VI.1.1 Divergenz und Massenerhaltung

1. VI.1.1 Divergenz und Massenerhaltung Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft. Bei Beschränkung auf die horizontalen Windkomponenten wird der Zusammenhang zwischen Form des Strömungsfeldes und Divergenz unmittelbar deutlich. y t=0 t=t1 x < 0 > 0 < 0

2. Eulersche und Lagrangesche Kontinuitätsgleichung Euler‘sche Zerlegung für ρ: Euler‘scheKont‘gleichung: Umrechnung: Lagrange‘sche Kont‘gleichung

3. Sonderfall: Inkompressibles Medium • Ein Medium ist inkompressibel, wenn man es weder zusammenpressen noch auseinander ziehen kann (z.B. näherungsweise Wasser). Dabei kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren inhomogen sein (veränderliche Dichte, z.B. eine Wasser-Öl-Mischung). • Auch Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B. • keine Ausdehnung beim Aufsteigen, • keine Schallwellen (Vereinfachung der Numerik bei Modellen). • Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der Beschreibung der Strömungsprozesse bei relativ geringen und langsamen Vertikalauslenkungen, z.B. Strömungen in der Grenzschicht. • Es gilt dann offensichtlich: • beachte aber: dicht dünn

4. y . x Rotation eines Vektorfeldes- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor - Offensichtlich ist die Rotation aus der Zeichenebene zum Be-obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal (Zyklone!) bezeichnet. Die Rotation ist ein axialer Vektor. Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und sind u und v vertikal konstant, dann gilt offensichtlich: Da die Luftströmung großskaligi.w. horizontal ist, hat ς (Vorticity) eine große Bedeutung in der Meteorologie.

5. Pol Äquator Vorticitygleichung • f ist die Rotation um die lokale Vertikale, die durch die Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH negativ). • Ist der Drehsinn der Relativbewegung so wie der Drehsinn der Erde, nennt man diesen zyklonal; zyklonalheißt also auf der NH gegen Uhrzeigersinn auf der SH im Uhrzeigersinn. • Für die absolute Vorticitylässt sich unter barotropen Verhältnissen (keine Vertikaländerungen des Horizontalwindes und keine horizontalen Dichteänderungen) ableiten (barotropeVorticitygleichung): . • Konvergenz erhöht die Vorticity und Divergenz reduziert sie. • Bei zusätzlicher Divergenzfreiheit führt eine Nordwärtsbewegung eines Tief auf der NH zu seiner Abschwächung und Südwärtsbewegung zu einer Verstärkung.

6. Natürliches Koordinatensystem • Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich anstatt des starren und ortsfesten kartesischen Koordinatensystems ein Koordinatensystem zu verwenden, das an die Strömung selbst gebunden ist. • Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer beliebigen dreidimensionalen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens auffassen. • Ein geeignetes Koordinatensystem wird dann festgelegt durch drei Einheitsvektoren in Richtung • des Windrichtungsvektors () • des Vektors senkrecht dazu nach links in der Strömungsebene (dieser ist dann parallel zur Richtung zum hypothetischen Kreismittelpunkt) () • der Normalen auf der Ebene des Kreises ().

7. Krümmungs- und Scherungsvorticity (b) Scherungsvorticity Krümmungsvorticity

8. VI.1.3 Stromlinien und Trajektorien • Stromlinien sind Momentaufnahmen eines Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien. • Trajektorien repräsentieren den Weg eines Teilchens über eine Zeitspanne

9. Beispiel (1): Stromlinie für t=0 Die Trajektorie hat hier eine größere Amplitude als die Stromlinie, da c und U in die gleiche Richtung gehen, und entsprechend auch eine längere Wellenlänge. In der Abbildung wurden x und y mit λnormiert (→x‘, y‘)und U=A und c=0,3U gesetzt.

10. Reibungskraft (4) Berechnung der Nettokraft (=Nettoimpulsflussdichte x Fläche) in x-Richtung: Laminare und turbulente Strömungen (Einsetzen von τ)

11. Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im Inertialsystem In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigung nicht auf! Ein brauchbares Inertialsystem ist ein in der Sonne verankertes Koordinatensystem, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels ausrichtet.

12. Coriolisbeschleunigung- formal (4) - • Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche • Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte) • Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar) • Coriolisbeschleunigung • Zentrifugalbeschleunigung

13. Navier-Stokes-Gleichung (2) komponentenweise gekoppelte nichtlineare Diff‘gleichungen 2. Ordnung

14. Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung U/T 1/rDp/L fUfW- 10-4 10-310-310-6- m/s2 ...Coriolisbeschleunigung und Druckgradientbeschleunigung heben sich gegenseitig auf!

15. Geostrophischer Wind geostrophischer Wind:

16. Fallunterscheidung und Bezeichnungen Je nach wirkenden Kräften ergeben sich unterschiedliche Bewegungssysteme, die im folgenden diskutiert werden.

17. T H Gradientwind – gekrümmte Stromlinien • Annahmen • Stationarität • keine Bahnbeschleunigung • Zusätzliche Annahme • keine Reibung Im Hoch wirkt Coriolis entgegen der Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient! Im Tief kompensieren Coriolis und Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam den Druckgradient.

18. Diskussion - Besonderheit bei Hochs Diskussion • AnormaleFällewerden auf der synoptischenSkalanichtbeobachtet, da Druckgradient die primäreBewegungsursacheist. • AnormaleFällekönnennur auf sehrkleinerSkaladurchTrägheitseffekteauftreten (Staubteufel, Badewanne) • Besonderheit des Hochs(R<0^∂p/∂n<0)(Wurzelargument muss positivsein): • Druckgradient muss zumZentrumabnehmen. • Hochssindflach. TiefshabendieseBeschränkungnicht.

19. Zyklostrophischer Wind • Zusätzliche Annahmen: • keine Reibung • keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe, kleiner Krümmungsradius, z.B. Staubteufel) Welche Luftdruckdifferenz herrscht in einem typischen Staubteufel (Außenrand zu Zentrum) mit 1 m Durchmesser und einer Windgeschwindigkeit am Rand von 20 m/s?

20. Trägheitskreis (1) • Zusätzliche Annahmen • keine Reibung • kein Druckgradient Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.

21. Trägheitskreis (2)- Grenzschichtstrahlstrom • Der Trägheitskreis taucht aber in der Form des sogenannten Grenzschichtstrahlstroms auf: • Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht bedingt durch Reibung an der Erdoberfläche. Stabilisiert sich die Luft durch Ausbleiben der Heizung vom Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung. • Nehmen wir an, dass die Reibung plötzlich entfällt. Bei gegebenem Druck-gradient wird dieser dann nicht durch die Coriolisbeschleunigung ausgeglichen – der Wind beschleunigt zum Druckgefälle hin, wodurch die Coriolisbeschleunigung zunimmt. • Der Wind beschleunigt, und zwar solange die Windrichtung eine Komponente zum tiefen Druck hat, da die Resultierende von Coriolis- und Druckgradient-beschleunigung eine Komponente in Richtung der Windrichtung hat. • Ist der Wind parallel zu den Isobaren, so ist er stärker als der geostrophische Wind, er ist supergeostrophisch. • Die Coriolisbeschleunigung ist nun aber stärker als der Druckgradient, er dreht den Windvektor zum hohen Druck. Die Resultierende „bremst“ dann den Wind. Dies geht so lange bis die Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder eine Linksbeschleunigung wirkt…. • Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur Bewegungsgleichung im x,y,z-System zurück.

22. T H Richtung der Reibung unter Einfluss der Coriolisbeschleunigung • Annahmen: • stationäre horizontale Strömung • gradlinige Isobaren (keine Zentrifuglabeschleunigung) Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem ageostrophischen Wind - also nicht parallel zum Windvektor.

23. Bausteine der modernen Wettervorhersage • Online-Datensammlung • Datenassimilation -> aktueller Zustand der Atmosphäre • Verschmelzen von Beobachtungen und „alter“ Vorhersage • Methoden • Nudging • 3-dimensionale variationelle Datenassimilation • 4-dimensionale variationelle Datenassimilation • Ensemble-basierte Datenassimilation • … • Vorhersagelauf mit Modell • deterministische Vorhersage • Ensemble-Vorhersage • Interpretation der Modellausgabe • Model Output Statistics (MOS)

24. Höhenkarten • sind Topographien von isobaren Flächen, angegeben in geopotentiellen Metern (gpm) h=(g/g0)z • absolute Topographien, z.B. 850 hPa, 700 hPa, 500 hPa, 300 hPa, … enthalten • h850, h700, … als Isolinien (sog. Isohypsen) in gpd(eka)m • Isothermen • relevante Messwerteintragungen (Radiosonden, Flugzeuge, Satellit) als reduziertes Stationsmodell • relative Topographien, z.B. h300 – h700 • geben Informationen über die mittlere virtuelle Temperatur in den Schichten (niedrige Höhendifferenz = kalt, große Höhendifferenz = warm, siehe später)

25. T H K W T H Der thermische Wind- Zusammenfassung - Der thermische Wind (= Änderung des geostrophischen Windes mit der Höhe durch einen horizontalen Temperaturgradienten) „weht“ um ein Kaltluftgebiet, wie der geostrophische Wind um das Tief.

26. Barotrope und barokline Felder • barotrop:Isoflächen von Druck und Temperatur sind parallel zueinander geostrophischer Wind mit der Höhe konstant • baroklin:Isoflächen von Druck und Temperatur sind gegeneinander geneigt geostrophischer Wind ändert sich mit der Höhe

27. kaltwarmkalt warmkaltwarm H T T H Gegenüberstellung von thermischen und dynamischen Druckgebilden Thermische Tiefs und Hochs Konvergenz Divergenz Dynamische Tiefs und Hochs werden durch Strömungs-strukturen (Divergen-zen und Konvergen-zen) in der Höhe angetrieben. H T Die resultierende Strömung am Boden verändert dann aber wieder auch die Strömung in der Höhe.

28. Allgemeine Vorticitygleichung (2) • Absolute Vorticityη(bzw. relative Vorticityζ, wenn sich die Breite nur wenig ändert) wird also erzeugt durch: • Horizontale Konvergenz • Kombination von horizontaler Änderung des Vertikalwindes • mit einer vertikalen Änderung des Horizontalwindes • 3. Schneiden von Isolinien von Druck und Temperatur (Sonderfallbarokliner Verhältnisse).

29. Durch Breitenänderung initiierte Drehbewegung der Strömung N λ Initial-störung S Barotrope Rossby-Wellen (3) η=f df/dt<0 df/dt>0 df/dt<0 da also alsoalso ς=0 dς/dt>0 dς/dt<0dς/dt>0

30. Barotrope Rossby-Wellen – Ausbreitung (2) • Rossby-Wellen wandern also mit einer Geschwindigkeit, die von der Strömungsgeschwindigkeit u0 und der Wellenlänge λ abhängt. d.h. die Wellen pflanzen sich mit Grundstromgeschwindigkeit u0aus, abervermindert um β/k². • Je kürzer die Wellen, desto schneller wandern sie in Richtung des Grundstroms (also nach Osten). • Bei 45° und λ > 7000 km Wellenlänge wandern Die Wellen bei einer Grundstromgeschwindigkeit ū = 10 m/s nach Westen. Oft sind die langen Wellen quasi-stationär. • Genauer: Alle Rossby-Wellen laufen bezogen auf ein mitdriftendes Partikel im Grundstrom (also Grundstrom abziehen) nach Westen, und zwar je länger die Welle, desto schneller (k~1/λ). • Wichtig: Rossby-Wellen erfordern neben der Erdrotation auch die Kugelgestalt der Erde (β-Effekt)!

31. Barokline Rossby-Wellen - Schema (2) Aus dem Divergenz/Konvergenz-muster ergibt sich Aufsteigen auf der Trogvorderseite und Absteigen auf der Trogrückseite. (aus Roedel, 1994) • Da die Geschwindigkeiten in der Höhe höher sind als darunter in Bodennähe, überkompensieren die „Vergenzen“ in der Höhe die „Vergenzen“ in Bodennähe. • Daraus folgen Druckfall (Tief) auf der Trogvorderseite und Druckanstieg (Hoch) auf der Trogrückseite.