§2.4 镜象法 Method of images

1. §2.4 镜象法 Method of images

2. 由分离变量法的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplace’s equation求解场分布；但若在所考虑的区域内有自由电荷分布时，则用Poisson's equation 求解场分布。 如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的一个问题。解决这类问题的一种特殊方法— 称为镜象法。

3. 1、镜象法的基本问题 当在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。 当我们把点电荷作为物，把导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷（其效果用象电荷代替）就可作为象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是实际场的分布。

4. 2、镜象法的理论基础 镜象法的理论依据是唯一性定理。其实质是在所研究的场域之外的适当地方，用实际上不存在的 “象电荷” 来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由Poisson’s equation 或 Laplace's equation 和边界条件决定。 这里要注意几点： a)唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分

5. 布所满足的Poisson’s equation 或 Laplace’s equation。因此，在所研究的场域内不能放置象电荷，也就是说，象电荷必须放在研究的场域之外。 b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。 c)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷等效。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在

6. 某些问题中，它们却恰好相等。 d)镜象法的适用范围是：①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。 3、镜象法的具体应用 用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ： a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；

7. y S Q x o a c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。 下面按界面形状的不同分类举例讨论： （1）界面为平面的情况 [例1]接地无限大平面 导体板附近有一点电荷， 其电量为Q，距板a处， 求空间中的势分布。

8. 解: 根据静电屏蔽可判定接地导体板左半空间没有电场。右半空间的电场是Q及S面上的感应电荷面密度 共同产生的。以假想的点电荷Q'等效地代替感应电荷，右半空间的电势必须满足以下条件：

9. y P(x,y,z) r' R r θ a b x Q (a,0,0) Q' (-b,0,0) 为了满足方程（1），象电荷Q’必须在左半空间内，这样才能使原方程不变，由（2）、（3）可设Q‘的位置及大小，如图所示 因此，在右半空间任一点的电势为：

10. 由于：

11. 故有： 由（3）式 得到，要使该式成立，只有（象电荷的大小，位置） 故得电势分布：

12. ▲现在求无限大接地导体板平面上的感应电荷分布情况：▲现在求无限大接地导体板平面上的感应电荷分布情况： 根据导体平衡条件，导体面上有 所以 其中

13. 故 可见 与Q异号，这是合理的。 ▲进一步求无限大导体面上的总感应电荷Q感： 因为导体板面在y , z平面上，

14. y ds θ ρ x o z 所以

15. 故 可见，导体板面上总感应电荷Q感恰好等于点是荷Q的电量。

16. Ro Q a （2）界面为球面的情况 [例2]有一半径为Ro的接地导体球，距球心为a(a>Ro)处有一点电荷Q，求空间的电势分布。 解: 取球心为坐标原点，球心到点电荷Q的方向为x轴，设Q的坐标为（a,0,0)。根据静电平衡条件。球内的电势为零。只讨论球外空间的电势即可。

17. 球外空间的电势由Q及球面上感应电荷共同激发的，其电势所满足的定解条件为： 用一个象电荷Q‘来代替球面上的感应电荷，为了不改变原方程，Q’必须在球内，并设距球心为b，故等效为：

18. P(x,y,z) R r r' θ x o a b Q' Q 球外空间一点的电势为

19. 在b < R0的区域，不论Q’取任何值，其解都满足方程和在无穷远处的边界条件。现在的问题是如何调整Q’和b的数值使得解也满足（2）式。因此，把（2）式用于其解，则 则有：

20. 移项得到 式中，左边为一常数，右边含有变量 ，对任何 值都要使上式成立，只有使两边都等于零，即 由（4）式得 将（6）式代入（5）式得

21. 即 解此关于b的二次方程，得到 将此代入（6）式，即有

22. 分析这里解的形式，可知b=a不符合物理要求，由于此时Q'在球外空间，改变了原方程，故b=a及Q'=±Q分析这里解的形式，可知b=a不符合物理要求，由于此时Q'在球外空间，改变了原方程，故b=a及Q'=±Q 应该舍去。又由于（2）式的要求， 不符合要求。至此只有解（此即为象电荷的大小和位置）

23. 才是符合要求的解。 因此，球外空间任一点的电势为 ▲球面上的感应电荷面密度：

24. ▲总感应电荷为 即感应电荷的大小正好等于象电荷Q'的大小。

25. ▲根据上述例子，作如下几点讨论： a) 导体球既不接地又不带电 这种情况与[例2]的差别仅在于边界条件，这里 导体球不带电，即要求满足电中性条件 显然，[例2]的解（8）式不满足电中性的条件，如在球内再添置一个象电荷 ，则满足电中性条

26. 件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，Q"必须放在球心处，于是件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，Q"必须放在球心处，于是 再由

27. 得到 b)导体球不带电其电势的U0 这种情况与[例2]的差别仍然在边界条件，这里 U0是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心处放置了电量为 的点电荷，显然，其解为

28. 由 得到 c)若点电荷Q在导体球壳内距球心a处 这时与[例2]的情况相比，仅是源电荷的位置由球

29. 外搬进到球内。此时，接地球壳外无场强，场的求解区域在球内。故可根据可逆性原理来解释：球内的电势等于源电荷Q和球面上的感应电荷（球壳内表面）—象电荷Q‘（在球外 处，大小为 ）产生的电势： 这里要注意：象电荷的电量Q'大于源电荷的电量Q，球内的电势与导体球是否接地、是否带电无关。

30. P R q-Q' r r' o x a b Q' Q d) 若导体球带电q但不接地 这种情况的物理模型为： 则球心有电荷（q- Q') ，则P点的电势为

31. 由 得到

32. Q （3）界面为劈形的情况 [例3]有两个相交的接地导体平面，其夹角为 ，若在所夹区域内有一电量为Q的点电荷，求下列情况下所夹角域内的电势：

33. 解: 从上面的例子可以看出，用镜象法处理问题时，只要象电荷都放在所考虑的区域之外，就不会改变电势在该区域内所满足的泊松方程。故检验解是否正确的关键是看它能否满足全部边界条件。

34. B P r -Q r2 Q 2 R r1 A r3 o 1 3 Q -Q ▲下面按夹角 不同情况分别讨论其电势分布情况。 a 、

35. 所考虑的区域内，势满足定解条件。 为了使A板的电势为零，应在以A板为对称面，将A板上的感应电荷以象电荷-Q放置在与源电荷Q对称的位置“1”处，要使B板的电势为零，应以B板为对称面，将B板上的感应电荷以象电荷-Q放置在与源电荷Q对称的位置“2”处，而且还需在“1”相对于B板的对称位置“3”处放置+Q的象电荷，才能保证 ，不难看出，此时也满足 于是所考虑区域内任一点

36. B -Q 5 +Q Q 4 A 1 3 -Q -Q 2 +Q 的电势为 b、

37. B -Q +Q Q A -Q 5 4 1 +Q -Q 3 2 2 -Q +Q 要保证上 则必须有5个象电荷，其位置，大小和符号如图示，于是所求区域内电势为 c、

38. 要保证 则必须有7个象电荷，故电势为 一般说明：只要 满足 偶数的情形，都可用镜象法求解，此时象电荷的个数等于 ，加上原来的电荷总共有 个，这些点电荷都在过原点电荷与两导体面的交线垂直面内。而且都在此垂面与交线的交点为圆心，交点到原点电荷处的距离为半径的圆周上。若 不满足该条件，则象电荷在所求区域内，改变了原方程，不可用镜像法求解。

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