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數學遊戲一 河內塔 ( Tower of Hanoi)

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數學遊戲一 河內塔 ( Tower of Hanoi) - PowerPoint PPT Presentation


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數學遊戲一 河內塔 ( Tower of Hanoi). 河內塔 ( Tower of Hanoi ). 法國數學家 Edouard Lucas 在 1883 年所提出 傳說在古老的印度,有一座神廟,據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木樁的木板,在其中的一根木樁上,從上至下被放置了 64 片直徑由小至大的盤子。古印度教的天神指示祂的僧侶們將 64 片的盤子移至三根木樁中的其中一根上。它們可以根據底下的規則由一個位置搬移到另外一個位置: 一次只能移動一個盤子。 大盤子永遠不能放在小盤子的上面。 這一疊盤子可以藉由另外一根木樁移到另外一個位置。

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Presentation Transcript
tower of hanoi1
河內塔(Tower of Hanoi)
  • 法國數學家Edouard Lucas 在1883年所提出
  • 傳說在古老的印度,有一座神廟,據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木樁的木板,在其中的一根木樁上,從上至下被放置了64片直徑由小至大的盤子。古印度教的天神指示祂的僧侶們將64片的盤子移至三根木樁中的其中一根上。它們可以根據底下的規則由一個位置搬移到另外一個位置:
    • 一次只能移動一個盤子。
    • 大盤子永遠不能放在小盤子的上面。
    • 這一疊盤子可以藉由另外一根木樁移到另外一個位置。
  • 直到有一天,僧侶們能將64片的盤子依規則從指定的木樁上全部移動至另一根木樁上,那麼,世界末日即隨之來到,世間的一切終將被毀滅,萬物都將至極樂世界!
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河內塔 (Tower of Hanoi)

A

B

C

N = 2

  • 移動盤子1從木樁A到木樁B
  • 移動盤子2從木樁A到木樁C
  • 移動盤子1從木樁B到木樁C
  • 總共需要 3 = 22-1次

1.

2.

3.

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河內塔 (Tower of Hanoi)

A

B

C

1.

N = 3

  • 移動盤子1從木樁A到木樁C
  • 移動盤子2從木樁A到木樁B
  • 移動盤子1從木樁C到木樁B
  • 移動盤子3從木樁A到木樁C
  • 移動盤子1從木樁B到木樁A
  • 移動盤子2從木樁B到木樁C
  • 移動盤子1從木樁A到木樁C
  • 總共需要 7 = 23-1次

2.

3.

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7.

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河內塔 (Tower of Hanoi)
  • 規律(假設A是來源木樁, C是目的木樁,B是暫時存放的木樁)
    • 先將1至(n-1)號盤子從A經由C搬至B
    • 將第n號盤子由A搬至C
    • 再將1至(n-1)號盤子從B經由A搬至C
  • 亦即將搬n個盤子的動作分解成三大步
    • 第一步  搬動n-1個盤子
    • 第二步  搬動一個盤子(第n個)
    • 第三步  搬動n-1個盤子
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河內塔 (Tower of Hanoi)
  • 最少搬動次數為何?
  • 假設至少須 T(n) 次的移動來完成
    • 最少的總移動次數T(n) = T(n-1) + 1 + T(n-1)  T(n) = 2n-1
    • 搬動64個盤子需要的次數264-1 =18,446,744,073,709,551,615

≒ 1.84x1019

      • 若每秒搬一次,則總共需 584,942,417,355年,大約是5850 億年,這是非常非常遙遠的事,科學家估計地球約已存在2,000,000,000年,也沒有一種生物能活這麼久,所以我們大可放心的睡覺。