邊形對齊弦上圖形的某一個邊或角後且不裁剪，再將另一個多邊 形裁剪成數塊去填補剩餘的面積部分是步驟最少而效率最高的裁剪拼貼方式。 (二)、在多邊形拼貼過程中，我們也發現除了先貼中的多邊形於大的圖形再裁剪小的圖形之外， 若先貼小的多邊形於大的圖形再裁剪中的圖形也是能找出最少步驟的拼貼驗證方式。 九、結論： (一)、於畫、剪、貼時，測量務必精準，以避免誤差，否則驗證往往無法順利完成。 (二)、在分割拼貼時，並非漫無目的、毫無章法的亂剪，應避免支離破碎、不規則狀或較多邊形 的零星裁剪，而儘可能剪成規則的完整形狀並靠著所對應的相似邊或角拼貼。 (三)、拼貼時，先靠邊或角拼貼，儘量減少裁剪的次數，以免過於凌亂而難以拼貼。 (四)、如果經由測量計算大小兩個圖形邊長或高的差而得到欲減之長度大小，以及觀察角度的對 應關係，則能夠快速掌握可行的分割方式並簡化拼貼步驟。 (五)、此研究僅僅就三角形、四邊形和正六邊形做驗證，可再做其他圖形如圓形、半圓形、正五 邊形、正八邊形等，甚至體積對應於勾股定理之實驗證明。 十、參考文獻： (一)、李毓佩：小博士教室（15）數學篇3 初版，台北縣，國際少年村，p13~p22，p101~p108，1997年 (二)、羅斯：快樂學習三角形 初版，台北市，遠哲科學教育基金會，p18~p19，1998年 (三)、梁宗巨：數學歷史典故 初版，台北市，九章出版社，p227~p265，1995年 (四)、盛立人、嚴鎮軍：從勾股定理談起 一版，台北市，九章出版社，p13~p22，2001年 (五)、袁小明：數學誕生的故事 二版，台北市，九章出版社，p78~p80，1992年 (六)、黃家禮：幾何明珠 一版，台北市，九章出版社，p7~p8，2000年 (七)、列志佳，簡珮華，黃家鳴：數學的故事 一版，台北市，九章出版社，p14~p15，2000年 (八)、畢氏定理的推廣【台中縣第42屆科展國中組作品】