1 / 57

BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN. 3.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik, terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4.

rahim-koch
Download Presentation

BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

  2. 3.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik, terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 3.1

  3. y 0,0001 6,0001 6 5,9999 0,0001 x O 2 0,0001 0,0001 2,0001 1,9999 Gambar 4.1

  4. Dari Tabel atau Gambar 3.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan fungsi x lainnya yaitu, (x2+ 1)(x+ 3) x3 + 3x2 + x+ 3 Jika fungsi pembilang kita faktorkan, didapat f(x) = atau f(x) = x2 + 1 untuk x  3 f(x) = x+ 3 x+ 3 Artinya f(x) = x2 +1 tak terdefinisi untuk x = –3. Untuk mengamati perilaku fungsi disekitar titik x = –3 berikut perhatikan Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x2 +1 untuk x –3 (Gambar 4.2).

  5. y 10,00060001 9,99940001 x –3 0 0,0001 0,0001 – 2,9999 – 3,0001 Gambar 4.2

  6. JikakitaperhatikanTabeldanGambardiatasmakakitadapat • melihatbahwauntukharga x mendekati –3 makaharga f(x) • mendekati 5. • Dari uraiandiatasdapatdisimpulkanbahwa: • Jikasebuahfungsiterdefinisipadasuatuselangterbuka yang • memuatbilanganril c tertentu, kecualimungkindititik c itu • sendiri, dan • bila f(x) mendekatibilanganril L tertentupadasaat x • mendekati c, makadapatditulis, f(x) = L (4.1) lim xc dibaca “ limit f(x) adalah L bila x mendekati c” atau “f(x) mendekati L bila x mendekati c”

  7. y L +   f(x) f(x) - L L f(x) - L  f(x) L -  x c - x c x c +  0 c-x x-c  

  8. Untuk x < c , maka : 0 < c – x < atau 0 > x – c > - Untuk x > c , maka : 0 < c – x <  Dari kedua persamaan diatas, didapat 0<|x – c |< (4.2) Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < atau f(x) – L > - Untuk f(x) > L, maka f(x) – L <  Sehingga didapat |f(x) – L | <  (4.3) Dari Gambar 4.3 dan persamaan 4.1 s/d 4.3 maka didapat definisi sebagai berikut, lim f(x) = L xc Pernyataan , berarti untuk setiap  > 0 terdapat >0 sedemikian rupa , sehingga jika 0 <|x – c|< , maka |f(x) – L |<  (4.4)

  9. 4.3 Limit fungsi Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril positif. Teorema-teorema 1. x = c (4.5) lim Bukti : Untuk setiap  > 0 maka terdapat  > 0 sedemikian rupa sehingga, jika 0 < |x – c| < , maka terdapat |x – c| <  xc Jadi untuk  =  didapat |x – c| < 

  10. Contoh 4.1 Bukti : Untuk setiap > 0 maka terdapat  > 0 sedemikian rupa sehingga, jika 0 <| x – c| < , mak a terdapat |k – k| < . Karena |k – k | = 0, maka definisi terpenuhi x = 5 x = –7 k = k (4.6) a. b. 2. lim lim lim x5 x–7 xc

  11. Contoh 4.1 lim lim xc xc lim lim Bukti xc xc 4 = 4 [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) (4.7) 9 = 9 3. b. a. lim lim lim Dari definisi, untuk setiap  > 0 terdapat  > 0 sedemikian rupa sehingga, Jika 0<|x – c|<, maka |(f(x) + g(x) – (L1 + L2)|<  atau |((f(x) – L 1) + (g(x) – L2))| <  dan g(x) = L2 f(x) = L1 xc x2 x–3

  12. Dari ketidaksamaan segitiga didapat, 1 1 1 2 2 2 |((f(x) – L 1) + (g(x) – L2))|  |f(x) – L1|+|g(x) – L2| atau |((f(x) + g(x)) – (L 1 + L2))|  | f(x) – L1|+|g(x) – L2| Karena f(x) = L1 , maka untuk setiap >0 terdapat 1>0 sedemikian rupa, sehingga lim lim xc xc Selanjutnya, karena g(x) = L2 , maka untuk setiap 1  > 0 terdapat 2>0 sedemikian rupa, sehingga 2 jika 0 < | x – c| < 1 maka |f(x) – L1 <  (*) jika 0 < |x – c|< 2, maka |f(x) – L 2| <  (**)

  13. Dari ketidaksamaan segitiga didapat, 1 1 |(f(x) – L1)+(g(x) – L2|  |f(x) – L1|+|g(x) – L2| atau 2 2 |(f(x) + g(x) –(L1+ L2))| |f(x) – L1|+|g(x) – L2| (**) Dari (*), (**), dan (***) didapat, |(f(x) + g(x) –(L1+ L2))| <  +  atau lim lim xc xc |(f(x) + g(x) –(L1+ L2))| <  (terbukti) Contoh 4.3 [f(x) – g(x)] = f(x) – g(x) (4.8) 4. lim lim lim lim (x+6) = x + 6 = 5 + 6 = 11 xc x5 x5 x5 Bukti, ikuti pembuktian teorema 3

  14. Bukti lim lim dan Misal xc xc Dari ketidaksamaan segitiga didapat, Contoh 4.4 g(x) = L2 f(x) = L1 [f(x) . g(x)] = f(x) . g(x) (4.9) 5. lim lim lim lim lim lim |f(x) . g(x) – L1L2| = |f(x) . g(x) – L2f(x) + L2f(x) – L1L2|  |f(x)||g(x) – L2f(x)| + |L2||f(x) – L1|  |f(x)||g(x) – L2f(x)| + (1+ |L2|)|f(x) – L1| (i) (7 –x) = 7 – x = 7 – 5 = 2 x5 x5 xc x5 xc xc

  15. Untuk setiap 1 > 0 terdapat 1 > 0 sedemikian rupa , sehingga jika 0 < |x – c| < 1, maka |f(x) – L1| < 1 (ii) Dari ketidaksamaan segitiga didapat , |f(x) – L1|  |f(x) – |L1| (iii) Dari (ii) dan (iii) didapat |f(x)| – |L1| < 1 atau |f(x)| < |L1| +1 (iv) Dengan mengambil nilai 1 = 1, maka |f(x)| < |L1| +1 (v) Untuk setiap 2 > 0 terdapat 2 > 0 sedemikian rupa , sehingga jika 0 < |x – c| < 2, maka |f(x) – L2| < 2 (vi)

  16. Dengan mengambil nilai 2 = , maka dari (vi) didapat, |g(x) – L2| < (vii) Untuk setiap 21> 0 terdapat 1 > 0 sedemikian rupa , sehingga , jika 0 < |x – c| < 3, maka |f(x) – L1| < 3 (vii) ½  ½  ½  ½  Dengan mengambil nilai 3 = , maka dari (vii) 1 + |L1| 1 + |L2| 1 + |L1| 1 + |L1| didapat, |g(x) |– |L1| < (ix)

  17. Selanjutnya dari persamaan (i), (v), (vii), dan (ix) didapat, Dengan memilih  = min(1, 2, 3 ) akan didapat pernyataan, jika 0 < |x – c| < , maka |f(x) – L1| <  (terbukti) ½  ½  Contoh 4.5 1 + |L1| 1 + |L2| lim lim x5 x5 (7 – x)(x + 1) = (7 – x) . (x + 1) lim x5 (7 – 5)(5 + 1) = (2)(6) = 12 |f(x) – L1L2| < (1+|L1|) + (1+|L2|) = 

  18. – = , g(x)  0 (i) |g(x) – L2| f(x) f(x) |g(x)||L2| g(x) g(x) Bukti lim lim f(x) 6. = (4.10) xc xc f(x) . f(x) = = g(x) 1 1 1 1 g(x) g(x) g(x) g(x) Misal f(x) = L1 dan = lim lim lim lim lim lim lim xc xc xc xc xc xc xc 1 1 Untuk 1 > 0 terdapat 1 > 0 sedemikian rupa, sehingga, L2 L2 jika 0 < |x – c| < 1, maka |g(x) – L2| <1 (ii)

  19. Dari ketidaksamaan segitiga, |g(x) – L2| = | L2– g(x)|  |L2|– |g(x)| (iii) Jadi | L2 – g(x)| <1  |g(x)| >|L2|–1 (iv) Dengan menentukan nilai 1 = , maka 2 |L2|2 1 1 |L2| |L2| |L2| |g(x)| > |L2| – = g(x) |g(x)| 2 2 2 2 Sehingga < (v) |L2| 1 Selanjutnya dari (i) dan (v) didapat , L2 –  |g(x) – L2| (vi)

  20. Untuk 1 > 0 terdapat 2 sedemikian rupa, sehingga jika 0 < |x – c|<2, maka |g(x) – L2| < 2 (vii) Dengan menentukan nilai 1 = , maka persamaan (vii) menjadi, 2 |L2|2 1 1 g(x) g(x) Dari persamaan (i), (v), dan (viii) didapat |g(x) – L2| < (viii) |L2|2 |L2|2 |L2|2 2 2 2 1 1 Dengan memilih  = min(1, 2) akan didapat pernyataan, L2 L2 –  = 1 (ix) jika 0 < |x – c| < , maka – < .

  21. Hal ini membuktikan bahwa x f(x) = = 3 – x g(x) L1 lim lim lim lim f(x) L2 xc x–4 x–4 xc g(x) 1 1 Contoh 4.6 g(x) g(x) x f(x) (4.11) [af(x)] = a lim lim lim lim lim lim lim Jadi = f(x) = = (terbukti) xc xc xc xc x–4 xc xc = = = 1 3 – x 1 g(x) L2 –4 –4 3 – (–4) 7 7. Bukti, lihat persamaan (4.6) dan (4.9)

  22. Contoh 4.7 a. 9x = 9 x = 9e b. 3(4 – x) = 3 (4 – x) = 3(4 –) n f(x) lim 8. xc Bukti [f(x)]n = [f(x)].[f(x)]. … . [f(x)] dengan jumlah faktor f(x) adalah n [f(x)]n = [f(x)]n = [f(x)]n = lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim xc xe xe xc x xc xc xc xc x xc [f(x).f(x). … . f(x)] f(x). … . f(x) f(x) . Dari persamaan 4.9 didapat,

  23. Dari persamaan 4.9 didapat, = n Contoh 4.8 7 (x – 3)7 = (x – 3) = (2 – 3) = –1 [f(x)]n = lim lim lim lim lim lim lim x2 xc xc xc x2 xc xc [f(x)] (terbukti) f(x) f(x). … . f(x) .

  24. 9. Teorema Sandwich ( teorema apit ) Misal terdapat f(x)  h(x)  g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Jika f(x) = L = g(x), Bukti : Untuk setiap  > 0 terdapat 1>0 dan 2>0 sedemikian rupa sehingga, maka h(x) = L (4.13) Jika 0 < |x – c| < 1 , maka | f(x) – L| <  Jika 0 < |x – c| < 2 , maka | g(x) – L| <  (*) Untuk  = min(1,2) dan 0< |x – c| < , makaketidaksamaan (*) menjadi , –  < f(x) – L <  dan –  < g(x) – L < 

  25. Sehingga 0 < |x – c| <  L – < f(x) dan g(x) < L +  Karena f(x)  h(x)  g(x), sehingga jika 0 < |x – c| < , maka L –  < h(x) < L +  atau |h(x) – L | <  (terbukti) Contoh 4.9 Penyelesaian: (kalikan semua suku dengan x2)

  26. 10. Limit sepihak (4.14) Contoh 4.10 Penyelesaian

  27. Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka 4.4 Limit fungsi trigonometri Bukti Perhatikan Gambar 4.4 berikut!

  28. y T Q r  x 0 P Gambar 4.4

  29. Luas OPQ < Sektor OPQ < OPT (*) (**) (***) (****) Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat, Gunakan teorema apit!

  30. (4.16) (4.17) (4.18) Bukti (terbukti) (4.19) Bukti

  31. Bukti Bukti

  32. Bukti Bukti

  33. 3.5 Limit fungsi trigonometri invers (4.22) Bukti (4.22) Bukti

  34. (4.22) Bukti

  35. (4.24) Bukti (4.25) Bukti

  36. (4.26) Bukti (4.27) Bukti

  37. 3.6 Limit tak hingga Jika kita lakukan pengamatan terhadap mungkin akan didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 4.5 berikut. y x 0 2 Gambar 4.5

  38. Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ). Sedangkan pada saat x mendekati 2 dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju –). Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah  atau Sedangkan limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kiri adalah – Karena limit kiri  limit kanan, maka tidak ada (lihat persamaan 4.14)

  39. Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut! Bukti

  40. Jika semua suku dibagi dengan xm maka, Jika m < n, maka Jadi Jika m = n, maka

  41. Jika m > n, maka Contoh 4.11 Penyelesaian

  42. 4.7 Asimtot Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut ada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus, maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva. 4.7.1 Asimtot tegak Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat dilihat pada Gambar 4.6 berikut. Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut.

  43. y x 0 Gambar 4.6

  44. atau adalah asimtot tegak kurva f(x) 4.7.2 Asimtot datar Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat pada Gambar 4.7 berikut.

  45. y y = a x 0 Gambar 4.7 kurva f(x).

  46. 4.7.3 Asimtot miring Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat silihat pada Gambar 4.8 y y=ax+b x 0 Gambar 4.8

  47. garis y = ax + b adalah asimtot miring dari kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring. Contoh 4.12 Penyelesaian maka garis x = –4 adalah asimtot tegak maka garis y = 0 adalah asimtot datar Karena a = 0, maka grafik tidak mempunyai asimtot miring

  48. y x = –4 x 0 Gambar 4.9

More Related