树的带权路径长度 ( Weighted Path Length, WPL) 所有叶子结点的带权路径长度之和为树的带权路径长度，记为： wpl= 其中： n 为叶子结点数目，

9.5.3 哈夫曼树 树的带权路径长度(Weighted Path Length, WPL) • 所有叶子结点的带权路径长度之和为树的带权路径长度，记为： wpl= • 其中： • n为叶子结点数目， • wi为第i 个叶子结点的权值， • li为第i 个叶子结点的路径长度。

a b c d 7 5 2 4 c 2 7 a 4 d 5 b a b 2 4 c d 7 5 举例：有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树 WPL=(7+5+2+4)*2=36 WPL=(7+5)*3+2*1+4*2=46 WPL=7*1+5*2+(2+4)*3=35 带权路径长度达到最小

7 a 5 b 2 4 c d 二、构造哈夫曼树 1．哈夫曼树的定义设有n个带权的叶子结点，想构造一棵二叉树，使WPL(带权路径长度)为最小，该树称为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。 • 特点： • 权值大的叶子离根最近； • 只有0度和2度结点 • 若叶子有n个，则：总结点数=2n-1

2．哈夫曼树的构造 假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1,w2,…,wn，则Huffman树的构造算法： (1) 将w1,w2,…,wn看成是有n 棵（仅有根结点的）二叉树的森林； (2) 在森林中选出两个根的权值最小的和次小的二叉树，作为新二叉树的左、右子树，且新二叉树的根权值为其左、右子树根权值之和；约定：权值小者为左子树，权值大者为右子树 (3)从森林中删除选取的两棵二叉树，并将新二叉树加入森林； (4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵二叉树为止，该树即为所求的哈夫曼树。

举例：已知叶子结点{A,B,C,D}的权值序列为{1,5,7,3}，则构造Huffman树过程如下：举例：已知叶子结点{A,B,C,D}的权值序列为{1,5,7,3}，则构造Huffman树过程如下： 5 7 1 5 7 3 4 4 4 初始的森林 1 1 1 3 3 3 1与3合并 16 7 9 9 7 5 5 4与5合并 7与9合并 WPL =7*1+5*2+(1+3)*3 =29 Huffman树构建练习：权值序列为 {9，8，4，6，7}

三、哈夫曼编码——哈夫曼树的应用 在远程通讯中，要将待传字符转换成由二进制组成的字符串：设要传送的字符为： ABACCDA 若编码为： A—00 B—01 C—10 D---11 00010010101100 若将编码设计为长度不等的二进制编码，即让待传字符串中出现次数较多的字符采用尽可能短的编码，则转换的二进制字符串便可能减少。

设要传送的字符为：ABACCDA 若编码为： A—0 B—00 C—1 D---01 ABACCDA 但： 0000 AAAA ABA BB 重码 000011010 关键：要设计长度不等的编码，则必须使任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀。这种编码称作前缀编码。

1 0 A 1 0 C 0 1 B D 设要传送的字符为： ABACCDA 若编码为：A—0 B—110 C—10 D---111 0110010101110 规定：左分支用“0”表示右分支用“1”表示采用Huffman树设计二进制前缀编码

1 0 A 1 0 C 0 1 B D 译码过程：分解接收字符串：遇“0”向左，遇“1”向右；一旦到达叶子结点，则译出一个字符，反复由根出发，直到译码完成。 0110010101110 ABACCDA

14 8 6 4 3 3 4 A T B 2 2 C S 例：已知某系统在通讯时，只出现C，A，S，T，B五种字符，它们出现的频率依次为2，4，2，3，3，试设计Huffman编码。 • 先构建Huffman 树字符{C, A, S, T, B}对应的权值为：{2，4，2，3，3} 构造的Huffman树

14 1 0 8 6 1 0 1 0 4 3 3 4 0 1 A T B 2 2 C S • 由构建的Huffman树得出HUffman编码： • 约定：左分支用“0”表示；右分支用“1”表示 Huffman编码为： T—00 B —01 A —10 C —110 S —111 出现频率越大的字符，其Huffman编码越短。

作业P234/9.11

树的带权路径长度 ( Weighted Path Length, WPL) 所有叶子结点的带权路径长度之和为树的带权路径长度，记为： wpl= 其中： n 为叶子结点数目，