dvoboj kod o k kocke n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Dvoboj kod O. K. kocke PowerPoint Presentation
Download Presentation
Dvoboj kod O. K. kocke

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 42

Dvoboj kod O. K. kocke - PowerPoint PPT Presentation


  • 145 Views
  • Uploaded on

Dvoboj kod O. K. kocke. iliti: grupa Rubikove kocke F. M. Br ü ckler, listopad 2007. Rubikova kocka. kocka podijeljena na 27 sukladnih kocki, srednja je fiksna i sadrži mehanizam koji omogućuje rotaciju pojedine strane čitave kocke vjerojatno najprodavanija igračka svih vremena

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Dvoboj kod O. K. kocke' - raja


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
dvoboj kod o k kocke

Dvoboj kod O. K. kocke

iliti: grupa Rubikove kocke

F. M. Brückler, listopad 2007.

rubikova kocka
Rubikova kocka
  • kocka podijeljena na 27 sukladnih kocki, srednja je fiksna i sadrži mehanizam koji omogućuje rotaciju pojedine strane čitave kocke
  • vjerojatno najprodavanija igračka svih vremena
  • Ernö Rubik, 1974.
  • masovna produkcija od 1980., puno kopija i varijanti
  • standard boja:
  • crvena nasuprot narančaste,
  • žuta nasuprot bijele,
  • plava nasuprot zelene
potez vs stanje kocke
Potez vs. stanje kocke
  • ako smo krenuli od nekog stanja kocke svaki potez jedinstveno definira novo stanje: preraspoređene kockice
  • skup svih poteza na Rubikovoj kocki ćemo označavati s GR
  • uoči: potez je funkcija koja stanju pridružuje stanje
singmasterova notacija
Singmasterova notacija
  • fiksiramo početni položaj (tj. pamtimo boje srednjih kvadratića) kocke
  • 6 osnovnih poteza su rotacije pojedinih strana za 90° u smjeru kazaljke na satu
  • F i B: prednja i stražnja
  • L i R: lijeva i desna
  • U i D: gornja i donja
  • potez = konačan niz osnovnih

poteza

jo malo oznaka
Još malo oznaka
  • XM = rotacija srednjeg sloja paralelnog strani X u smjeru kazaljke na satu
  • pomoću malih slova označavamo podkocki-ce: 3 slova za vrhove, 2 slova za bridne kockice
  • npr. urf je gornji desni prednji vrh, lb je stražnja lijeva bridna kockica
  • uzastopno izvođenje poteza

označavat ćemo nadopisivanjem

slijeva udesno

ponavljanje poteza i neutralni potez
Ponavljanje poteza i neutralni potez
  • Xi = potez X ponovljen i puta zaredom
  • npr. umjesto FFF pišemo F3
  • F9=F
  • ništa ne raditi je također potez: I
inverzni potezi
Inverzni potezi
  • ma kako da smo “izvrtili” kocku, ako se sjećamo tih poteza, možemo ju opet “izvrtiti” u početno stanje vrteći obrnutim redoslijedom
  • obrnuti potez od X zovemo inverznim i označavamo s X-1
  • ako je X osnovni potez: X-1 = X3
  • inverz poteza XY...Z je Z-1...Y-1X-1
to je binarna operacija
Što je binarna operacija?
  • broj plus broj daje broj
  • potez pa potez daje potez
  • binarna operacija je pravilo koje dvama elementima nekog skupa pridružuje element istog skupa
komutativnost
Komutativnost
  • operacija je komutativna ako nije bitan redoslijed njene primjene, npr. zbrajanje brojeva
  • uzastopno izvođenje poteza nije: FR nema isti efekt kao RF
  • ako operacija nije komutativna, svejedno neki parovi elemenata mogu komutirati, npr. FB=BF
  • kad bi izvođenje poteza na Rubikovoj

kocki bilo komutativno, bilo bi ju

lako riješiti – samo bi trebalo

pobrojiti koliko kojih osnovnih

poteza se izvelo i izvesti ih do idućeg višekratnika od 4

red poteza
Red poteza
  • ponavljamo potez X dobivamo poteze XX=X2, XXX=X3, ...
  • ako je X osnovni potez vidjet ćemo: X4=I tj. četverostruka primjena osnovnog poteza ima efekt kao ništa ne raditi
  • dogovor: X0=I
  • najmanji broj n>0 takav da je

Xn=I zovemo red od X

  • odredi red od F2R2!
permutacije
Permutacije
  • permutacija konačnog skupa (npr. kockinih podkoc-kica) je preraspoređivanje elemenata tog skupa
  • skup svih permutacija n-članog skupa: Sn
  • taj skup ima n!=1·2·3·... ·n elemenata
  • svaki potez daje novi raspored kvadratića na kockinim stranama – svaki potez je element iz S54 (zapravo, od S48)
  • pazi: nije rečeno da se svaki potez

može jedinstveno zapisati – dva

zapisa predstavljaju isti potez ako

imaju isti efekt

permutacije na kocki
Permutacije na kocki
  • kako potezima ne možemo vršnu kockicu pretvoriti u bridnu ni obrnuto, razumno je istovremeno, ali odvojeno razmatrati skup permutacija vršnih kockica SVS8 i skup permutacija bridnih kockica SES12
  • svako stanje kocke možemo opisati uređenim parom permutacije

vrhova i permutacije bridova

tj. GR S8×S12

parne i neparne permutacije
Parne i neparne permutacije
  • permutacija je parna/neparna ako parno/ne-parno mnogo puta promijeni redoslijed dva elementa skupa kojeg permutira
kompozicija permutacija
Kompozicija permutacija
  • uzastopno izvođenje permutacija na istom skupu
  • uzastopno izvođenje dva poteza je kompozicija dvije permutacije
  • kompozicija je binarna operacija na Sn
  • npr. skup {1,2,3}, permutacija f zamjenjuje prva dva elementa, a permutacija g zamjenjuje zadnja dva elementa  f iz 1,2,3 napravi 2,1,3, a onda g to preuredi u 2,3,1 tj. fg prevodi 1,2,3 u 2,3,1
  • oprez: po redoslijedu obrnuta notacija

nego je inače koristimo za

kompoziciju funkcija

  • inverzni potez = inverzna permutacija
ciklusi
Ciklusi
  • ciklus (a b c ... z) je permutacija koja a pošalje u b, b u c, c u d itd. i na kraju z šalje u a (ostali elementi skupa se ne miču)
  • ciklus duljine n je reda n
  • npr. potez RDR-1URD-1R-1U-1 je ciklus

(brdurbulb)

  • važno: svaka permutacija je

kompozicija ciklusâ

kocka se može srediti ciklusima!

kompozicije ciklusa
Kompozicije ciklusa
  • p=(1 3)(2 6)(4 5 7) znači: 1 se zamijeni s 3, 2 sa 6, 4574; ako ponovimo istu permutaciju dobit ćemo efekt p2=(4 7 5); ako ju još jednom ponovimo: p3=(1 3)(2 6)
  • znači: ako znam da potez X zamijeni dva para vrhova i napravi 3-ciklus bridnih kockica, onda X2 fiksira vrhove

i napravi 3-ciklus tih bridova

(ne isti), a X3 fiksira bridove, a

zamijeni ta dva para vrhova

komutatori
Komutatori
  • komutator je izraz [X,Y]=XYX-1Y-1
  • [X,Y]=I znači XY=YX
  • npr. [F,R-1]=FR-1F-1R,

[F,R]=FRF-1R-1 (Y- i Z-komutator)

  • XY obavi pola onog što želimo, uz nusefekte
  • X-1Y-1 radi drugu polovinu posla uz

micanje tih nusefekata

  • najčešće:
  • za 3-cikluse vrhova
  • za zakretanje vrhova
primjer
Primjer
  • recimo da potezom X dovodimo neki donji vrh (koji je dobro orijentiran, a želimo ga prebaciti na drugu poziciju donjeg sloja) u gornji sloj
  • kako ćemo ga željeti vratiti dolje, samo na pravilno mjesto, a dobro je orijentiran, znači da će nam za vraćanje natrag trebati X-1
  • recimo da potez Y dovodi donji sloj u poziciju da se s X-1 naš vrh vrati na pravilnu poziciju
  • XYX-1 će dići vrh, pomaknuti dno i

vratiti vrh na dno

  • na kraju treba zaokrenuti dno natrag –

eto komutatora [X,Y]

3 ciklus vrhova i zakret para vrhova
3-ciklus vrhova i zakret para vrhova
  • (brd bru blu)
    • [RDR-1,U]
  • zakretanje dva vrha u suprotnim smjerovima: bru++ fru+
    • [DRDF,U]
jo ne to zanimljivo
Još nešto zanimljivo...
  • ako su X i Y dva osnovna poteza koji zahvaćaju susjedne strane, onda:
  • [X,Y]2 permutira točno 3 bridne kockice i fiksira sve vrhove
  • [X,Y]3 zamjenjuje točno dva para vrhova i ne dira bridove
to je grupa
Što je grupa?
  • skup s binarnom operacijom koja ima lijepa svojstva:
  • asocijativnost (uvijek vrijedi ako su elementi skupa funkcije, a operacija kompozicija)
  • neutralni element (ništa ne raditi je također potez – oznaka I)
  • svaki element ima svoj inverz (svaki potez možemo napraviti unatrag i vratiti se u početno stanje)
  • grupa Rubikove kocke GR sastoji se od svih mogućih permutacija 54 kvadratića koje su kompozicije poteza na kocki (dakle, izostavljamo permutacije rastavljanjem kocke i preljepljivanjem naljepnica)
cikli ke grupe
Cikličke grupe
  • ako je X reda n, skup {I,X,X2,...,Xn-1} uz kompoziciju čini tzv. cikličku grupu X, X se zove njenim generatorom
  • npr. 0h+4h=4h2=3h, 4h+4h=8h, 8h+4h= 4h3 =12h=0h  {0h, 4h, 8h}= 4h, 4h je reda 3
  • oznaka: Cn je ciklička grupa s

generatorom reda n

  • u konačnoj grupi svaki element je

konačnog reda – dokaži!

izomorfne grupe
Izomorfne grupe
  • ako se dvije grupe razlikuju samo u smislu/oznakama elemenata i operacije, kažemo da su izomorfne – smisao je: “u biti su iste”
  • kad bismo u tablici “množenja” prve grupe zamijenili svaki element s po jednim (odgovarajućim) elementom druge, dobili bismo tablicu “množenja” druge grupe
tablica mno enja cikli ke grupe
Tablica množenja cikličke grupe

ב je izomorfna s C4

podgrupa
Podgrupa
  • podskup grupe takav da su rezultati primjene binarne operacije na njegove elemente opet njegovi elementi
  • npr. U={1,U,U2,U3} je podgrupa od GR koja je pak podgrupa od S48
  • Lagrange: ako je G grupa s m elemenata, onda je broj elemenata bilo koje njene podgrupe H djeljitelj od m, a taj djeljitelj se zove indeks od H u G
  • dakle: |GR| je višekratnik od 4,

a djeljitelj od 48! 

  • svi komutatori [X,Y] elemenata grupe G čine komutatorsku podgrupu G’
mo e li biti vi e generatora
Može li biti više generatora?
  • može! ako se grupa sastoji od svih (i samo onih) elemenata koji se dobiju primjenom operacije na elemente a,b,c,... kažemo da je generirana s a,b,c,... i označavamo ju s a,b,c,...
  • GR= U,D,L,R,F,B
  • R2, U2 je podgrupa od GR,

u njoj je koristan potez (R2U2)3

reda 2 koji istovremeno zamijeni

fu s bu te fr s br:

red grupe i podgrupe
Red grupe i podgrupe
  • red grupe je broj njenih elemenata
  • ako je on djeljiv prostim brojem p, onda u grupi postoji element reda p (Cauchy)
  • ako red grupe nije djeljiv brojem n, onda ne postoji element grupe tog reda
  • pokazuje se da je red od GR jednak 22731453721143·1018
  • u grupi kocke postoje elementi redova

2,3,5,7 i 11, ali ne i većih prostih

redova niti recimo reda 121

  • dokazano je da je najveći red koji

neki element u GR može imati 1260:

RU2D-1BD-1

konjugiranje
Konjugiranje
  • ako imamo dva elementa X,Y grupe G, onda za element XY=Y-1XY kažemo da je dobiven konjugiranjem elementa X elementom Y
  • skup svih elemenata koje možemo dobiti konjugiranjem elementa X drugim elementima zove se klasa konjugacije elementa X
  • recimo, RU je element reda 4
emu konjugiranje
Čemu konjugiranje?
  • recimo da je Y neki potez koji za efekt ima 3-ciklus vrhova gornjeg sloja
  • recimo nadalje da je X potez kojim se postiže da se 3 vrha koje želimo permutirati 3-ciklusom nađu na gornjem sloju
  • tada će XY biti 3-ciklus

željenih vrhova!

neke podgrupe su normalne a neke nisu
Neke podgrupe su normalne, a neke nisu...
  • podgrupa je normalna ako kad god neki njen element konjugiramo nekim elementom grupe, rezultat ostaje u toj podgrupi
  • ako je grupa komutativna, svaka podgrupa je normalna
  • važne za razne teorijske

konstrukcije

primjeri
Primjeri
  • podgrupa kocke koja se sastoji od onih permutacija koje imaju efekt samo na vrhovima je normalna: ako potez X fiksira bridova, onda i za sve Y XY fiksira bridove
  • podgrupa F nije normalna jer konjugiranje poteza Fi može dio gornje strane prebaciti na neku drugu stranu
djelovanje grupe na skupu
Djelovanje grupe na skupu
  • grupa G djeluje na skupu S ako svaki element g od G možemo shvatiti kao funkciju koja elementu x od S pridružuje element g(x) od S i to tako da neutralni element od G djeluje kao identiteta, a djelovanje produkta dva elementa od G je kompozicija djelovanja tih elemenata
  • grupa Rubikove kocke djeluje na skupu S

svih podkockica, skupu E svih

bridova i skupu V svih vrhova

  • svaka grupa djeluje sama na sebe konjugiranjem
tranzitivnost i orbite
Tranzitivnost i orbite
  • ako djelovanjem grupe možemo za svaka dva zadana elementa skupa jedan prevesti u drugi, djelovanje je tranzitivno
  • npr. djelovanja GR na V i E su tranzitivna
  • orbita elementa x iz skupa je

skup Gx svih elemenata

koje iz njega možemo

dobiti djelovanjem grupe

algoritam odre ivanja orbite
Algoritam određivanja orbite
  • G=a,b,c,...
  • xS
  • Gx={x}
  • for (yGx) do
    • for (z{a,b,c,...}) do
      • if (z(y)Gx) then (Gx=Gx{g(y)})
centar grupe
Centar grupe
  • podgrupa koja se sastoji od svih elemenata koji komutiraju sa svim ostalim elementima grupe
  • ako je grupa komutativna, centar je jednak njoj samoj
  • centar od GR je dvočlan:

u njemu su samo I i “superflip”

R-1U2BL-1FU-1BDFUD-1LD2F-1RB-1DF-1U-1B-1UD-1

standardne oznake orijentacije
Standardne oznake orijentacije
  • zamišljene oznake, recimo znakovi +, na kvadratićima kocke, i to:
  • na gornjem kvadratiću gornjeg prednjeg i gornjeg

desnog brida i na prednjem

kvadratiću prednjeg desnog

brida te pozicije koje ti

kvadratići mogu zauzeti

rotacijom pripadnog sr. sloja

  • svi gornji i svi donji
  • kvadratići vrhova
prvi fundamentalni teorem o kocki
Prvi fundamentalni teorem o kocki
  • podaci koji su nam potrebni za precizan opis stanja kocke:
  • permutacija vrhova
  • permutacija bridova
  • što je s oznakama bridnih kockica?
  • što je s oznakama vršnih kockica?
drugi fundamentalni teorem o kocki
Drugi fundamentalni teorem o kocki
  • svaka pozicija Rubikove kocke može se opisati s 4 podatka:
  • permutacijom vrhova (S8) i permutacijom bridova (S12) koje su iste parnosti,
  • orijentacijom vrhova (uređena 8rka brojeva iz skupa {0,1,2} čiji zbroj je djeljiv s 3

– “sačuvanje zaokreta”) ... C38

  • orijentacijom bridova (uređena 12orka

brojeva iz skupa {0,1} čiji zbroj je

djeljiv s 2 – “sačuvanje obrtaja”) ... C212

direktni i semidirektni produkti grupa
Direktni i semidirektni produkti grupa
  • direktni: kao obični Kartezijev produkt, a binarna operacija po koordinatama
  • npr. (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’) čini × grupom
  • semidirektni: G je H1 H2 ako su
  • H1,H2 podgrupe od G (H1 normalna)

kojima je jedini zajednički element 1,

  • svaki element iz G se može napisati

kao produkt elemenata iz H1 i H2

posljedice
Posljedice...
  • ilegalna grupa kocke je izomorfna direktnom produktu C37 S8 i C211 S12
  • GR je njena podgrupa (normalna, indeksa 2) u kojoj su oni elementi za koje je permutacija vrhova i permutacija bridova iste parnosti
  • komutatorska podgrupa GR’ je relativno velika tj. većina poteza u GR mogu se generirati komutatorima:
  • GR’ od GR se sastoji od elemenata za

koje je su permutacija vrhova i

permutacija bridova parne

  •  GR ima dvostruko elemenata koliko G’
za kraj i dvoboj mo e biti po etak
Za kraj: i dvoboj može biti početak

Evariste Galois,

25.10.1811.Bourg la Reigne, Francuska – 31.5.1832.Paris