Le plan des cours d’analyse ‘ Etude des phénomènes variables’

1. Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’ CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer une Primitive et intégrer une fonction CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle MathSV : chapitre 5

2. Primitives-Intégration • Introduction et exemple en pharmaco-cinétique • Définitions et propositions • Méthodes de calcul

3. Intégrer f(x) f’(x) Dériver Introduction Définition : F(x) est une primitive de f(x) si F’(x)=f(x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive. Notation : L’ensemble des primitives de f est noté

4. Intégrer Intégrer Dériver Dériver Exemple en dynamique de population L’étude de l’évolution au court du temps d’une population d’organismes N(t) Vitesse ouaccroissement Accélération ou vitesse de l’accroissement

5. Un exemple en pharmaco-cinétique Modéliser la vitesse d’arrivée et d’élimination dans le sang d’un médicament, en fonction du temps. Question : temps (tmax) pour atteindre la concentration maximale (Cmax) ?

6. Concentration du médicament dans le sang (mg/l) en fonction du temps : f(t) tmax : le point où la dérivée s’annule (s’il existe)

7. Injection par voie intraveineuse : modèle exponentiel MathSV : chapitre 5 (section 7.2)

8. Questions : ASC = Quantité de médicament dans la circulation générale du sang (heure.mg/l) Q1: ASC dans les 10 heures qui suivent l’injection par voie intraveineuse ? Q2 : quantité moyenne de médicament dans le sang pendant les 10 premières heures ?

9. Aire sous la courbe ASC : Quantité de médicament dans la circulation générale du sang (heure.mg/l) sur 10 heures C’est l’intégrale de la fonction f (la concentration), sur l’intervalle de temps [0; 10] Ou l’aire sous la courbe…

10. Q1 : ASC sur les 10 premières heures

11. Q2 : moyenne sur les 10 premières heures

12. Définitions et propositions

13. Définition et notation «La somme de a à b de est égale à la différence entre les primitives de fau point b et au point a. »

14. Intégrale : aire sous la courbe L’objectif estde calculer l’aire de surfaces définies par des courbes On se contentera ici des surfaces comprises entre l’axes des x et la courbe représentative d’une fonction continue.

15. Intégrale : aire sous la courbe L’idée est très simple: on approche la surface hachurée par la réunion de rectangles, comme on sait calculer l’aire d’un rectangle on obtient une approximation de l’aire cherchée.

16. Intégrale : aire sous la courbe Plus la base des rectangle est étroite meilleure est l’approximation

17. f(b) a b a b Intégrale : aire sous la courbe Soit h la largeur de chacun des rectangles et n leur nombre. a et b sont les limites de la surface: b-a = nh

18. h f(b) f(b) a Intégrale : aire sous la courbe Soit h la largeur de chacun des rectangles et n leur nombre. a et b sont les limites de la surface: b-a = nh Soit A(x) l’aire de la surface entre a et x : A(b) - A(b-h) est voisine de h f(b). a b

19. A(b) - A(b-h) Lorsque h tend vers 0 on a : f(b) h f(b) a b a b Intégrale : aire sous la courbe Soit A(x) l’aire de la surface entre a et x: A(b) - A(b-h) est voisine de h f(b). Miracle mathématique: A’(b) = f(b)

20. L’aire sous la courbe est nulle Le signe de l’intégrale Propriétés

21. Signe de l’intégrale f(x) x a b Intégrale de f = D1-D2

22. Relation de CHASLES (additivité): Propriétés

23. L’ASC est additive aire verte+aire jaune

24. Valeur moyenne f(x) a b x

25. Aire d’un domaine

26. Méthodes de calcul

27. Formulaire des dérivéesFormulaire des primitives MathSV : cours / formulaires

28. Dérivées et primitives célèbres

29. Dérivées et primitives à reconnaître

30. L’exemple en pharmaco-cinétique

31. Q1 : ASC sur les 10 premières heures

32. sont les primitives de f L’exemple en pharmaco-cinétique

33. L’exemple en pharmaco-cinétique Q1 : quelle est l’ASC sur [0 ; 10] ?

34. Q2 : moyenne sur les 10 premières heures

35. L’exemple en pharmaco-cinétique Q2 :Quelle est la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10 premières heures ?

36. Méthodes de calcul 1. Intégration par linéarisation 2. Intégration par changement de variable 3. Intégration par partie Cf. synthèse , chapitre 5, section 4

37. Intégration d’une somme Changement de variable Intégration par parties

38. Méthodes de calcul • Intégration par linéarisation • Intégration par changement de variable • Intégration par partie • Intégration des fractions rationnelles

39. Intégration des fractions rationnelles Se ramener à ou

40. Intégration des fractions rationnelles : La croissance pondérale d’un organisme MathSV : chapitre 6, section 7.2.1 Décomposition en éléments simples...