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數學遊戲一 河內塔 ( Tower of Hanoi)

數學遊戲一 河內塔 ( Tower of Hanoi). 河內塔 ( Tower of Hanoi ). 法國數學家 Edouard Lucas 在 1883 年所提出 傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木樁的木板，在其中的一根木樁上，從上至下被放置了 64 片直徑由小至大的盤子。古印度教的天神指示祂的僧侶們將 64 片的盤子移至三根木樁中的其中一根上。它們可以根據底下的規則由一個位置搬移到另外一個位置： 一次只能移動一個盤子。 大盤子永遠不能放在小盤子的上面。 這一疊盤子可以藉由另外一根木樁移到另外一個位置。

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數學遊戲一 河內塔 ( Tower of Hanoi)

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Presentation Transcript

  1. 數學遊戲一河內塔(Tower of Hanoi)

  2. 河內塔(Tower of Hanoi) • 法國數學家Edouard Lucas 在1883年所提出 • 傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木樁的木板，在其中的一根木樁上，從上至下被放置了64片直徑由小至大的盤子。古印度教的天神指示祂的僧侶們將64片的盤子移至三根木樁中的其中一根上。它們可以根據底下的規則由一個位置搬移到另外一個位置： • 一次只能移動一個盤子。 • 大盤子永遠不能放在小盤子的上面。 • 這一疊盤子可以藉由另外一根木樁移到另外一個位置。 • 直到有一天，僧侶們能將64片的盤子依規則從指定的木樁上全部移動至另一根木樁上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界！

  3. 河內塔 (Tower of Hanoi) A B C N = 2 • 移動盤子1從木樁A到木樁B • 移動盤子2從木樁A到木樁C • 移動盤子1從木樁B到木樁C • 總共需要 3 = 22-1次 1. 2. 3.

  4. 河內塔 (Tower of Hanoi) A B C 1. N = 3 • 移動盤子1從木樁A到木樁C • 移動盤子2從木樁A到木樁B • 移動盤子1從木樁C到木樁B • 移動盤子3從木樁A到木樁C • 移動盤子1從木樁B到木樁A • 移動盤子2從木樁B到木樁C • 移動盤子1從木樁A到木樁C • 總共需要 7 = 23-1次 2. 3. 4. 5. 6. 7.

  5. 河內塔 (Tower of Hanoi) • 規律（假設A是來源木樁， C是目的木樁，B是暫時存放的木樁） • 先將1至(n-1)號盤子從A經由C搬至B • 將第n號盤子由A搬至C • 再將1至(n-1)號盤子從B經由A搬至C • 亦即將搬n個盤子的動作分解成三大步 • 第一步  搬動n-1個盤子 • 第二步  搬動一個盤子（第n個） • 第三步  搬動n-1個盤子

  6. 河內塔 (Tower of Hanoi) • 最少搬動次數為何? • 假設至少須 T(n) 次的移動來完成 • 最少的總移動次數T(n) = T(n-1) + 1 + T(n-1)  T(n) = 2n-1 • 搬動64個盤子需要的次數264-1 =18,446,744,073,709,551,615 ≒ 1.84x1019 • 若每秒搬一次，則總共需 584,942,417,355年，大約是5850 億年，這是非常非常遙遠的事，科學家估計地球約已存在2,000,000,000年，也沒有一種生物能活這麼久，所以我們大可放心的睡覺。

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