Funções Hiperbólicas das aplicações às definições

1. Universidade Federal do Rio Grande do Sul Educação Matemática e Tecnologia (MAT01074) Profº Marcus Basso Funções Hiperbólicasdas aplicações às definições Juliana Zys Magro Karen Maria Jung Lucas Backes Rene Baltazar

2. Motivação Ao observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso do mesmo faz com que ele fique um pouco arredondado, dando a impressão de que o gráfico formado pela curva representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a catenária (do latim catena=cadeia), pois foi através de uma corrente metálica formada por elos (cadeias) que se observou primeiramente tal curva.

3. Problemas Um paraquedista salta, com velocidade inicial nula, a partir de uma altura h acima do solo, e atua sobre ele uma resistência do ar Newtoniana, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade. Escolhendo “para cima” como sentido positivo, podemos escrever:

4. Problemas Esta equação diferencial é do tipo a variáveis separáveis e o problema de valor inicial acima tem solução: onde . Observamos que, quando t tende ao infinito, v(t) tende à velocidade limite . Na verdade, esta velocidade não é atingida, porque o paraquedista atinge o solo em algum instante de tempo finito.

5. Problemas A solução pode ser reescrita fazendo uso de tangente hiperbólica, pois:

6. Um exemplo com números: leva ao gráfico para

7. Problemas Também encontramos problemas que envolvem funções hiperbólicas relacionados à Combinatória, por exemplo: Encontrar o número de r-seqüências quaternárias que contém somente um número par de zeros. Para resolvermos uma parte desse problema, encontramos a função geradora para o dígito zero, que é: Podemos ver que neste caso encontramos a expressão cosh(x).

8. Definição sinh(t)= tanh(t)= cosh(t)=

9. Por que o nome FUNÇÕES HIPERBÓLICAS? Lembra-se das funções circulares? sen(x) - cos(x) - tg(x) - sec(x) - cosec(x) - cotg(x) Por que elas têm este nome?

10. Pois a partir de uma combinação de sen(x) e cos(x) pode-se “gerar” uma circunferência. Veja: Esta circunferência é dada pela equação paramétrica (x,y) = (cos(t), sen(t)), com 0 ≤ t ≤ 2pi. Vamos nos convencer construindo-a usando o software Winplot.

11. Vá até o ícone Equação/Paramétrica

12. Faça f(t)=cos(t) e g(t)=sin(t) Para mudar a cor, a espessura da linha do gráfico basta ir até o ícone desejado e mudar; Após feitas as escolhas bastar clicar em ok

13. Será que estas funções ditas hiperbólicas tem este nome porque através destas é possível “gerar” uma hipérbole? SIM, verificaremos isto fazendo os gráficos.

14. Primeiro faremos o gráfico da hipérbole dita unitária Para isto vamos até o ícone Equação/Implícita e abrirá a seguinte janela:

15. No campo maior digitamos a equação da hipérbole da seguinte forma: X^2-y^2=1 Para melhor visualização do gráfico mudaremos sua cor para amarelo (para isto basta ir até o ícone cor e escolher a cor amarelo) e mudaremos sua espessura para 5

16. Agora faremos os gráficos de: (x,y)=(cosh(t), sinh(t)) (x,y)=(cosh(t), -sinh(t)) (x,y)=(-cosh(t), sinh(t)) (x,y)=(-cosh(t), -sinh(t)) Para isto basta ir até o ícone Equação/Paramétrica e digitar as equações acima (uma de cada vez) e, para melhor visualização dos resultados, mude a cor do gráfico para preto com espessura da linha 1; Vejamos os resultados obtidos:

18. A que conclusão podemos chegamos?

19. Trigonometria circular x² + y² = 1 cos²(t) + sen²(t) = 1 tg(t) = sen(t)/cos(t) cot(t) = cos(t)/sen(t) sec(t) = 1/cos(t) csc(t) = 1/sen(t) sen(2t)=2sen(t)cos(t) cos(2t)=cos²(t)-sen²(t) tg(2t)=2tg(t)/(1-tg²(t)) Trigonometria hiperbólica x² - y² = 1 cosh²(t) - senh²(t) = 1 tgh(t) = senh(t)/cosh(t) coth(t) = cosh(t)/senh(t) sech(t) = 1/cosh(t) csch(t) = 1/senh(t) senh(2t)=2senh(t)cosh(t) cosh(2t)=cosh²(t)+senh²(t) tgh(2t)=2tgh(t)/(1+tgh²(t)) PrincipaisIdentidades

20. Referências: • Anton, Howard.   Cálculo.  8. ed.  Porto Alegre: Bookman, 2007. 1 v. • Santos, Jose Plinio de Oliveira.   Introdução à análise combinatória.  3. ed. rev.  Campinas, SP: Editora UNICAMP, c2002. x, 297 p. : il. • Contribuição da professora Maria Cristina Varriale no primeiro problema .