Chapter 13

1. Chapter 13 Έλεγχος Υποθέσεων

2. Μη Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων … • Η δίκη για ένα έγκλημα είναι ένα παράδειγμα ελεγχου υποθέσεων χωρίς στατιστική. • Σε μία δίκη ο δικαστής θα πρέπει να αποφασίσει ανάμεσα σε δύο υποθέσεις. Η μηδενική υπόθεση είναι: • H0: Ο κατηγορούμενος είναι αθώος • Η εναλλακτική υπόθεση ή η ερευνητική υπόθεση είναι: • H1: Ο κατηγορούμενος είναι ένοχος • Ο δικαστής δεν γνωρίζει πια υπόθεση είναι αληθής. Θα πρέπει να αποφασίσουν βασισμένοι στην μαρτυρία την οποία παρουσιάζεται.

3. Μη Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων … • Στην γλώσσα της στατιστικής, καταδίκη του κατηγορουμένου καλείται, απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης ευνοώντας την εναλλακτική υπόθεση.Δηλαδή,ο δικαστής λέει ότι υπάρχει αρκετή μαρτυρία να συμπεράνουμε ότι ο κατηγορούμενος είναι ένοχος (δηλαδή υπάρχει αρκετή μαρτυρία να υποστηρίξουμε την εναλλακτική υπόθεση). • Εάν ο δικαστής αθώωση τον κατηγορούμενο τότε είναι σαν να λέει ότι δεν υπάρχει αρκετή μαρτυρία να υποστηρίξουμε την εναλλακτική υπόθεση.Σημειώστε ότι δεν λέει ότι ο δικαστής είναι αθώος, αλλά ότι δεν υπάρχει αρκετή μαρτυρία να υποστηρίξουμε την εναλλακτική υπόθεση. Για αυτό τον λόγο δεν είναι σωστό να αναφέρουμε ότι δεχόμαστε (πιστεύουμε) την μηδενική υπόθεση, απλά δεν μπορουμε να την απορρίψουμε.

4. Μη Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων … • Υπάρχουν δύο πιθανά σφάλματα. • Σφάλμα Τύπου Ι ένα συμβαίνει όταν απορρίπτουμε μία αληθής μηδενική υπόθεση. Δηλαδή, ένα σφάλμα τύπου Ι συμβαίνει όταν ο δικαστής καταδικάσει κάποιον αθώο. • Σφάλμα Τύπου ΙΙ ένα συμβαίνει όταν δεν απορρίπτουμε μία αληθής μία λανθασμένη μηδενική υπόθεση. Αυτό συμβαίνει όταν ένοχος κατηγορούμενος αθωώνεται.

5. Μη Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων … • Η πιθανότητα του σφάλματος Τύπου Ι συμβολίζεται με το Ελληνικό γράμμαα (άλφα).Η πιθανότητα του σφάλματος Τύπου ΙΙ συμβολίζεται με το Ελληνικό γράμμαβ (βήτα). • Οι δύο πιθανότητες συσχετίζονται αρνητικά (αντίστροφα). Αύξηση του ενός προκαλεί μείωση στο άλλο.

6. Μη Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων … • Στο δικαστικό σύστημα τα σφάλματα Τύπου Ι θεωρούνται πιο σοβαρά. Πιο πολύ επιθυμούμε να αθωώνονται ένοχοι άνθρωποι. • Διευθετούμε τοανα είναι μικρό απαιτώντας από την αγωγή να αποδείξει και να καθοδηγήσει τον δικαστή να βρει τον κατηγορούμενο ένοχο μόνο αν υπάρχει «μαρτυρία χωρίς να υπάρχουν λογικές αμφιβολίες».

7. Μη Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων … • Οι βασικές έννοιες είναι αυτές: • 1. Υπάρχουν δύο υποθέσεις, η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση. • 2. Η διαδικασία ξεκινά με την θεωρητική υπόθεση ότι η μηδενική υπόθεση είναι αληθής. • 3. Ο στόχος είναι να καθορίσουμε εάν υπάρχει αρκετή μαρτυρία να συμπεράνουμε τεκμηριωμένα ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής. • 4. Υπάρχουν δύο πιθανές αποφάσεις: • Να Συμπεράνουμε ότι υπάρχει αρκετή μαρτυρία ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής. • Να Συμπεράνουμε ότι δεν υπάρχει αρκετή μαρτυρία ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής.

8. Μη Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων … • 5. Δύο πιθανά σφάλματα μπορεί να γίνουν: • Σφάλμα Τύπου Ι: Απορρίπτω μία αληθής μηδενική υπόθεση • Σφάλμα Τύπου Ι: Δεν απορρίπτω μία λανθασμένη μηδενική υπόθεση • P(Σφάλμα Τύπου I) = α • P(Σφάλμα Τύπου IΙ) = β

9. Εισαγωγή … • Επιπρόσθετα στην στατιστική εκτίμηση, ο έλεγχος υποθέσεων είναι μία διαδικασία για να κάνουμε στατιστική συμπερασματολογία σχετικά με κάποιο πληθυσμό. • Ο Έλεγχος Υποθέσεων μας επιτρέπει να καθορίσουμε εάν υπάρχει στατιστική μαρτυρία για να συμπεράνουμε ότι τοπιστεύω μας (δηλαδή, μίαυπόθεση) σχετικά με μία παράμετρο υποστηρίζεται από τα δεδομένα.

10. Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (1) … • Υπάρχουν δύουποθέσεις.Η πρώτη καλείταιμηδενική υπόθεσηκαι η άλληεναλλακτικήήερευνητική υπόθεση. Ο σύνηθες συμβολισμός: • H0: — η «μηδενική» υπόθεση • H1: — η «εναλλακτική» ή ερευνητική υπόθεση • Η μηδενική υπόθεση (H0) θα αναφέρει πάντοτε ότι ηπαράμετρος είναι ίσημε την τιμήπου καθορίζεται στην εναλλακτική υπόθεση (H1) καλούμενη H “μηδέν”

11. Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων… • Θεωρήστε πάλι το Παράδειγμα 11.1 (μέση ζήτηση για υπολογιστές κατά την διάρκεια βασικών περιόδων για συναρμολόγηση). Εκτός της εκτίμησης της μέσης ζήτησης, ο υπεύθυνος θέλει να ξέρειαν η μέση τιμή είναι διαφορετική από 350 μονάδες. Η έκφραση αυτή μπορεί να γραφεί σαν ένας έλεγχος υποθέσεων: • H0: = 350 • Έτσι, η εναλλακτική μας υπόθεση γίνεται: • H1: ≠ 350 Αυτό μας ενδιαφέρει να καθορίσουμε…

12. Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (2) … • Η διαδικασία ξεκινά με την θεωρητική υπόθεση ότι η μηδενική υπόθεση είναιαληθής. • Έτσι, μέχρι να έχουμε επιπρόσθετη στατιστική μαρτυρία, θα υποθέσουμε: • H0: μ = 350 (υποθέτουμε ότι είναι ΑΛΗΘΗΣ.)

13. Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (3)… • Ο στόχος είναι να καθορίσουμε εάν υπάρχει αρκετή μαρτυρία να συμπεράνουμε τεκμηριωμένα ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής. • Δηλαδή, υπάρχει επαρκή στατιστική πληροφόρηση για να καθορίσουμε εάν ο παρακάτω ισχυρισμός: • H1: μ ≠ 350, είναι αληθής? Αυτό μας ενδιαφέρει να καθορίσουμε…

14. Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (4)… • Υπάρχουν δύο πιθανές αποφάσεις: • Να Συμπεράνουμε ότι υπάρχει αρκετή μαρτυρία ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής. • Να Συμπεράνουμε ότι δεν υπάρχει αρκετή μαρτυρία να υποστηρίξουμε την εναλλακτική υπόθεση. • (επίσης αναφερόμαστε ως: δεν απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση για χάρη της εναλλακτικής) • Σημειώστε: Σωστό είναι να μην λέμε ότι δεχόμαστε την μηδενική υπόθεση …

15. Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων …

16. Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (5)… • Δύο πιθανά σφάλματα μπορεί να γίνουν: • Σφάλμα Τύπου Ι: Απορρίπτω μία αληθής μηδενική υπόθεση • Σφάλμα Τύπου Ι: Δεν απορρίπτω μία λανθασμένη μηδενική υπόθεση • Υπάρχουν πιθανότητες που συνδέονται με τους δύο τύπους των σφαλμάτων: • P(Σφάλμα Τύπου I) = α • P(Σφάλμα Τύπου IΙ) = β • Ακαλείται το επίπεδο σημαντικότητας.

17. Τύποι Σφαλμάτων … • Το σφάλμα Τύπου Ι συμβαίνει όταν απορρίπτουμε μία αληθήςμηδενική υπόθεση (δηλαδή: Απορρίπτουμε την H0όταν ΑΛΗΘΕΥΕΙ) • Το σφάλμα Τύπου Ι συμβαίνει όταν δεν απορρίπτουμε μία ψευδήμηδενική υπόθεση (ΔΕΝ απορρίπτουμε την H0όταν είναι ΨΕΥΔΗ)

18. Τύποι Σφαλμάτων … • Πίσω στο παράδειγμα μας, θα διαπράτταμε ένα σφάλμα Τύπου Ι εάν: • Reject H0 when it is TRUE • Απορρίπτουμε την H0 ( μ = 350) χάρη της H1 (μ ≠ 350) όταν η πραγματική τιμή της μείναι 350. • Θα διαπράτταμε ένα σφάλμα Τύπου II στην περίπτωση που: • ΔΕΝ απορρίπτουμε την H0όταν είναι ΨΕΥΔΗ • Πιστεύουμε ότι η H0είναι σωστή (μ = 350), όταν η πραγματική τιμή της μείναι κάτι διαφορετικό από 350.

19. Ανακεφαλαίωση I… • 1) Δύο υποθέσεις: H0 & H1 • 2) ΥΠΟΘΕΤΟΥΜΕ ότι H0είναιΑΛΗΘΗ • 3) ΣΤΟΧΟΣ: να καθορίσουμε αν υπάρχει αρκετή μαρτυρία να συμπεράνουμε ότι H1είναι ΑΛΗΘΗΣ • 4) Δύο πιθανές αποφάσεις: • Απορρίπτουμε την H0για χάρη της H1 • ΔΕΝ Απορρίπτουμε την H0για χάρη της H1 • 5) Δύο πιθανά τυπικά σφάλματα: • -Τύπου I: απορρίπτουμε μία αληθή H0 [P(Τύπου I)=α] • -Τύπου II: δεν απορρίπτουμε μία ψευδή H0 [P(Τύπου II)=β]

20. Ανακεφαλαίωση II… • Η μηδενική υπόθεση πρέπει νακαθορίζειμία μοναδικήτιμή της παραμέτρου (π.χ.μ =___) • Υποθέτουμεότι η μηδενική υπόθεση είναι ΑΛΗΘΗΣ. • Δείγμααπό τον πληθυσμό,και κατασκευάζουμε ένα στατιστικό στοιχείο συσχετιζόμενο στην υποθετική παράμετρο (π.χ. η δειγματοληπτική μέση τιμή, Συγκρίνουμετο στατιστικό στοιχείο με την τιμή που προκαθορίζεται στο πρώτο βήμα

21. Ανακεφαλαίωση II…

22. Παράδειγμα 13.1… • Ο διευθυντής ενός πολυκαταστήματος καθορίζει ότι ένα νέο σύστημα πληρωμών • Ένα τυχαίο δείγμα 400 μηνιαίων λογαριασμών επιλέγεται, για το οποίο η μέση τιμή είναι $178. Οι λογαριασμοί είναι προσεγγιστικά κανονικά κατανεμημένοι με τυπική απόκλιση ίση με $65. • Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το νέο σύστημα είναι αποτελεσματικό του κόστους;

23. Παράδειγμα 13.1… • Το σύστημα θα είναι αποτελεσματικό του κόστους εάν η μέση τιμή των μηνιαίων λογαριασμών είναι μεγαλύτερη από$170. • Θα εκφράσουμε αυτό το πιστεύω σαν την εναλλακτική μας υπόθεση, δηλαδή: • H1:μ > 170 (αυτό θέλουμε να καθορίσουμε) • Έτσι, η μηδενική υπόθεση γίνεται: • H0:μ = 170 (αυτό καθορίζει μία μοναδική τιμή για την παράμετρο που ενδιαφερόμαστε)

24. Παράδειγμα 13.1… • Τι θέλουμε να δείξουμε: • H1: μ > 170 • H0: μ = 170 (Θα υποθέσουμε ότι είναι αληθής) • Γνωρίζουμε: • n = 400, • = 178, και • = 65 • μμμ. Τι να κάνω μετά;!

25. Παράδειγμα 13.1… • Για να ελέγξουμε τις υποθέσεις μας,μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις: • Η προσέγγιση περιοχή απόρριψης (τυπικά χρησιμοποιείται όταν κάνουμε στατιστική με το χέρι), και • Η προσέγγιση της π-τιμή (η οποία υπολογίζεται με τα στατιστικά λογισμικά πακέτα). • Θα της εξερευνήσουμε και τις δύο με την σειρά …

26. Παράδειγμα 13.1… Περιοχή Απόρριψης … • Η περιοχή απόρριψης(rejection region) είναι ένα πεδίο τιμών έτσι που αν το στατιστικό τεστ πέφτει στο πεδίο,αποφασίζουμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση για χάρη της εναλλακτικής υπόθεσης.

27. Παράδειγμα 13.1…

28. Παράδειγμα 13.1… Μπορούμε να υπολογίσουμε αυτό βασισμένοι σε οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας (α) θέλουμε …

29. Παράδειγμα 13.1… • Με 5% επίπεδο σημαντικότητας (δηλαδή,α=0.05), παίρνουμε

30. H1: > 170 H0: = 170 Παράδειγμα 13.1… Το Σημαντικό Σχήμα … =175.34 =178 Απορρίπτουμε την H0για την

31. Τυποποιημένο Στατιστικό Τεστ … • Μία ευκολότερη μέθοδο είναι να χρησιμοποιήσουμε το τυποποιημένο στατιστικό τεστ: • και να συγκρίνουμε το αποτέλεσμα του με zα: • (Περιοχή απόρριψης z >zα) • Αφού z = 2.46 > 1.645 (z.05), απορρίπτουμε την H0για την H1…

32. π-τιμή • Η π-τιμή (p-value)ενός τεστ είναι η πιθανότητα να παρατηρήσουμε ένα στατιστικό τεστ τουλάχιστον τόσο ακραίο όσο η υπολογισμένη δοθέντος ότι η μηδενική υπόθεση είναι αληθής. • Στην περίπτωση του παραδείγματος με το πολυκατάστημα, ποια είναι ηπιθανότητανα παρατηρήσουμε μία δειγματοληπτική μέση τιμή τουλάχιστον τόσο ακραίαόσο η υπολογισμένη (i.e. = 178), δοθέντος ότι η μηδενική υπόθεση (H0: μ = 170) είναι αληθή; p-value

33. Ερμηνεύοντας την π-τιμή … • Όσο πιο μικρή είναι η π-τιμή, τόσο πιο πολύ στατιστική μαρτυρία υπάρχει να υποστηρίξουμε την εναλλακτική υπόθεση. • Εάν η π-τιμή είναι μικρότερη από 1%, υπάρχειυπερβολική μαρτυρίαπου υποστηρίζει την εναλλακτική υπόθεση. • Εάν η π-τιμή είναι μεταξύ 1% και 5%, υπάρχει ισχυρή μαρτυρίαπου υποστηρίζει την εναλλακτική υπόθεση. • Εάν η π-τιμή είναι μεταξύ5% και10%, υπάρχει ασθενή μαρτυρίαπου υποστηρίζει την εναλλακτική υπόθεση. • Εάν η π-τιμή υπερβεί 10%, δεν υπάρχειμαρτυρίαπου υποστηρίζει την εναλλακτική υπόθεση. • Παρατηρούμε μία π-τιμή ίση με .0069, εκ’ τούτου υπάρχειυπερβολική μαρτυρίανα υποστηρίξουμε H1: μ > 170.

34. Interpreting the p-value… Υπερβολική Μαρτυρία (Υψηλά Σημαντική) ΙσχυρήΜαρτυρία (Σημαντική) ΑσθενήΜαρτυρία (Μη Σημαντική) Δεν ΥπάρχειΜαρτυρία (Μη Σημαντική) 0 .01 .05 .10 p=.0069

35. Ερμηνεύοντας την π-τιμή … • Συγκρίνουμε την π-τιμή με την επιλεγμένη τιμή για επίπεδο σημαντικότητας: • Εάν η π-τιμή είναι μικρότερη του α,κρίνουμε ότι η π-τιμή είναι αρκετά μικρή για να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. • Εάν η π-τιμή είναι μεγαλύτερη του α,δεν απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση. • Αφού η π-τιμή = .0069 <α = .05, απορρίπτουμε την H0για την εύνοια της H1

36. Υπολογίζοντας π-τιμές με το Excel… • Functions > Statistical > ZTEST • Ι) Επιλέγουμε τα Δεδομένα • ΙΙ) Δίνουνε την Υποθετική Μέση Τιμή -> μ0 (Η0: μ= μ0) • ΙΙΙ) Δίνουμε την διακύμανση του πληθυσμού σ • Παίρνουμε την π-τιμή για το z-τεστ με δίπλευρη εναλλακτική. • (Για z-τεστ με μονόπλευρη εναλλακτική απλά διαιρούμε την παραπάνω π-τιμή δια δύο, όταν η δειγματοληπτική μέση τιμή πέφτει στην πλευρά την οποία επιθυμούμε)

37. Υπολογίζοντας π-τιμές με το Excel… • Θεωρήστε τα δεδομένα του Παραδείγματος 13.1. • Κλικ: Tools > Data Analysis Plus > Z-Test: Mean p-value

38. Υπολογίζοντας π-τιμές με το Excel… • Εναλλακτικά, μπορούμε να συγκρίνουμε τοτυποποιημένο στατιστικό τεστμε τηνκριτική τιμή της z: test stat z.05 Ξανά, z = 2.4605 > 1.6449 = z.05, έτσι απορρίπτουμε την H0…

39. Συμπεράσματα από έναν Έλεγχο Υποθέσεων … • Εάν απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει αρκετή μαρτυρία που τεκμηριώνει την εναλλακτική υπόθεση ότι αληθεύει. • Εάν δεν απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει αρκετή μαρτυρία που τεκμηριώνει την εναλλακτική υπόθεση ότι αληθεύει. • Θυμηθείτε: Η εναλλακτική υπόθεση είναι πιο σημαντική. Παριστάνει αυτό που πραγματικά ερευνούμε.

40. Παράδειγμα 13.1-β - Συνέχεια του 13.1 … • Ο αντικειμενικός στόχος αυτής της μελέτης είναι να εξάγουμε ένα συμπέρασμα σχετικά με την μέση τιμή των περιόδων πληρωμών. Έτσι η παράμετρος του ελέγχου είναι η μέση τιμή του πληθυσμού.Θέλουμε να γνωρίζουμε εάν υπάρχει στατιστική μαρτυρία για να δείξουμε εάν η μέση τιμή του πληθυσμού είναι μικρότερη από 22 μέρες. Έτσι, η εναλλακτική υπόθεση είναι • H1:μ < 22 • Η μηδενική υπόθεση είναι • H0:μ = 22

41. Παράδειγμα 13.1-β - Συνέχεια του 13.1 … • Το στατιστικό τεστ είναι • Επιθυμούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση για την εύνοια της εναλλακτική μόνο εάν η δειγματοληπτική μέση τιμήκαι εκ’ τούτου η τιμή του στατιστικού τεστ είναι αρκετά μικρή. Ως αποτέλεσμα τοποθετούμε την περιοχή απόρριψης στην αριστερή ουρά της δειγματοληπτικής κατανομής. • Αναθέτουμε το επίπεδο σημαντικότητας στο 10%.

42. Παράδειγμα 13.1-β - Συνέχεια του 13.1 … • Περιοχή απόρριψης: • Από τα δεδομένα υπολογίζουμε • και • Π-τιμή = P(Z < -.91) = .5 - .3186 = .1814

43. Παράδειγμα 13.1-β - Συνέχεια του 13.1 … • Συμπέρασμα: Δεν υπάρχει αρκετή μαρτυρία για να συμπεράνουμε ότι η μέση τιμή είναι μικρότερη από 22. • Δεν υπάρχει αρκετή μαρτυρία για να συμπεράνουμε ότι το σχέδιο για τις πληρωμές θα είναι κερδοφόρο.

44. Μονόπλευρος και Δίπλευρος Έλεγχος … • Το παράδειγμα με το πολυκατάστημα ήταν ένα μονόπλευρο, αφού η περιοχή απόρριψης τοποθετείται σε μία μόνο ουρά της δειγματοληπτικής κατανομής: • Πιο συγκεκριμένα, αυτό ήταν ένα παράδειγμα ελέγχουδεξιούτεστ.

45. Μονόπλευρος και Δίπλευρος Έλεγχος … • Στο Παράδειγμα 13.1-β ο έλεγχος είναι αριστερής ουράς αφού η περιοχή απόρριψης τοποθετήθηκε στηναριστερήουρά τηςδειγματοληπτικής κατανομής.

46. Δίπλευρος Έλεγχος … • Υπολογίστε την κριτική τιμή της μέσης τιμής ( ) και την συγκρίνουμε με την παρατηρημένη τιμή της δειγματοληπτικής μέσης τιμής ( )… Υπόθεση ελέγχου Απορρίπτουμε την Η0

47. Αριστερόπλευρος Έλεγχος … • Υπολογίζουμε την κριτική τιμή της μέσης τιμής ( ) και την συγκρίνουμε με την παρατηρημένη τιμή της δειγματοληπτικής μέσης τιμής ( )… Υπόθεση ελέγχου Απορρίπτουμε την Η0

48. Δίπλευρος Έλεγχος … • Έλεγχος με δύο ουρές χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να ελέγξουμε μία ερευνητική υπόθεση ότι η παράμετρος δεν είναι ίση (≠) με κάποια τιμή to Απορρίπτουμε την Η0 Απορρίπτουμε την Η0 Υπόθεση ελέγχου

49. Παράδειγμα 11.2… • Η AT&T’s διαφωνεί ότι οι χρεώσεις της είναι τέτοιες που οι πελάτες της δεν βλέπουν διαφορά στους λογαριασμούς τηλεφώνου μεταξύ αυτής και των ανταγωνιστών της. Υπολογίζουν την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση για όλους τους πελάτες της ίσες με $17.09 και $3.87 (αντίστοιχα). • Ύστερα παίρνουν δείγμα 100 πελατών τυχαία και ξανά υπολογίζουν έναν μηνιαίο λογαριασμό τηλεφώνου σε συμφωνία με τις χρεώσεις των ανταγωνιστών. • Το τι θέλουμε να δείξουμε είναι εάν ή όχι: • H1:μ ≠ 17.09. Ελέγχουμε αυτό, υποθέτοντας ότι: • H0: μ = 17.09

50. Παράδειγμα 11.2… • Η περιοχή απόρριψης τοποθετείται έτσι ώστε να μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση όταν το στατιστικό τεστ είναι μεγάλο ή όταν είναι μικρό. • That is, we set up a two-tail rejection region. The total area in the rejection region must sum to , so we divide this probability by 2. stat is “small” stat is “large”