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Congruência de Triângulos

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Congruência de Triângulos. SEAM 17/03/2014. Temos que dois triângulos são congruentes: Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos . Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos. Casos de congruência:.

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Presentation Transcript
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Temos que dois triângulos são congruentes:

  • Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
  • Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.
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1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.

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4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

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Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.

Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

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CevianasNotáveis

As cevianas aqui estudadas serão: Mediana, Bissetriz Interna e Altura.

O nome ceviana foi dado a esses seguimentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734), que demonstrou teoremas importantes 

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Definição de Ceviana: é todo segmento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vértice.

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Por convenção, os pontos médios dos lados opostos aos vértices A, B e C são denotados por MaeMb, respectivamente e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos são denotados por mae mb.

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Mediana e Baricentro

Num triângulo ABC, marquemos , ponto médio do lado BC.

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O segmento é uma mediana do triângulo ABC.

Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto.

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Um triângulo tem três medianas. Na figura, as três medianas são:

  • , mediana relativa ao lado BC ou ao vértice A;
  • , mediana relativa ao lado AC ou ao vértice B;
  • , mediana relativa ao lado AB ou vértice C.
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Na figura, G é o baricentro do triângulo ABC.

Bissetrizes e incentro.

Num triângulo ABC, tracemos a bissetriz As, relativa ao ângulo Â. Chamemos de S1 o ponto de encontro da bissetriz com o lado BC.

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Observe que:

  • O segmento AS1 está contido na semirreta As (bissetriz do ângulo Â);
  • S1 é a interseção do lado BC com a bissetriz do ângulo Â.
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Bissetrizde um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

Um triângulo em três bissetrizes. Na figura, as três bissetrizes são:

  • As1, bissetriz relativa ao lado BC ou ao vértice A;
  • BS2, bissetriz ao lado AC ou ao vértice B;
  • CS3, bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice.
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As três bissetrizes de um triângulo encontram-se num ponto chamado incentro do triângulo.

Na figura, S é o incentro do triângulo ABC.

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Alturas e ortocentro

Num triângulo ABC, tracemos pelo ponto A uma reta r perpendicular à reta que contém o lado BC.

Chamemos de H1 o ponto de encontro da reta r com a reta BC:

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Destaquemos o segmento AH1:

O segmento AH1 é uma altura do triângulo ABC.

O ponto H1 é a interseção da reta BC com a perpendicular a ela conduzida pelo ponto A. H1 também é chamado pé da altura.

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Altura de um triângulo é o segmento perpendicular à reta suporte de um lado, com extremidade nessa reta e no vértice oposto a esse lado.

Um triângulo tem três alturas. Observe:

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Nas figuras acima, as três alturas são:

  • AH1, altura relativa ao lado BC ou ao vértice A;
  • BH2, altura relativa ao lado AC ou ao vértice B;
  • CH3, altura relativa ao lado AB ou ao vértice C.
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As três alturas, ou os seus prolongamentos, encontram-se num ponto chamado ortocentro do triângulo.

Nas figuras, H é o ortocentro do triângulo ABC, o qual pode ser interno ao triângulo (quando o triângulo ABC é acutângulo) ou externo ao triângulo ABC é obtusângulo).

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Mediatrizes e circuncentro

Num triângulo ABC, tracemos a reta perpendicular ao lado BC e passando por , ponto médio de BC.

A Reta é a mediatriz do lado BC.

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Um triângulo em três mediatrizes de lados. Na figura abaixo, as três mediatrizes são:

  • , mediatriz de BC;
  • , mediatriz de AC;
  • , mediatriz de AB.
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As três mediatrizes dos lados de um triângulo encontram-se num ponto chamado circuncentro do triângulo.

Na figura, O é o circuncentro do triângulo ABC.

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1- No triângulo, determine

  • os valores de x e y:
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2. Um triângulo tem dois de seus ângulos medindo 46° e 112° , respectivamente. Qual a medida do terceiro ângulo desse triângulo?

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5- Um triângulo é isósceles e dois lados medem 4 cm e 6 cm.

  • Que medidas pode ter o terceiro lado?
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8 -O segmento de reta s do triângulo abaixo é:  a) Mediana  b) Bissetrizc) Alturad) Incentro

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9 -  O segmento de reta M do

triãngulo abaixo é:a) Mediana  b) Bissetrizc) Alturad) Incentro

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10 - Dada a figura abaixo, qual o nome do segmento de reta H?a) Medianab) Bissetrizc) Alturad) Ângulo 

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11 - Marque V para verdadeiro e F para falso(   ) Existe a possibilidade de desenhar um triângulo cuja medidas dos lados são respectivamente 6cm, 7cm e 13 cm.(   ) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

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(   ) Altura é segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto. (   )Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais.

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(   )Bissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice.