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Mineração e Previsão de Séries Temporais

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Mineração e Previsão de Séries Temporais. Tiago Alessandro Espínola Ferreira taef@cin.ufpe.br Recife – 2 o Semestre de 2001. Sumário. Introdução Séries Temporais Modelos Automáticos Modelos de Box & Jenkins - ARIMA Aplicações do Modelo ARIMA Conclusões. Sistema de Previsão. Introdução.

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minera o e previs o de s ries temporais

Mineração e Previsão de Séries Temporais

Tiago Alessandro Espínola Ferreira

taef@cin.ufpe.br

Recife – 2oSemestre de 2001

sum rio
Sumário
  • Introdução
  • Séries Temporais
  • Modelos Automáticos
  • Modelos de Box & Jenkins - ARIMA
  • Aplicações do Modelo ARIMA
  • Conclusões
introdu o

Sistema de Previsão

Introdução

“Previsão é um elemento chave na tomada de decisão”

Controle de Processo

Planejamento de Produção

Planejamento de Oportunidades

Planejamento Financeiro

Escalonamento de Pessoal

Gerenciamento de Estoque

previs o

Custo Total

Custo da Previsão

Custos

Perdas Devido a Incerteza

Ponto Ótimo!

Nível de Esforço Para Previsão

Previsão

Predição de eventos futuros, com o intuito de diminuição de risco na tomada de decisão.

Previsão

Erro

Custo Vs Benefício

decis o
Decisão

Baseando-se em sistemas de Previsão:

=

+

Decisão

Previsão

Erro

algumas defini es
Algumas Definições

Período da Previsão  Unidade básica de tempo na previsão.

Horizonte da PrevisãoNo. de períodos cobertos.

Intervalo de PrevisãoFreqüência de atualização

Poderíamos requerer uma previsão para as próximas dez semanas, com uma análise semanal, assim o horizonte seria dez semanas e o período de uma semana

s ries temporais
Séries temporais

Uma série temporal é uma seqüência de observações sobre uma variável de interesse. A variável é observada em pontos temporais discretos, usualmente eqüidistantes, e a análise de tal comportamento temporal envolve a descrição do processo ou fenômeno que gera a seqüência.

padr es de s ries temporais
Padrões de Séries Temporais
  • Processamentos que permanecem constantes sobre um certo nível todo o tempo, com variações de período a período devido a causas aleatórias.
  • Padrões que ilustram tendências no nível dos processos, de maneira que a variação de um período ao outro é atribuída a uma tendência mais uma variação aleatória.
  • Processos que variam ciclicamente no tempo, como em processos sazonais (exemplo: o clima).
modelos de previs o de s ries temporais
Modelos de Previsão de Séries Temporais

Os procedimentos de previsão de séries temporais podem ser divididos, grosseiramente, em duas categorias:

 a) Automáticos, que são aplicados diretamente, com a estilização de programas simples de computador;

b) Não-Automáticos, que exigem a intervenção de pessoal especializado, para serem aplicados

modelos autom ticos
Modelos Automáticos

Previsão de Séries Localmente Constantes

t é o nível da série

At é um ruído branco

m dias m veis simples mms
Médias Móveis Simples (MMS)

Cálculo da média aritmética das r últimas observações

Previsão

  • Principal Vantagem:
  • Simples Utilização
  • Principal desvantagem:
  • Determinação de r
exemplo de mms

Período

Valor real de Zt

1

1095,10

2

1067,10

3

1364,30

1081,10

4

1510,90

1215,70

1175,50

5

1260,20

1437,60

1314,10

1259,35

6

1229,50

1385,55

1378,47

1300,63

1259,52

7

1205,60

1244,85

1333,53

1341,23

1286,40

8

1237,60

1217,55

1231,77

1301,55

1314,10

9

1414,60

1221,60

1224,23

1233,23

1288,76

10

1299,30

1326,10

1285,93

1271,83

1269,50

11

1420,60

1356,95

1317,17

1289,28

1277,32

12

1360,30

1359,95

1378,17

1343,03

1315,54

13

1304,40

1390,45

1360,07

1373,70

1346,48

14

1213,20

1332,35

1361,77

1346,15

1359,84

15

1360,60

1258,80

1292,63

1324,63

1319,56

16

1587,60

1286,90

1292,73

1309,63

1331,82

17

1431,60

1474,10

1387,13

1366,45

1365,22

18

1267,50

1509,60

1459,93

1398,25

1379,48

19

1429,00

1349,55

1428,90

1411,83

1372,10

20

1517,00

1348,25

1376,03

1428,93

1415,26

21

1506,50

1473,00

1404,50

1411,28

1446,54

22

1627,30

1511,75

1484,17

1430,00

1430,32

23

1650,50

1566,90

1550,27

1519,95

1469,46

24

1606,00

1638,90

1594,77

1575,33

1546,06

EQM

24091,94

19869,50

13763,68

14534,43

Exemplo de MMS
slide13

Período

Valor real de Zt

Previsão

25

1696,40

1597,57

26

1767,50

1645,05

27

1554,80

1680,10

28

1727,50

1656,17

29

2231,80

1686,55

30

2111,70

1800,40

Exemplo de MMS

alisamento exponencial simples aes
Alisamento Exponencial Simples (AES)

Com 0 <  <1, constante de alisamento

Previsão

  • Principal Vantagem:
  • Fácil Entendimento
  • Principal desvantagem:
  • Determinação de 
exemplo do aes
Exemplo do AES

Preços Médio da Saca de Feijão

exemplo do aes16

Período

Valor real de Zt

Previsão

121

1228,90

944,70

122

1316,90

1226,06

123

1735,20

1315,99

124

1978,20

1731,01

125

2116,30

1975,73

126

2191,80

2114,89

127

2436,10

2191,03

128

2946,40

2433,65

129

3002,10

2941,27

130

4708,20

3001,49

131

4500,80

4691,13

132

4262,40

4502,70

Exemplo do AES
modelos autom ticos17
Modelos Automáticos

Previsão de Séries com Tendência

t é o nível da série

T1 é a tendência (linear em t)

At é um ruído branco

exemplo do aelb
Exemplo do AELB

Série do ICV - São Paulo de 1970 a 1980

modelos autom ticos21
Modelos Automáticos

Previsão de Séries Sazonais

Sazonalidade Multiplicativa

Sazonalidade Aditiva

Gera-se três equações de alisamento, uma para a sazonalidade, uma para a tendência e outra para a série

Este método é chamado de Alisamento Exponencial Sazonal de Holt-Winters

m todo hw multiplicativo
Método HW Multiplicativo

Forma Multiplicativa:

Equações de Alisamento:

Equação de Previsão:

exemplo do hw multiplicativo
Exemplo do HW Multiplicativo

Índice do Produto Industrial do Brasil – 1969 até 1980

exemplo do hw multiplicativo24

Período

T

Valor Real

Previsão

128

21614,00

21418,04

129

19717,00

20787,00

130

22133,00

21540,37

131

20503,00

20480,11

132

18800,00

19715,21

133

19577,00

18921,75

134

18992,00

18276,10

135

21022,00

20676,11

136

19064,00

20034,13

137

21067,00

20861,99

138

21553,00

21133,07

139

21513,00

21919,51

Exemplo do HW Multiplicativo
filtragem adaptativa
Filtragem Adaptativa

Esta é uma técnica baseada em uma média ponderada da observações passadas da séries temporal

São ponderados os k períodos mais recentes porque:

São considerados os mais relevantes;

Se considerarmos todos os t valores da série temporal, seria necessário t pesos, que poderiam ser determinados de modo a obter exatamente o termo de ordem (t + 1), o que não é desejável porque estaríamos fazendo com que eles se adaptassem não só ao padrão de comportamento da série, mas também à componente aleatória.

pesos iniciais
Pesos Iniciais
  • A determinação dos pesos inicias pode ser feita de duas maeiras:
  • Método de Makridaski
  • Método Silva
m todo makridakis
Método Makridakis

Primeiramente são especificados valores iniciais todos iguais a 1,0, isto é, Pi = 1,0, i = 1, ... k. A seguir é calculada a previsão para Zt+1, , utilizando-se a equação de previsão, que é comparada com o valor observado Zt+1 e sendo calculado o erro de previsão. Os pesos são então ajustados de modo a reduzir o erro na próxima previsão. Este processo é repetido até que se encontre o melhor conjunto de pesos.

m todo silva
Método Silva

Neste método quer minimizar o erro:

onde

O problema resume-se a resolver o sistema:

atualiza o dos pesos
Atualização dos Pesos

Depois de se gerar os pesos iniciais, este método de Filtragem adaptativa pode passar a atualiza os pesos dinamicamente, segundo a expressão:

Onde

exemplo do m todo de filtragem adaptativa makridakis31
Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis

Para  = 0,36 – Calculado tal que minimize os erros

exemplo do m todo de filtragem adaptativa makridakis32

Período

T

Valor Real

Zt

Previsão

Previsão

131

432,90

388,35

388,35

132

455,10

413,58

430,32

133

432,30

437,16

463,91

134

465,30

452,81

468,66

135

620,07

494,06

509,22

136

677,80

573,66

632,32

137

633,60

577,62

657,48

138

539,70

564,07

639,28

139

613,50

562,68

603,65

140

653,40

625,21

671,80

141

635,70

629,12

670,53

142

715,50

618,08

648,08

Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis
modelos de box jenkins
Modelos de Box & Jenkins
  • Box & Jenkins propuseram um método iterativo para a identificação do modelo de uma série temporal – Modelo ARIMA.
  • Este método envolve investigações sobre os dados da série, sem a necessidade de se ter informações prévias sobre a série
  • Este é um procedimento muito poderoso, porém necessita de um conhecimento muito apurado
modelos de box jenkins34

Escolhe um ou mais modelos candidatos ARIMA

Estima os parâmetros dos modelos escolhidos

Checagem dos modelos quando à adequação

Não

Sim

Modelo é satisfatório?

Previsão

Modelos De Box & Jenkins

Estagio 1: Identificação

Estágio 2: Estimação

Estágio 3: Verificação

modelos auto regressivos ar p
Modelos Auto-Regressivos – AR(p)

O modelo AR(p) pode ser escrito por:

Onde (B) é o operador Auto-Regressivo: (B) = 1-1B - 2B2 - ... - pBp

E B é o operador translação para o passado:

Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo AR(p) é:

fac ar p
FAC – AR(p)

Podemos provar que a fac pode ser escrita de forma geral:

Onde para que o modelo convirja temos que |Gi| < 1, logo.

1.Se Gi for real, o termo AiGij decai geometricamente para zero (amortecimento exponencial);

2.Um par de raízes complexas conjugadas contribui com um termo da forma AdjSen(2fj+F) (senoide amortecida), onde f é uma freqüência, F é uma fase, e o termo Adj é a amplitude que decresce com o incremento de j, uma vez que |d|<1.

modelo de m dias m veis ma q
Modelo de Médias Móveis – MA(q)

O modelo MA(q) pode ser escrito por:

Onde (B) é o Operador Médias Móveis:

Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo MA(q) é:

Vemos que a fac para um MA(q) é finita de extensão q.

fac ma 1
FAC – MA(1)

Para um modelo MA(1), q = 1, e supondo que  = -0,8 (para o modelo ser estável, |  | < 1):

modelos mistos arma p q
Modelos Mistos – ARMA(p,q)

O modelo ARMA(p,q) pode ser escrito por:

ou

Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo ARMA(p,q) é:

onde

Mas que para j > q:

do que se deduz que as Auto-Correlações de “lags” 1, 2, ..., q serão afetadas pelos parâmetros de médias móveis, mas para j > q as mesmas comportam-se como no modelos auto-regressivos.

fac arma 1 1
FAC – ARMA(1, 1)

Para um Modelo ARMA(1, 1), pode-se mostrar que:

E para j > q

Assim, se temos  = 0,8 e  = -0,3, o gráfico da fac será:

slide42
FACP

Box & Jenkins proporam um segundo método de análise: A Função de Auto-Correlação Parcial: kk

As facp podem ser calculadas a partir das eqs. de Yule-Walke:

facp ar ma arma
FACP – AR, MA, ARMA

i. Um processo AR(p) tem facp kk 0 para k menor ou igual a p, e kk = 0 para k maior que p;

ii. Um processo MA(q) tem facp que se comportam de maneira similar às fac de um processo AR(p): são dominadas por exponenciais e/ou senoides amortecidas;

iii. Um processo ARMA(p,q) tem facp que se comportam como a facp de um processo MA puro.

facp ar ma e arma
FACP – AR, MA e ARMA

AR(1)

MA(1)

ARMA(1, 1)

modelos arima
Modelos ARIMA

As séries que podem ser representados pelos modelos já vistos tem que ser estacionária. Assim um procedimento de torna-las estacionárias é tiramos diferenças:

Ou tirando d diferenças:

ou

Que é o modelo ARIMA(p, q, d).

identifica o
Identificação
  • De forma geral, o modelo ARIMA é parcimonioso, logo em geral d = 0, 1 ou 2 é suficiente para obtermos a identificação dos modelos
  • Faz as diferenças
  • Calcula-se as fac e facp para os dados
  • Analisa-se As funções obtidas com as dos modelos vistos.
  • Identifica-se um conjunto de possíveis modelos
estima o
Estimação
  • Existem basicamente dois procedimentos de estimação:
  • Procedimento Condicional
  • Procedimento Não Condicional ou Incondicional
  • Todos dos métodos realizam a minimização da função de verossimilhança(condicional e não condiciona)
exemplo de estima o
Exemplo de Estimação

Supondo Um Modelo ARIMA (0, 1,1)

Wt = Zt = (1-B) at

E suponha  = 0,8 , termos At = Wt + 0,8 at-1

Assim, supondo o método condicional ,

O menor valor de S* é para  = -0,4

verivica o
Verivicação

Existem vários métodos de verificação, contudo exibiremos o método do Periodogram acumulado:

E o espectro aculumado é:

E o periodograma Acumulado é uma estimativa do espectro acumulado:

fac e facp
FAC e FACP

d=0

d=1

d=2

FAC

FACP

estimativa

Número de Observações

Modelo Fitados

Variância Residual

226

0,018

226

0,019

Estimativa

Modelos escolhido: ARIMA (1, 1, 0) e ARIMA (0, 2, 2)

verifica o
Verificação

ARIMA(1, 1, 0)

ARIMA(0, 2, 2)

conclus es
Conclusões
  • Os modelos Automáticos são bem mais fáceis de serem utilizados, porem requer um conhecimento prévio sobre a série.
  • O Modelo ARIMA é bem mais preciso do que os modelos automáticos mencionados, porém requer mão de obrar super qualificada.