Besondere Punkte und Linien im Dreieck und Viereck

1. Besondere Punkte und Linien im Dreieck und Viereck

2. Gliederung • Der Inkreismittelpunkt im Dreieck • Der Umkreismittelpunkt im Dreieck • Dreieckskonstruktionen • Schwerpunkt(e) im Dreieck: • Eckenschwerpunkt • Flächenschwerpunkt • Kantenschwerpunkt • Schwerpunkte im Viereck • Eckenschwerpunkt • Flächenschwerpunkt • Kantenschwerpunkt • Das Netz der Pyramide

3. Beweis: Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt

4. Beweis Vor.: Die Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt M Seien D, E, F die Schnittpunkte der Lote von M auf die Dreiecksseiten Beh.: [MD] = [ME] = [MF] = r; wobei […] die Länge der Seite bezeichnet 1) AMF kongruent AMD nach WSW-Satz: [AM] ist gemeinsame Seite alle Winkel sind gleich  [MD] = [MF] 2) Analog für BMD kongr. BME  [MD] = [ME] 3) Analog für CME kongr. CMF  [ME] = [MF] Aus 1 bis 3 folgt: [MD] = [ME] = [MF] = r  Ein Kreis um M mit Radius r berührt alle 3 Seiten des ABC. q.e.d.

5. Beweis: Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Umkreismittelpunkt

6. Beweis • Vor.: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt M. • Beh.: [AM] = [BM] = [CM] = r • 1) ADS kongr. BDS nach SWS-Satz: [AD] = [BD] = ½ c • gemeinsamer Winkel bei D (90°) • [DM] gemeinsame Seite •  [AM] = [BM] • Analog für AMF kongr. CMF  [AM] = [CM] • Analog für BME kongr. CME  [BM] = [CM] • Aus 1 bis 3 folgt: [AM] = [BM] = [CM] = r •  Ein Kreis um M mit Radius r schneidet das ABC in den Eckpunkten A, B und C.

7. Dreieckskonstruktionen Konstruiere jeweils ein Dreieck mit den vorgegebenen Eigenschaften. 1. Aufgabe: Gegeben: c, sa, sb wobei sa und sb die Seitenhalbierenden der Seiten a bzw. b bezeichnen. 2. Aufgabe: Gegeben: c, ha, hb 3. Aufgabe: Gegeben: c, a, sb

8. Lösungsansätze 1. Aufgabe: Dreieck ABS ist konstruierbar nach sss (c, 2/3 sb, 2/3 sa). Somit sind U und V mit sa und sb konstruierbar. Damit ist auch c gegeben. U S V C B A

9. 2. Aufgabe: Dreieck ABU lässt sich nach ssw konstruieren (c, ha, Winkel AUB) Dreieck ABV gemäß ssw (c, hb, Winkel AVB) Dreieck ABC gemäß wsw (Winkel BAV, c, Winkel UBA) Wobei U den Schnittpunkt von ha mit a und V den Schnittpunkt von hb mit b bezeichnet. 3. Aufgabe: Punktspiegelt man das Dreieck ABC an der Seitenmitte V von b, so ergibt sich ein Parallelogramm, dessen Teildreieck ABB´ gemäß sss (c, 2[BV], a) konstruierbar ist. C erhält man durch Spiegelung von A an V.

10. Konstruktion der 3. Aufgabe:

11. Schwerpunkt(e) im Dreieck • Im Dreieck unterscheiden wir 3 verschiedene Schwerpunkte: • Eckenschwerpunkt E • Flächenschwerpunkt F • Kantenschwerpunkt K • Zur besseren Veranschaulichung stellen wir uns Dreiecke im folgenden als mit Masse belegt vor.

12. Der Eckenschwerpunkt E Wir stellen uns vor, die drei Eckpunkte A, B, C seien gleichmäßig mit Masse 1 belegt. Wir fassen die Massen von A und B in D zusammen, womit D die Masse 2 hat. D ist der Mittelpunkt der Strecke AB. E teilt also die Strecke CD im Verhältnis 2:1! Analog kann man für die anderen Seiten vorgehen. Man erhält: Die Seitenhalbierenden eines Dreieckes schneiden sich im Eckenschwerpunkt E! C D B A

13. Der Flächenschwerpunkt F Die Seitenhalbierende CD halbiert auch jede zur Seite AB parallele Strecke A´B´. Denkt man sich nun die Dreiecksfläche parallel zu AB in sehr schmale Steifen zerlegt, so hat jeder solche Streifen seinen Schwerpunkt in der Mitte, also auf CD. Diese Überlegung kann man auch wieder analog für die anderen Seitenhalbierenden machen und man erhält: Im Dreieck fallen Eckenschwerpunkt E und Flächenschwerpunkt F zusammen. Man nennt ihn deswegen den Schwerpunkt S des Dreiecks. C D B´ B A´ A

14. Der Kantenschwerpunkt K Wir denken uns die Seiten des Dreiecks homogen mit Masse belegt. Wir betrachten zunächst die Seiten CA und CB des Dreiecks als „Zweibein“ und die dritte Seite AB. Sei B´ Mittelpunkt von AC, A´ Mittelpunkt von BC und C´ Mittelpunkt von AB. Wir können uns die Masse von CA also in B´ vereinigt denken und die Masse von CB in A´. Somit muss der Kantenschwerpunkt K auf der Strecke A´B´ liegen. In C´ sei die Masse der Seite AB vereinigt. K´ sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Winkels B´C´A´ und der Seite A´B´. Es muss gelten: B´ * [B´K´´] = A´ * [A´K´´] d.h. [CA] : [CB] = [A´K´´] : [B´K´´] (1) Weiter gilt: [K´A´] : [K´B´] = [C´A´] : [C´B´] = [CA] : [CB] (2) Aus (1) und (2) ergibt sich: K´ = K´´ Aus Symmetriegründen: K ist Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck A´B´C´. K ist Mittelpunkt des Kreises der dem Dreieck A´B´C´ einbeschrieben ist!

15. Aufgabe: Zeige durch Konstruktion, dass der Schwerpunkt S eines Dreiecks , sein Inkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt des Seitenmittelpunktdreiecks auf einer Geraden liegen. Durch welchen Streckungsfaktor mit Zentrum S geht das Seitenmittelpunktsdreieck in das Ausgangsdreieck über? Wann fallen alle drei Punkte zusammen?

16. Schwerpunkte im Viereck Der Eckenschwerpunkt E Wir belegen wieder alle 4 Ecken mit Masse 1. Seien A´, B´, C´, D´ die Mittelpunkte der Seiten a, b, c, d. Wir denken uns die Massen von A und B in A´, sowie die Massen von C und D in C´ vereinigt. Der Eckenschwerpunkt E ist also der Mittelpunkt der Strecke A´C´. Analog hätte wir auch die Massen in B´ und D´ vereinigen können. Deshalb gilt: Die Diagonalen des Seitenmittelpunktsvierecks halbieren sich gegenseitig! Das Viereck A´B´C´D´ ist demnach ein Parallelogramm.

17. Der Flächenschwerpunkt F Wir denken uns die gesamte Fläche homogen mit Masse belegt. Weiter zerlegen wir das Viereck ABCD durch die Diagonale AC in die Dreiecke ABC und ACD. Wir bestimmen die Flächenschwerpunkte S´ und S´´ der Dreiecke (s.o.). Der Flächenschwerpunkt muss also auf S´S´´ liegen. Nun zerlegen wir das Ausgangsviereck in die Dreiecke ABD und BCD und bestimmen deren Schwerpunkte S´´´ und S´´´´. Wieder muss F auf S´´´ und S´´´´ liegen. F ist also der Schnittpunkt der Schwerlinien S´S´´ und S´´´S´´´´. Im Viereck ist E im allgemeinen nicht gleich F!!! E und F fallen genau dann zusammen, wenn das Viereck ein Parallelogramm ist!

18. Der Kantenschwerpunkt K Wir denken uns die Kanten des Vierecks als homogen mit Masse belegt. Wir zerlegen das Viereck in die Zweibeine [AB] U [AD] und [CB] U [CD]. Wir konstruieren deren Schwerpunkte K´ und K´´ (s.o.). Der Kantenschwepunkt K liegt nun auf K´K´´. Analog für die Zweibeine [BA] U [BC] und [DA] U [DC], wobei sich die Kantenschwerpunkte K´´´und K´´´´ ergeben. Der Kantenschwerpunkt K liegt auch auf K´´´K´´´´. K ist somit der Schnittpunkt von K´K´´ und K´´´K´´´´.

19. Das Netz einer Pyramide Das Netz einer gegebenen Pyramide zu zeichnen ist nicht schwer, wie zeichnet man aber zu einer gegebenen Grundfläche ein Standardpyramidennetz?

20. An eine beliebige Grundfläche nur irgendwelche Dreiecke anzuhängen reicht nicht aus! • Aufgabe: Konstruiere das Netz einer Pyramide zu einer beliebigen viereckigen Grundfläche und gegebener Projektion des Höhenfußpunkts! • Beispiel: • Hinweise: • Länge der später angrenzenden Seiten • Höhe der Dreiecksseiten • Wie bewegt sich die senkrechte Projektion der Spitze einer Pyramide beim Aufklappen?

21. Eine mögliche Lösung:

22. Konstruktionsprinzip: • Fälle die Lote vom Fußpunkt F auf jede Vierecksseite  E, I, H, G • Kreis um den Schnittpunkt (I) der den größten Abstand von F hat mit Radius r > [FI]  P • Kreis um B mit Radius [IP]  J • Kreis um A mit Radius [AJ]  L • Kreis um D mit Radius [DL]  N • Zeichne die Strecken: AJ, BJ, BP, CP, CN, DN, DL, AL