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T RANSFORMADA DE O NDELETA. Michelle Simões Reboita Orientadora: Dr a . Nisia Krusche. SUMÁRIO. Parte I: Estudo Teórico Introdução Revisão Bibliográfica Teoria da Transformada de Ondeleta (TO) Exemplo de Aplicação Parte II: Aplicação da TO em séries medidas no extremo sul do Brasil

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slide1

TRANSFORMADA DE ONDELETA

Michelle Simões Reboita

Orientadora: Dr a. Nisia Krusche

sum rio
SUMÁRIO
  • Parte I: Estudo Teórico
    • Introdução
    • Revisão Bibliográfica
    • Teoria da Transformada de Ondeleta (TO)
    • Exemplo de Aplicação
  • Parte II: Aplicação da TO em séries medidas no extremo sul do Brasil
    • Objetivo
    • Extremo Sul do Brasil
    • Medidas e Metodologia
    • Resultados: Estação Convencional
    • Resultados: Bóia
    • Conclusões
introdu o
INTRODUÇÃO
  • A transformada de ondeleta foi desenvolvida na década de 1980 por pesquisadores como Morlet, Grossmann, Meyer e Daubechies (Farge, 1992).
  • Originalmente foi empregada para a análise de sinais sísmicos.
  • O grande destaque dessa técnica é a decomposição das séries temporais em tempo e freqüência.
  • A transformada de ondeleta apresenta vantagens em relação a outras metodologias de decomposição de sinal, como, por exemplo, a transformada de Fourier.
introdu o4
INTRODUÇÃO

Tabela 1. Diferenças entre a transformada de Fourier (TF) e a transformada de ondeleta (TO).

revis o bibliogr fica
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Muitos estudos sobre fenômenos atmosféricos têm empregado a transformada de ondeleta por ser uma metodologia que permite analisar sinais não-estacionários em ambos domínios de tempo e freqüência e por recuperar a informação da fase do sinal.

  • Farge (1992) estudo da turbulência
  • Gamage e Blumen (1993) análise das frentes frias em baixos níveis
  • Meyers et al. (1993) examinar a dispersão de ondas de Yanai, que é uma mistura das ondas de Rossby e de Gravidade
  • Weng e Lau (1994) estudo da organização da convecção sobre o Pacífico tropical
  • Gu e Philander (1995) focalizar as mudanças seculares na variabilidade interanual e no ciclo anual da região equatorial
revis o bibliogr fica6
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
  • Wang e Wang (1996) investigar o comportamento da Oscilação Sul
  • Torrence e Compo (1998) estudar o fenômeno El Niño-Oscilação Sul
  • Torrence e Webster (1999) investigar o sistema monção-ENOS
  • Jury e Melice (2000) estabelecer um contexto histórico da variabilidade climática na África
  • Breaker et al. (2001) estudar as oscilações intrasazonais sobre a costa central da Califórnia
  • Vitorino (2002) analisar as oscilações intrasazonais sobre a América do Sul e oceanos adjacentes.
  • Melice e Servain (2003) descrever as flutuações climáticas no Atlântico Tropical
  • Reboita (2004) verificar os sistemas atmosféricos mais energéticos que contribuem para a variabilidade climática no extremo sul do Brasil.
teoria da transformada de ondeleta defini o
TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA - DEFINIÇÃO

termoondeleta (wavelet) refere-se a um conjunto de pequenas ondas formadas por dilatação ((t) (2t)] e translação [(t) (t+1)] de uma única função (t), que é quadraticamente integrável sobre o campo dos reais ou espaço [L2 (R)] e possui energia finita.

função (t) pode ser chamada de “ondeleta mãe”, “ondeleta básica” ou “ondeleta analisadora”, enquanto que as funções dilatadas e transladadas derivadas da ondeleta mãe são chamadas de “ondeletas filhas” ou simplesmente de “ondeletas” (Weng e Lau, 1994).

teoria da transformada de ondeleta defini o8

Translação

Dilatação

TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA - DEFINIÇÃO

Coeficientes de ondeleta similaridade entre a ondeleta e o sinal

Figura 1. Representação esquemática da comparação entre a ondeleta e o sinal.

teoria da transformada de ondeleta
TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA

Segundo Daubechies (1988) a TO de um sinal f(t) é definida como:

(1)

onde ℓ é o parâmetro de dilatação, t’ é o parâmetro de translação e * é o complexo conjugado das ondeletas ℓ,t’.

(2)

onde (t) é a ondeleta mãe.

A transformada inversa é definida como:

(3)

onde Cé um fator de normalização.

teoria da transformada de ondeleta10
TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA

Para uma função (t) ser uma ondeleta mãe ela está sujeita a algumas condições (Farge, 1992), entre elas:

admissibilidade  para uma função integrável, significa que sua média é nula

(4)

A escolha da ondeleta mãe deve ser feita de maneira que possua características similares ao sinal que se deseja estudar, tal como assimetria e variação brusca ou suave no tempo (Collineau e Brunet, 1993; Weng e Lau, 1994; Sá et al, 1998). Uma ondeleta que é adequada para capturar variações nas periodicidades dos sinais geofísicos é a ondeleta complexa de Morlet (Weng e Lau, 1994; Sá et al, 1998), pois esta possui um grande número de oscilações.

teoria da transformada de ondeleta11
TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA

Ondeleta Complexa de Morlet

(5)

onde 0 é o parâmetro da ondeleta de Morlet. Este deve ser escolhido de forma que satisfaça a condição de admissibilidade. De acordo com Weng e Lau, 0 = 5,4.

Figura 2. a) Ondeleta de Morlet com largura e amplitude arbitrária e b) construção da ondeleta de Morlet (azul tracejado) a partir de uma onda seno (verde), modulada por uma curva gaussiana (vermelho).

teoria da transformada de ondeleta12
TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA
  • Coeficientes de ondeleta  número complexo (depende da ondeleta) intensidade e fase do sinal
  • Módulo dos coeficientes 

amplitude do sinal

  • Energia de ondeleta 

densidade de energia

    • Média anual da energia variação sazonal (séries superior a 1 ano)
  • Variância de ondeleta 

energia de cada escala

teoria da transformada de ondeleta13
TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA
  • Escalogramas representação gráfica dos coeficientes, módulo ou da energia de ondeleta.
    • Permite detectar singularidades presentes nos sinais bem como eventos que se repetem com o tempo.
    • Para não haver interpretação errônea nos escalogramas, normalmente as regiões suscetíveis a erros de bordas são delimitadas por um cone de influência.
  • Espectro de ondeleta global  representação gráfica da variância de ondeleta.
    • É similar ao espectro de energia de Fourier.
    • Mostra os períodos de maior energia detectados nos sinais, mas não fornece informação de localização no tempo.
    • Não há necessidade de plotar limites de confiança, pois considera-se como limite apenas as variâncias que não ultrapassam a parte superior do cone de influência nos escalogramas.
algor timo para c lculo da transformada de ondeleta
ALGORÍTIMO PARA CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE ONDELETA
  • Algoritmo cedido por J. L. Melice,
  • Adaptação do desenvolvido por Torrence e Compo,
    • Disponível em:

http://paos.colorado.edu/research/wavelets/

slide15

a)

d)

e)

b)

f)

c)

TF permite apenas a análise global do sinal.

TO  localiza os fenômenos no tempo e na freqüência , assim tem-se uma análise local e global.

10

10

20

20

Figura 3. a) Soma de duas ondas senos, b) espectro de energia de Fourier de a, c) parte real dos coeficientes de ondeleta de a, d) seno (10t) seguido de seno (20t), e) espectro de energia de Fourier de d e f) parte real dos coeficiente de ondeleta de d.

slide16

d)

a)

e)

b)

f)

c)

Escalograma

Espectro de Ondeleta Global

Figura 4. a) Soma de duas ondas senos, b) parte real dos coeficientes de ondeleta, c) espectro de ondeleta global, d) seno (10t) seguido de seno (20t), e) parte real dos coeficiente de ondeleta e f) espectro de ondeleta global.

ndice de oscila o sul
ÍNDICE DE OSCILAÇÃO SUL

Extrapolou o cone de influência

Figura 5. Representação gráfica da transformada de ondeleta do IOS do período de 01/1980 a 08/2004.

ndice de oscila o sul18
ÍNDICE DE OSCILAÇÃO SUL

Escalograma da Energia de

Ondeleta

Escalograma do Módulo dos Coeficientes de Ondeleta

Figura 6. Escalograma do módulo dos coeficientes de ondeleta à esquerda e da energia de ondeleta à direita do IOS do período de 01/1980 a 08/2004.

slide19

The tropical Atlantic meridional SST gradient index and its relationshipswith the SOI, NAO and Southern OceanJ.-L. Melice e J. Servain (2003)

  • Objetivo: descrever as flutuações climáticas no Atlântico Tropical
  • Séries em estudo:
    • Índice de Oscilação Sul (IOS)
    • gradiente meridional de TSM do Atlântico (TAMG) – definido como a diferença entre as anomalias de TSM sobre a parte norte (TN) do Atlântico Tropical (de 28ºN a 5ºN) e as anomalias de TSM sobre a parte sul (TS) deste (5ºN a 20ºS).
      • TN = componente norte
      • TS = componente sul
  • A TO usando a ondeleta mãe complexa de Morlet foi calculada para períodos variando de 0,2 a 24 anos
  • Visualmente, as maiores amplitudes podem ser classificadas em três bandas de freqüência com períodos variando de 0,2 a 1,5 anos, de 1,5 a 8 anos e de 8 a 16 anos.
slide20

Módulo dos coeficientes da TO do índice de oscilação sul. Linha branca representa o cone de influência que delimita os efeitos de borda.

slide21

Módulo dos coeficientes da TO da TSM da parte norte do Atlântico Tropica (TN), da parte sul (TS) e do gradiente meridional de TSM do Atlântico. Linha branca representa o cone de influência.

objetivo
OBJETIVO

Determinar os sistemas atmosféricos que causam maior variabilidade climática no extremo sul do Brasil.

extremo sul do brasil

a)

b)

Bóia

Estação Convencional

EXTREMO SUL DO BRASIL

32º04’S e 52º10’W

32º54’S e 50º48’W

Figura 7. Localização da estação convencional da FURG e da bóia.

Fonte: (a) NASA-SRTM, (b) carta 90 da DHN georreferenciada.

slide25

23ºC

Amplitude anual: 11ºC

Climógrafo de Rio Grande

12ºC

Figura 8. Climógrafo de Rio Grande do período de 1º de janeiro de 1991 a 31 de dezembro de 2000. A linha vermelha representa a média mensal da temperatura do ar, a linha laranja a trajetória aparente do sol ao longo do ano e as barras azuis o total mensal de precipitação.

Total anual: 1300 mm

147 mm

85 mm

medidas no extremo sul
MEDIDAS NO EXTREMO SUL

Tabela 2. Descrição dos dados.

*Precipitação: período de 1º de janeiro de 1990 a 31 de dezembro de 2002.

metodologia
METODOLOGIA
  • Controle de Qualidade
    • Baseado na metodologia de Krusche et al. (2002)
    • Estação Convencional
    • Bóia
  • Calculou-se pêntadas para a série de precipitação
    • Metodologia de Kousky (1988)
  • Dessazonalizou-se todas as variáveis, exceto as componentes do vento e a precipitação
    • Método Trigonométrico de Três Termos
dessazonaliza o

a)

b)

DESSAZONALIZAÇÃO

Figura 9. a) Função trigonométrica ajusta a série de temperatura da superfície do mar centrada na média do período de 1º de junho de 2001 a 08 de maio de 2002 e b) série da temperatura da superfície do mar dessazonalizada.

metodologia29
METODOLOGIA
  • Padronizou-se as séries antes da transformada de ondeleta:

Xn = elementos da série

= média da série

 = desvio-padrão da série

(1)

  • Erro quadrático médio (Keyser e Anthes, 1977):

r = série reconstruída

o = série original

N = comprimento das séries

(2)

A reconstrução é considerada boa quando duas condições se verificam:

  • r  o
  • e < o

r = desvio-padrão da série reconstruída

o = desvio-padrão da série original

etapas do trabalho
ETAPAS DO TRABALHO
  • Determinar a periodicidade dos fenômenos atmosféricos
    • Espectros de ondeleta global
    • Escalogramas da parte real dos coeficientes
  • Analisar a variação sazonal dos fenômenos atmosféricos
    • Escalogramas da média anual da energia de ondeleta
  • Determinar os fenômenos atmosféricos que causam maior variabilidade climática
    • Integração da variância de ondeleta por bandas
  • Reconstrução do sinal
resultados32
RESULTADOS

Periodicidade

dos Fenômenos

Atmosféricos

slide33

2061,5

1030,7

680,0

170,0

8,0

1,0

Figura 10. Pressão atmosférica: a) dessazonalizada, b) parte real dos coeficientes da TO e c) espectro de ondeleta global, do período de 1º de janeiro de 1990 a 19 de março de 2001.

resultados34
RESULTADOS

Fenômenos atmosféricos que foram associados aos máximos de energia:

  • Pressão atmosférica dessazonalizada
    • 1 dia  ciclo diário de insolação
    • 8 dias  massas de ar frio e sistemas frontais
    • 170 dias  ciclo semi-anual
    • 680 dias (1,9 anos)  pode ser indicativo do dipolo do Atlântico
    • 1030,7 dias (2,9 anos)  fenômeno El Niño-Oscilação Sul
  • Para cada variável em estudo foi realizada a mesma análise e, então, pode-se sintetizar os resultados na tabela a seguir.
slide35

RESULTADOS

Tabela 3. Fenômenos atmosféricos associados aos períodos de máxima variância de ondeleta.

an lise local da precipita o

a)

b)

c)

Análise Local da Precipitação

Figura 11. Precipitação: a) módulo dos coeficientes de ondeleta do ano de 1995, b) precipitação mensal do ano de 1995 e c) precipitação do mês de julho do período de 1990 a 19 de março de 2002.

resultados37
RESULTADOS

Variação Sazonal dos Fenômenos Atmosféricos

slide38

Incursão de Ar Polar

Massas de Ar Frio

Altas de Bloqueios

AAS

Figura 12. Espectro de energia de ondeleta média anual da pressão atmosférica dessazonalizada do período de janeiro de 1990 a março de 2001.

compara o entre espectros de energia de ondeleta m dia anual
COMPARAÇÃO ENTRE ESPECTROS DE ENERGIA DE ONDELETA MÉDIA ANUAL

a)

b)

Figura 13. Comparação entre o espectro de energia de ondeleta média anual da pressão atmosférica a) do período de 1990 a 2001 do extremo sul do Brasil e do b) período de 1979 a 1996 da região sul do Brasil.

resultados40
RESULTADOS

Fenômenos Atmosféricos

que Causam Maior

Variabilidade Climática no

Extremo Sul do Brasil

bandas mais energ ticas
BANDAS MAIS ENERGÉTICAS

Tabela 4. Limites das bandas para a integração da variância de ondeleta e fenômenos associados.

slide42

Ciclo Anual

a)

TEMPERATURA

b)

Figura 14. Espectro de ondeleta global da temperatura do ar da juntamente com as bandas de integração e b) representação percentual da variância de ondeleta por bandas.

umidade espec fica

Ciclo Anual

UMIDADE ESPECÍFICA

Figura 15. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

press o atmosf rica

Ciclo Anual

PRESSÃO ATMOSFÉRICA

Figura 16. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

componente zonal

Ciclo Anual

COMPONENTE ZONAL

Figura 17. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

componente meridional

Ciclo Anual

COMPONENTE MERIDIONAL

Figura 18. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

precipita o

Ciclo Anual

PRECIPITAÇÃO

Figura 19. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

slide48

28,0%

31,7%

41,3%

Figura 20. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas das variáveis dessazonalizadas.

resultados49
RESULTADOS

Reconstrução do Sinal

slide50

a)

d)

R

E

C

O

N

S

T

R

U

Ç

Ã

O

D

O

S

I

N

A

L

e)

b)

f)

c)

Figura 21. Recons-trução da série de temperatura do ar original.

resultados52
RESULTADOS

Periodicidade dos Fenômenos Atmosféricos e Oceânicos

slide53

170,0

85,0

37,0

21,2

10,6

6,1

3,5

1,0

0,5

Figura 22. Temperatura da superfície do mar: a) dessazonalizada, b) parte real dos coeficientes da TO e c) espectro de ondeleta global, do período de 1º de junho de 2001 a 8 de maio de 2002.

resultados54
RESULTADOS

Fenômenos atmosféricos e oceânicos que foram associados aos máximos de energia:

  • Temperatura da superfície do mar dessazonalizada
    • 0,5 dia  ciclo semi-diário
    • 1 dia  ciclo diário
    • 3,5 dias vórtices ciclônicos na Corrente do Brasil

Estes vórtices conduzem águas quentes costeiras para as regiões mais profundas e trazem águas mais frias e ricas em nutrientes para a região costeira.

    • 6,1 dias  periodicidade que pode tanto estar associada aos vórtices ciclônicos na Corrente do Brasil quanto aos sistemas frontais
    • 21,2 dias  ?
    • 37 dias  talvez possa refletir alguma influência relacionada a confluência das correntes do Brasil e das Malvinas
    • 85 dias  pode estar associado à mudança das estações do ano que causam mudanças nos ventos. Os ventos por sua vez causam oscilações no jato da Corrente do Brasil. Assim a corrente pode tanto aumentar seu volume de transporte de água aquecida ou diminuir.
  • Para cada variável em estudo foi realizada a mesma análise e, então, pode-se sintetizar os resultados na tabela a seguir.
resultados55
RESULTADOS

Tabela 5. Fenômenos atmosféricos e oceânicos associados aos períodos de máxima variância de ondeleta.

resultados56
RESULTADOS

Variação dos Fenômenos Atmosféricos e Oceânicos ao Longo do Ano

slide57

Figura 23. Espectro de energia de ondeleta da temperatura da superfície do mar dessazonalizada do período junho de 2001 a maio de 2002.

resultados58
RESULTADOS

Fenômenos

Atmosféricos e Oceânicos

que Causam maior

Variabilidade Climática no

Extremo Sul do Brasil

bandas mais energ ticas59
BANDAS MAIS ENERGÉTICAS

Tabela 6. Limites das bandas para a integração da variância de ondeleta e fenômenos associados.

slide60

TEMPERATURA DA SUPERFÍCIE DO MAR

Ciclo Anual

a)

b)

Figura 24. Espectro de ondeleta global da temperatura da superfície do mar juntamente com as bandas de integração e b) representação percentual da variância de ondeleta por bandas.

temperatura do ar

Ciclo Anual

TEMPERATURA DO AR

Figura 25. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas das variáveis originais.

umidade espec fica62

Ciclo Anual

UMIDADE ESPECÍFICA

Figura 26. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas das variáveis originais.

press o atmosf rica63

Ciclo Anual

PRESSÃO ATMOSFÉRICA

Figura 27. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas das variáveis originais.

componente zonal64

Ciclo Anual

COMPONENTE ZONAL

Figura 28. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas das variáveis originais.

componente meridional65

Ciclo Anual

COMPONENTE MERIDIONAL

Figura 29. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas das variáveis originais.

slide66

29,6%

22,6%

33,8%

40,2%

Figura 30. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas das variáveis dessazonalizadas.

resultados67
RESULTADOS

Reconstrução do Sinal

slide68

R

E

C

O

N

S

T

R

U

Ç

Ã

O

D

O

S

I

N

A

L

Figura 31. Recons-trução da série de temperatura do ar original.

conclus es
CONCLUSÕES
  • Empregou-se a transformada de ondeleta em dois conjuntos de dados: um medido no continente e outro no oceano Atlântico sudoeste.
  • A técnica foi escolhida por apresentar vantagens em relações a outras, como, por exemplo, em relação a transformada de Fourier, pois a primeira permite analisar as componentes do sinal em ambos domínios de tempo e freqüência e, também, permite a reconstrução total e por partes do sinal.
  • A transformada de ondeleta só pôde ser empregada porque as séries eram contínuas.
  • Verificou-se que a transformada de ondeleta é uma excelente técnica de decomposição, pois permitiu detectar tanto a periodicidade, quanto a localização temporal das componentes do sinal, o que facilitou a associação dos períodos observados com os fenômenos atmosféricos e oceânicos atuantes no extremo sul do Brasil.
conclus es70
CONCLUSÕES
  • Nas séries em estudo, há forte contribuição do ciclo anual que tende a mascarar a energia dos demais períodos dificultando a determinação destes. Portanto, a transformada de ondeleta primeiro foi aplicada as séries dessazonalizadas, com exceção das componentes da velocidade do vento e da precipitação, a fim de determinar os fenômenos atuantes no extremo sul do Brasil.
  • Na seqüência a transformada de ondeleta foi aplicada às séries originais a fim de avaliar a influência do ciclo anual nas variáveis atmosféricas e na temperatura da superfície do mar.
conclus es71
CONCLUSÕES
  • Através da análise dos espectros de ondeleta global e dos escalogramas associou-se os máximos de energia observados com os seguintes fenômenos: passagem de massas de ar e formação de sistemas frontais, incursão de ar polar (os que propiciam a ocorrência de geadas), oscilações de Madden-Julian, bloqueios atmosféricos e fenômeno El Niño-Oscilação Sul.
  • Resultados obtidos em ambos os conjuntos de dados foram similares.
  • Fenômeno El Niño-Oscilação Sul não foi observado nas séries medidas na bóia devido a duração destas serem inferiores ao período de ocorrência do fenômeno.
conclus es72
CONCLUSÕES
  • Na análise dos escalogramas da média anual da energia de ondeleta, da estação convencional, e de energia de ondeleta, da bóia, observou-se que os máximos de energia concentraram-se na faixa de 5 a 12 dias o que permitiu inferir que sem a presença do ciclo anual, as massas de ar e os sistemas frontais são os responsáveis pela maior parte da variabilidade climática na região.
  • Na análise da variância de ondeleta por bandas das variáveis originais, medidas na estação convencional, constatou-se que a maior variância, em todas as séries esteve associada ao ciclo anual, com exceção das componentes do vento e da precipitação.
  • Nestas três variáveis, a maior energia foi relacionada as massas de ar e sistemas frontais.
conclus es73
CONCLUSÕES
  • Nas variáveis originais medidas na bóia, a maior variância de ondeleta também esteve associada ao ciclo anual, com exceção das componente da velocidade do vento.
  • Pode-se concluir que o ciclo anual é o maior responsável pela variabilidade climática no extremo sul do Brasil juntamente com as massas de ar e sistemas frontais.
perspectivas futuras
PERSPECTIVAS FUTURAS
  • Estudo oceanográfico para confirmar as associações feitas, neste trabalho, dos sistemas citados, com os períodos observados nas variáveis medidas na bóia.
  • Investigar a influência do Dipolo do Atlântico e suas conseqüências no sul do Brasil, bem como a influência da temperatura da superfície do mar nesta região.
refer ncia
REFERÊNCIA

Reboita, M. S., 2004: Elementos da Variabilidade Climática no Extremo Sul do Brasil no período de 1990 a 2001. Dissertação de Mestrado em Engenharia Oceânica – Fundação Universidade Federal do Rio Grande (FURG), Rio Grande, RS, 211p.

reboita@model.iag.usp.br