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2012 年高考数学考情分析与复习策略

2012 年高考数学考情分析与复习策略. 湖南师大附中 朱海棠. 一、新课标高考湖南数学卷结构与特点分析. 1. 试卷结构. 新课标高考湖南卷共 21 个必做题，总分 150 分 . 其中 8 个选择题共 40 分， 7 个填空题共 35 分， 6 个解答题共 75 分 . 试卷知识结构及题量、分值如下表：. 2. 试题特点. （ 1 ）遵循大纲，注重基础. 试题紧扣新课标人教 A 版教材和考试大纲，贴近教学实际 . 注重考查考生熟悉的基础知识、基本方法和基本技能，大多数题目属于常规题，控制了试卷长度、运算量、卷面字数和书写量，降低了总体难度.

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2012 年高考数学考情分析与复习策略

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  1. 2012年高考数学考情分析与复习策略 湖南师大附中 朱海棠

  2. 一、新课标高考湖南数学卷结构与特点分析 1.试卷结构 新课标高考湖南卷共21个必做题，总分150分.其中8个选择题共40分，7个填空题共35分，6个解答题共75分.试卷知识结构及题量、分值如下表：

  3. 2.试题特点 （1）遵循大纲，注重基础 试题紧扣新课标人教A版教材和考试大纲，贴近教学实际.注重考查考生熟悉的基础知识、基本方法和基本技能，大多数题目属于常规题，控制了试卷长度、运算量、卷面字数和书写量，降低了总体难度.

  4. （2）重点突出，考查全面 试题具有较合理的覆盖面，三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数、数列与不等式等主干知识在解答题中得到了考查，集合、常用逻辑、平面向量、算法初步、排列组合、几何证明、极坐标与参数方程、优选法等内容在选择题和填空题中得到了考查.

  5. （3）知识交汇，注重联系 试题注重知识间的内在联系，学科内的综合，在知识的交汇点处设计试题，从而有效地增大了知识的覆盖面，提升了试题的品位.

  6. （4）强化过程，注重能力 试题以基础知识为素材，强化对“过程与方法”的考查，突出以能力立意，综合考查了运算能力、空间想象能力、推理论证能力、阅读理解能力、实践能力等.试题注重对创新意识的考查，并体现在考查学习新的数学知识的能力，在新情境中解决数学问题的能力，开放性探究问题的能力等方面.

  7. （5）强调思想方法，注重实际应用 试题重点考查了函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归转换思想，对基本的数学方法也进行了较全面的考查.试题传承了湖南往年高考的命题特色，在解答题中继续突出对应用性问题的考查.

  8. 二、板块命题取向、试题特点与解题策略分析 板块一：合情推理与创新问题 【考查重点】 归纳推理和类比推理，以及创新意识和学习潜能. 【命题取向】 （1）新概念下的创新问题.

  9. 例1（11年山东卷）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 ， ，且 ，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是 （ ） A. C可能是线段AB的中点 B. D可能是线段AB的中点 C. C，D可能同时在线段AB上 D. C，D不可能同时在线段AB的延长线上

  10. 例2（11年天津卷）对实数a和b，定义 运算“ ”： ，设函数 ，x∈R. 若函数 y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是. （2）新运算下的创新问题.

  11. 例3（10年北京卷）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则f(x)的最小正周期为；y＝f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为.例3（10年北京卷）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则f(x)的最小正周期为；y＝f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为. C y P B O x A （3）新情景下的创新问题.

  12. （4）合情推理中的创新问题. 例4（10年湖南卷）若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为(an)*则得到一个新数列{(an)*}.例如，若数列{an}是1，2，3，…，n，…，则数列{(an)*}是0，1，2，…，n－1，…. 已知对任意的n∈N*，an＝n2，则(a5)*；((an)*)*.

  13. 【试题特点】 (1)知识载体多样化，注重考查数学素养； (2)背景新颖、问题抽象，注重考查阅读理解能力； (3)体现探索性，注重考查合情推理能力； (4)填空题分步设问，有明显梯度.

  14. 例5(11年湖南卷)对于n∈N*，将n表示为 ，当i＝0时，ai＝1，当1≤i≤k时，ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数，则 I(12)＝； ＝. 【解题策略】 (1)认清知识载体，理解问题本质.

  15. 例6（09年上海卷）过圆 的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分，如图.若这四部分图形面积满足SⅠ＋SⅣ＝SⅡ＋SⅢ，则这样的直线AB有 （ ） A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 y Ⅲ B C Ⅳ Ⅰ Ⅱ O A x (2)设计辅助问题，建立数学模型.

  16. (3)通过实验寻找变化规律或问题答案. 例7（07年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的 0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，则第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是． 第1行　　　1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …………………………

  17. (4)运用合情推理猜测一般结论. 例8 (09年湖南卷)将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N*)个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了n＝2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，f(3)＝，…，f(n)＝. A A C B C B 图1 图2

  18. 例9 如图所示是一个有n层(n≥2)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第2层每边有2个点；第3层每边有3个点；…；第n层每边有n个点，则这个六边形点阵的点数共有个． (5)转化解题目标，化归为常规问题求解.

  19. 例10如图，过点M(3，0)作抛物线y2＝4x的一条弦AB，O为原点，连结AO延长交直线x＝－3于点C.例10如图，过点M(3，0)作抛物线y2＝4x的一条弦AB，O为原点，连结AO延长交直线x＝－3于点C. （Ⅰ）求证：BC//x轴； （Ⅱ）试根据上述结论 提出一个一般猜想，并 判断你的猜想是否正确. y O M x C B A (6)以“问题”为核心，在探究中发现结论.

  20. 板块二、函数与导数的应用 【考查重点】 函数的概念、图象和性质，函数与导数、定积分、不等式、解析几何等知识以及实际问题的综合，突出对数学思想方法的考查.

  21. 例11（10年湖南卷）用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线 对称，则t的值为 （ ） A.－2 B. 2 C.－1 D. 1 【命题取向】 （1）初等函数的图象和性质分析.

  22. （2）抽象函数的性质分析. 例12（09年全国卷）函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则 （ ） A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)＝f(x＋2) D.f(x＋3)是奇函数

  23. 例13(11年湖南卷)由直线 ， ， y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为 （ ） A. B. 1 C. D. （3）定积分的基本运算与应用. （4）利用导数分析函数的单调性、极值和最值.

  24. 例14（10年湖南卷文）已知函数 ，其中a＜0，a≠－1. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)设函数 (e为自然对数的底数)，是否存在a，使g(x)在[a，－a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.

  25. 例15（10年湖南卷）已知函数f(x)＝ x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有 ≤f(x). (Ⅰ)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2； (Ⅱ)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求 M的最小值. （5）构造函数处理方程和不等式问题.

  26. （6）建立函数模型解决实际问题. 例16（11年湖南卷）如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v＞0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)，E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为0.1；（2）其它面的淋雨量之和，其值为0.5，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d＝100，面积S＝1.5时 （Ⅰ）写出y的表达式； （Ⅱ）0＜v≤10，0＜c≤5， 试根据c的不同取值范围， 确定移动速度v，使总淋雨量y最少. v P

  27. 【试题特点】 （1）考查基本初等函数的概念、图象和性质. （2）注重利用导数分析超越函数的图象和性质. （3）注重数形结合、分类讨论思想方法的运用. （4）体现一定的开放性和探索性. （5）解答题分步设问，起点低落点高. （6）能力立意，考查创新意识.

  28. 【解题策略】 （1）在函数定义域内研究问题. 求导，换元，非恒等变形都可能改变原函数的自然定义域，解题时要加以注明.应用性问题中函数的定义域应根据问题情境来确定.

  29. 例17 函数 的最大值为，最小值为. （2）将函数式作适当变形. 通过分拆、合成、平方等手段，将函数解析式变形为只有一处含自变量x，再分析其单调性或最值是十分方便的.

  30. (3)利用基本函数的图象和性质分析问题. 对于一次、二次函数，指数函数，对数函数、幂函数、反比例函数、双曲函数等基本初等函数和简单复合函数，应利用其图象和性质分析问题，不必用导数求解. (4)利用导数分析高次多项式函数和超越函数的性质.

  31. （5）适当换元改变函数类型，简化函数式结构.（5）适当换元改变函数类型，简化函数式结构. 对于根式函数，分式函数(分子、分母分别为一次、二次函数)，含对数的函数等，可通过适当换元改变函数类型，化归为基本函数求解.

  32. (6)通过数形结合寻找解题突破口. 例18（10年全国课标卷21题）设函数 （Ⅰ）若a＝0，求f(x)的单调区间； （Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求实数a的取值范围. (7)利用肯定与否定策略求参数取值范围.

  33. 板块三、解析几何与坐标法 【考查重点】 坐标法思想，方程与曲线的关系，圆锥曲线的基本性质，直线与圆锥曲线的位置关系，参数方程与极坐标.

  34. 【命题取向】 （1）求直线和圆锥曲线的方程. 运用代入法，待定系数法求解. （2）求动点的轨迹或轨迹方程. 运用直接法，定义法，参数法求解. （3）定点、定值的计算与探索. 运用公式法，方程法求解.

  35. （4）求变量的取值范围与最值. 运用函数法，不等式法，数形结合思想求解. （5）解析性质的证明、探究. 运用分析法，综合法，化归转换思想求解.

  36. （6）参数方程与极坐标的应用. （7）坐标法思想在实际问题中的应用.

  37. 例19（10年湖南卷）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A、B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略).在直线x＝2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过 的区域；在直 线x＝2的左侧，考察范围为到A、B两点的距离之和不超过 的区域。 （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

  38. 【试题特点】 （1）突出直线与圆锥曲线的位置关系. （2）利用向量语言表述条件，运用向量方法处理问题. （3）注重对逻辑推理和运算能力的考查. （4）注重函数与方程，数形结合，特殊与一般等数学思想的应用. （5）渗透运用坐标法思想解决几何问题. （6）解答题分步设问，能力立意，有一定难度.

  39. 【解题策略】 （1）根据图形特征分析数量关系. 画出示意图，将图形中的某些位置关系转化为数量关系，建立相关等式或不等式. （2）利用韦达定理沟通坐标与参数的内在联系. 对直线与圆锥曲线相交，一般不求交点坐标，通常将直线方程代入圆锥曲线方程，得一元二次方程，再利用韦达定理转化已知条件或求解目标.

  40. 例20(09年全国卷Ⅱ)已知直线 与抛物线C:y2＝8x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( ) A. B. C. D. (3)设而不求，变式消元，理顺参数关系. 设置一些相关参数建立相关关系，沟通已知与未知的内在联系，消参后获取相关结论. （4）发掘几何性质简化代数运算.

  41. 例21 过椭圆 的右焦点F作直线交椭圆于P、Q两点，点A为椭圆的左顶点，直线AP，AQ分别与直线l：x＝4相交于点N、M，证明：四边形MNPQ的对角线的交点R为定点. y N P x A F O R Q M （5）从特殊到一般证明或探究有关性质.

  42. 例22 (08年全国卷Ⅱ)设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点. （Ⅰ）若 ，求k的值； （Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值. （6）注意参数方程或极坐标方程的工具作用.

  43. 例23 (08年安徽卷)过点P(4，1)的动直线l与椭圆 相交于不同两点A、B，在线段AB上取点Q，使|PA|·|QB|＝|QA|·|PB|，求证：点Q总在某定直线上. （7）注意对特殊情形的补充和检验. 如直线斜率不存在的情形，判别式大于零，轨迹方程中变量范围. （8）利用向量法处理平行、垂直、夹角和距离问题.

  44. 板块四、数列与不等式 例24(10年全国卷)设数列{an}满足a1＝2, . （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【考查重点】 等差、等比数列，线性规划原理，不等式性质，数列与不等式的综合应用. 【命题取向】 （1）等差、等比数列与简单递推数列的基本运算.

  45. 例25(10年湖南卷)数列{an}中，a1＝a，an＋1是函数 的极小值点. （Ⅰ）当a＝0时，求通项an； （Ⅱ）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由. （2）数列背景下比较大小、证不等式、求取值范围.

  46. 例26（11年湖南卷）已知函数f(x)＝x2， . （Ⅰ）求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由； （Ⅱ）设数列{an}满足a1＝a(a＞0)， ，证明：存在常数M，使得对任意n∈N*都有an≤M.

  47. （3）平面区域与线性规划原理的应用. 例27(10年广东卷)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

  48. 例28(11年湖南卷)设x，y∈R，且 xy≠0，则 的最小值为. （4）利用经典不等式求最值、证不等式.

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