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★ 前回までの復習 ○無衝突自己重力多体系 ○無衝突ボルツマン方程式 ○ 定常解(平衡解)は? (strong)Jeans 定理 積分量 一方、 (巨大)楕円銀河:共通な特徴 定常状態か? *光度分布 *三軸不等楕円体 *速度分散の非等方性 しかし、二体散乱は効いていない violent relaxation Lynden-Bell 分布? 質量発散、数値実験結果とは合わない . ★ 3軸不等楕円銀河の力学構造の構築 Lynden-Bell 分布でないとすると、実際は どんな力学構造をしているのだろうか?
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★前回までの復習 ○無衝突自己重力多体系 ○無衝突ボルツマン方程式 ○ 定常解(平衡解)は? (strong)Jeans定理 積分量 一方、 (巨大)楕円銀河:共通な特徴 定常状態か? *光度分布 *三軸不等楕円体 *速度分散の非等方性 しかし、二体散乱は効いていない violent relaxation Lynden-Bell分布? 質量発散、数値実験結果とは合わない
★3軸不等楕円銀河の力学構造の構築 Lynden-Bell分布でないとすると、実際は どんな力学構造をしているのだろうか? ◎3軸不等かつ速度分散が非等方 第3積分の存在!
従って、非等方 E以外の積分あり(2つ) しかも、軸対称ではないので、角運動量ではない、 積分 ◎積分量3つ規則的軌道(regular orbit)で 構成されているはず
★まとめると、 三軸不等楕円体 ほとんど規則的な軌道で 構成されているはず 速度分散は等方に なってしまう regular orbitsで構成 Schwarzschild:regular orbitsによって、定常的 な三軸不等楕円ポテンシャルを 無矛盾に構築可能
★Schwarzshildのself-consistent model Schwarzshild(1979) *はじめて、3軸不等(triaxial)ポテンシャル中での定常状態の 存在を示した。
★手法 ◎ρの構成
◎これは何をやっていることに対応するか? Cf.2次元系(1自由度系)
★結果 regular orbit(box orbitとtube orbit)の 組み合わせで、定常状態の存在を示す ことができた
★その他の場合 ○figure rotationがある場合 ○軸比を変化 ○ポテンシャルの形を変化 Heisler et al.(1982), Clearly(1989),Martinet et al.(1988)など 様々な場合に軌道の安定性と分岐構造が解析されている。
★解析的に解ける場合 変数分離型 Stackel potential *2次元の場合
★その後の発展 中心:core cuspがある場合 Merritt&Fridman(1996), Merritt(1996)
★結果 ○中心部ではカオスがdominate。 ただし、weak cuspの場合の方がゆっくりと拡散。 ○strong, weak cuspいずれの場合もregular orbitのみでは self-consistentモデルを構築できない ○stochastic orbitを入れれば構築できる “準平衡”(時間が経つと変化) ○fully mixed stochastic orbitを中心部で使う。 しかし、strongではできない。 *もし、strong cuspの存在が事実 triaxialではなく、spheroidであろう
★Schwarzshild法の問題点 定常解の存在は分かるが・・・・・ 唯一性? 大局的な安定性? 実際は、どういう状態が選ばれやすいのか? *様々なモデル作り(template)に適しているかも
★まとめと問題提起 ★Violent Relaxation 位相空間のミキシング カオス ★3体問題:カオス 大自由度系は もっと複雑?! ★三軸不等楕円体 規則的軌道で構成 矛盾?? この二面性はどう説明されるのだろうか? 実は、ハミルトン系のカオス、エルゴード性とも 関連
★ハミルトン系のカオスと安定カオス ★カオスとは? 完全可積分系カオス ★完全可積分系 孤立積分:N個の保存量 はポアッソン括弧に 対して互いに包含的である
★カオスの特徴と定量的判定 ◎特徴 ・非周期的運動 ・初期条件のずれが指数関数的に拡大 予測困難 ◎定量化 Lyapunov exponent:位相空間上での軌道
★可積分系(regular system) 非可積分系 *KAMトーラスの存在
★安定カオス ◎大きく分けて2種類のカオス ・ergodic chaos ・stable chaos カオスであっても長時間、あたかも “regular”のようにみえる *ある場合は、位相空間での残存トーラスの 複雑な自己相似構造に起因
★安定カオスの例 ◎Stagnant motionY.Aizawa etal.(1989) Stagnant layer KAM(or cantor)トーラスの周りを 長時間まとわりつく *カオスであってもあたかも “regular”のようにみえる ◎残存トーラスのフラクタル構造 ・pausing time T: long time tail correlation!
★問題提起 ★ “安定カオス” ・長期的にトーラス付近に まとわりつく ・状態の遷移 ・滞在時間の分布 ベキ分布 トーラスのフラクタル構造 自己重力多体系でもみられないだろうか? *楕円銀河の力学構造の二面性を説明可能か!? カオスであり、かつregularになっている
★ 大自由度系での緩和とmixing(混合性) カオス:少数自由度でも複雑な運動 熱平衡化 大自由度系:自由度を増やす ノイズを加える 熱平衡化しやすいと期待 系のサイズN ∞ の時に、KAMトーラスの 体積は0になるのか? ◎大自由度系の保存系は熱平衡になるしかないか? ◎カオスとregular領域の混在する系での緩和、 熱平衡化に関しては未開拓
§8.自己重力多体系の緩和過程 8-1 緩和過程と混合性 Relaxation Process of Normal Gas(Liquid) on the Ground Relaxation:approach to the thermal equilibrium (“thermalization”:熱平衡化) (熱平衡) the maximum entropy state thermal equilibrium (Maxwell-Boltzmann distribution) microcanonical distribution(ミクロカノニカル分布) We can see this thermalized state at any time after relaxation.
★Microscopic dynamics is described as a trajectory in the Γ space(2×D×N-dimensional phase space) D:spatial dimension N:number of particles Γ space Relaxation process = Mixing (混合性)===>Ergodicity(エルゴード性) In the mixing system, a small but finite part of the phase space spread over a whole ergodic region by means of coarse graining . Chaos N>>1random collision information loss Relaxation Time τ~tKS=1/hKS (hKS:Kolmogorov-Sinai(KS)entropy)
★エルゴード性と混合性 ○エルゴード性:物理量の長時間平均=集団平均 しかし、 エルゴードだからといっても、混合性ではなく、 緩和と関係ない場合もある。 例:1個の調和振動子: エルゴードであるが、しかし、緩和とは 関係ない
★混合性:熱平衡に近づくために、エルゴードより強い条件★混合性:熱平衡に近づくために、エルゴードより強い条件 ◎混合系 エルゴード系 (証明は、参考文献の中野・服部のtextを参照) 位相空間(Γ空間)でのphase mixingによる 分布の広がり カオスの発生メカニズムとも対応
★熱平衡状態への緩和について 混合性 相関の消滅 (初期情報の消滅) ◎Mixingと粗視化 mixing (ほぼ全域から) 軌道が入ってくる + 粗視化 (非可逆性が入る!) Γ空間のE=一定面上でどこでも同じ “安定”(平衡)
つまり、 ミクロカノニカル分布になる
★緩和時間とKSエントロピー ◎Kolmogorov-Sinai(KS)エントロピー ◎物理的意味 初期でのlittle phase volume 時刻t後 mixingするtime scale :その系で、現在までにある巨視的物理量の測定をあらかじめ どんなに多数回測れたとしても、現在の値は確定しない。
Problem: How is the relaxation process in the self - gravitating system? Is the relaxation process similar to the normal gas? In general, N≧3Chaos IfN>>1 Strong Chaos?? Strong Mixing? Relaxation is strengthened?
8-2 1次元重力シート多体系 ------- Sheet Systems------- N identical plane-parallel mass sheets, each of which has uniform mass density and infinite in extent in the vertical direction of the moving ★Advantages ○phase space is compact, which makes the system tractable in considering ergodicity ○the evolution of the system can be followed numerically with a good accuracy. ○we can study the properties induced by long range forces even in the 1-D systems.
8-3 緩和過程とカオス的遍歴 Complicated approach to “thermalization” Initial state(virial equilibrium:ビリアル平衡,τ~tc) Microscopic relaxation:energy equipartition(エネルギー等分配)“quasi-equilibrium state(QE)(準平衡状態)”τ~Ntc Macroscopic relaxation: transit state(TS) e.g.τ~104Ntc(遷移状態) QE TS QE --------- thermal equilibrium(long time average=ensemble average) microcanonical distribution(ミクロカノニカル分布) τ~106Ntc (tc: crossing time, the typical time in which a sheet crosses the system)
★初期条件 例えば、 Water Bagと等温分布(Isothermal) Tsuchiya etal. Physical Review E 50,2607(1994)
★ Degree of deviation from equipartition (if fluctuation behaves in the same manner as thermal noise---> N=64
★degree of deviationや(有限の)リアプノフ指数の 時間進化
★エネルギー分布関数 Microscopic relaxation直後
★Microscopic relaxation ○エネルギー等分配が成立 ○エネルギー分布関数は、ほとんど変化せず。 “準平衡状態” ○緩和時間τ~Ntc ★Macroscopic relaxation ○degree of deviationやリアプノフ指数の値が 変化 ○エネルギー分布関数が変化 “等温分布”に“似た”状態(遷移状態)に移行 ○緩和時間τ~104Ntc
★エネルギー分布関数 Macroscopic relaxation直後
★Macroscopic relaxation以後について この緩和で、“等温分布”にいったものと思ったが。。。 実は、これは、カオス的遍歴の始まりに過ぎなかった。 ◎エネルギー分布関数がもとに“近い”状態にもどった。
★Chaotic Itinerancy(カオス的遍歴) e.g. :degree of deviation from equipartition (if fluctuation behaves in the same manner as thermal noise---> N=64N=32 averaged in time over the interval
★準平衡状態(quasi-equilibrium state)と 遷移状態(transit state) Life timeの分布
★準平衡状態と遷移状態の遷移メカニズム ◎遷移状態:1個の粒子がhigh energyをもつ ◎位相空間: 外側にある粒子の“回転” 遅れるーー>エネルギーをもらう 早くなるーー>エネルギーを失う 準平衡状態 遷移状態への移行直前
★Remarks 1. Complicated relaxation process Chaotic Itinerancy : Probability distribution of the life-time of TS: (QE: ) Fractal structures of the barriers in Γspace 2.Time scale of relaxation What determines the time scale? Size of the largest barrier?