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Funciones. Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado. Funciones. Tipos. Definición. Formas de expresar. Características. Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas. Funciones Pares e Impares. Función. Definición

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funciones

Funciones

Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower

Presentado a: Patricia Cáceres

Décimo Grado

funciones2
Funciones

Tipos

Definición

Formas

deexpresar

Características

Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Funciones Pares e Impares

funci n
Función
  • Definición
  • Una función es una relación entre un conjunto dado X (el conjunto de salida) y otro conjunto de elementos Y (el conjunto de llegada) de manera que a cada elemento x del conjunto de salida le corresponda uno y solo un elemento delconjunto de llegada f(x).
  • A cada Pre Imagen le corresponde una sola y solo una Imagen.
formas de expresar una funci n
Formas de expresar una función

Una función se puede expresar de 4 distintas formas:

Enunciado

Tabla

Gráfica

Algebraicamente

slide5

Una función se expresa a través de una tabla, cuando se dan algunos valores de X con los valores correspondientes de Y.

Ejemplo:

slide6

Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente.

Ejemplo: Una función es la relación entre los elementos del conjunto de salida y los elementos del conjunto de llegada.

slide7

Una función se expresa a través de una formula o expresión algebraica cuando se da una ecuación en la que se relacionan las variables X y Y.

Ejemplo:

f(x)= 4X2 – 3X + 8

f(x)= 2X + 4

f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3

slide8

Una función se expresa a través de una gráfica, cuando se representan los pares (x,y) en el plano cartesiano.

Ejemplo:

slide10
Son los posibles valores del conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y.

Son los posibles valores del conjunto de salida. La variable independiente se llama X.

Características

slide11

f

a 1

b 2

c 3

4

Y

X

Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida.

Pre Imagen: Losvalores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada.

Características

slide12

Rango: Conjunto formado por las Imágenes.

Dominio: Conjunto formado por las Pre Imágenes.

Características

slide13
Conjunto de Salida:Conjunto de los elementos que componen al dominio.

Conjunto de Llegada:Conjunto de los elementos que son las Imágenes de los valores del conjunto de salida.

Características

slide14

Punto de corte con X:Se halla cuando Y=0. Se iguala la función a 0, y se resuelve la ecuación resultante.

Punto de corte con Y:Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0.

Características

slide15

Periodicidad:

Una función es periódica, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante.

Periodo: Longitud del intervalo que se repite.

Máximos y mínimos:

Máximo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es mayor que en los puntos que están próximos.

Mínimo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es menor que en los puntos que están próximos.

Crecimiento:

Función creciente: Es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. (a es positivo)

Función decreciente: Es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y. (a es negativo)

Características

slide16

Funciones Inyectivas:

  • Una función es Inyectiva si a cada Imágen le corresponde una única Pre Imágen.
  • Funciones Sobreyectivas:
  • Una función es Sobreyectiva si cada elemento del rango es como mínimo la imagen de un elemento del domino.

X

Y

X

Y

1

2

3

4

D

B

C

1

2

3

D

B

C

A

funci n biyectiva
Función Biyectiva:
  • Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva).

X

Y

1

2

3

4

D

B

C

A

slide18
Función Impar:

Se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que:

Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas.

Ejemplo:

f(x)= X3

f(2)=8

f(-2)=-8

Todas las funciones impares cumplen la ecuación:

Función Par:

Se llama función par a la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que:

Se produce una simetría con respecto al eje y.

Ejemplo:

f(x)= X2

f(-2)= 4

f(2)= 4

Todas las funciones pares cumplen la ecuación:

tipos de funciones
Tipos de funciones

Por Partes o

A Trozos

Polinómicas

Racional

Exponencial

Trigonométricas

Logarítmica

Valor Absoluto

slide22

Funciones polinómicas

GradoPar

Constante

GradoImpar

Cuadrática

Lineal

Cúbica

Afín

Idéntica

slide23

Círculo Gonio métrico

Funciones Trigonométricas

Secante

Seno

Cotangente

Coseno

Tangente

Cosecante

generalidades de una funci n polin mica
Generalidades de una función Polinómica
  • Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios.
  • Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden clasificar en:
  • En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones:
  • Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x).
  • Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x).
  • Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x).

Grado Nombre Expresión

0 Constante y= a

1 Lineal y= ax + b

2 Cuadrática y= ax2 + bx + c

3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d

funci n constante
Función Constante
  • Es una función polinómica de grado cero que no depende de ninguna variable.
  • Se define por la ecuación: y= a

Elementos

Dominio= IR

Rango= a

Conjunto de Salida= IR

Conjunto de Llegada= IR

Punto de corte con x= no existe

Punto de corte con y= a

EJEMPLO

slide26

Constante

Análisis:

y= 6

Dominio-Conjunto de salida= IR

Conjunto de llegada= IR

Rango= {6}

Punto de corte con y= 6

funci n af n
Función Afín
  • La función afín viene dada por la ecuación: y= mx+n
  • Donde X y Y son las variables
  • m es la pendiente
  • n es la ordenada en el origen
  • Dominio= IR
  • Conjunto de Salida= IR
  • Rango= IR
  • Conjunto de Llegada= IR
  • Punto de corte con y= n

La m de una recta determina la inclinación de la misma, entonces:

Si m<0 decreciente

Si m>0 creciente

Si m=0 constante

m se calcula:

Elementos

EJEMPLO

slide28

Afín

Análisis:

y= 6x +2

Dominio-Conjunto de salida= IR

Rango-Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con y= 2

Punto de corte con x= -1/3

Pendiente= 6

funciones de grado par
Funciones de Grado Par
  • Las funciones de grado par son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es par.
  • Se definen por la ecuación:

y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e

EJEMPLO

slide30

Grado Par

y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8

funci n cuadr tica
Función Cuadrática
  • Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:
  • Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a.
  • El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación:
  • Dominio= IR
  • Rango= (máximo o mínimo relativo,
  • Conjunto de salida= IR
  • Conjunto de llegada= IR
  • Punto/s de corte con x: y= 0, se halla/n mediante la formula cuadrática:
  • Punto de corte con y= c

Elementos

EJEMPLO

slide32

Cuadrática

Análisis:

y= x2 + 3x – 4

Dominio-Conjunto de salida= IR

Rango-Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con y= -4

Punto de corte con x= {-4, 1}

Mínimo relativo= -3/2

funciones de grado impar
Funciones de Grado Impar
  • Las funciones de grado impar son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar.
  • Se definen por la ecuación:

y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e

EJEMPLO

slide34

Grado Impar

y= 3x3 + 2x2 – x + 4

funci n lineal
Función Lineal

Es la función que se define por la ecuación: y= mx

Elementos

Dominio= IR

Rango= IR

Conjunto de Salida= IR

Conjunto de Llegada= IR

Punto de corte con Y= 0

Punto de corte con X= 0

EJEMPLO

slide36

Lineal

Análisis:

y= 4x

Dominio-Conjunto de salida= IR

Rango-Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con y= 0

Punto de corte con x= 0

Pendiente= 4

funci n id ntica
Función Idéntica
  • Es la función que asigna como imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento.
  • Se define por la ecuación: y= x
  • Su pendiente es m=1
  • Su gráfica es la recta bisectriz de los cuadrantes primero y tercero.

Elementos

  • Dominio= IR
  • Conjunto de Salida= IR
  • Rango= IR
  • Conjunto de Llegada= IR
  • Punto de corte con X y Y= 0

EJEMPLO

slide38

Idéntica

Análisis:

y= x

Dominio-Conjunto de salida= IR

Rango-Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con y= 0

Punto de corte con x= 0

funci n c bica
Función Cúbica
  • Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR

Elementos

Dominio= IR

Conjunto de Salida= IR

Rango= IR

Conjunto de Llegada= IR

Punto de corte con y= d

EJEMPLO

slide40

Cúbica

Análisis:

y= x3 + 3x2 + 4x + 6

Domino-Conjunto de salida= IR

Rango-Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con y= 6

Punto de corte con x= -2.5

funci n valor absoluto
Función Valor Absoluto
  • La función de valor absoluto se define por la ecuación: y= IxI + c
  • El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo.

IXI=

X, Si X > 0

-X, Si X < 0

El valor absoluto de X siempre será igual o mayor que cero, y nunca será negativo.

propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor Absoluto
  • No negatividad : |a| ≥ 0
  • Definición positiva: |a| = 0 a = 0
  • Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b|
  • Propiedad aditiva: |a+b| ≤ |a|+|b|
  • Simetría: |-a| = |a|
  • Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b
  • Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b|

Elementos

Dominio= IR

Conjunto de Salida= IR

Rango= (mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo)

Conjunto de Llegada= IR

Punto de Corte con x= No existe

Punto de Corte con y= c

EJEMPLO

slide43

Valor Absoluto

Análisis:

y= IxI

Dominio= IR

Conjunto de salida= IR

Rango= (0, ∞)

Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con x= No existe

Punto de corte con y= No hay

slide44

Para un desplazamiento horizontal:

y= Ix + 2I

Dominio= IR

Conjunto de salida= IR

Rango= (0, ∞)

Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con x= No existe

Punto de corte con y= 2

Desplazamiento horizontal= 2

Para un desplazamiento vertical:

y= IxI + 4

Dominio= IR

Conjunto de salida= IR

Rango= (4, ∞)

Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con x= No existe

Punto de corte con y= 4

Desplazamiento vertical= 4

funci n logar tmica
Función Logarítmica
  • La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x
  • Solo esta definida en los números positivos.
  • Si 0<a<1:
  • Dominio= IR +
  • Conjunto de Salida= IR +
  • Rango= IR
  • Conjunto de Llegada= IR
  • Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1)
  • Decreciente
  • Si a>1:
  • Dominio= IR +
  • Conjunto de Salida= IR +
  • Rango= IR
  • Conjunto de Llegada= IR
  • Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1)
  • Creciente
slide46

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5. Cambio de base

Deducciones de los logaritmos

  • No existe el logaritmo de un
  • número con base negativa
  • No existe el logaritmo de un
  • número negativo
  • No existe el logaritmo de cero
  • El logaritmo de 1 es cero
  • El logaritmo en base a de a es
  • uno
  • El logaritmo en base a de una
  • potencia en base a es igual al
  • exponente.

Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

EJEMPLO

slide47

Logarítmica

Análisis:

y= log x

Dominio= IR +

Conjunto de salida= IR +

Rango= IR

Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con x= 1

Punto de corte con y= No hay

slide48

Para un desplazamiento horizontal:

y= log x (x + 2)

Dominio= IR +

Conjunto de salida= IR +

Rango= IR

Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con x= -1

Punto de corte con y= No hay

Desplazamiento horizontal= 2

Para un desplazamiento vertical:

y= log x (x) + 4

Dominio= IR +

Conjunto de salida= IR +

Rango= IR

Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con x= No hay

Punto de corte con y= No hay

Desplazamiento vertical= 4

funci n racional
Función Racional
  • La función racional está definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios:
  • En las funciones racionales, la variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Yes el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de q.

Elementos

Dominio= IR- {asíntotas verticales}

Conjunto de Salida= IR

Rango= R- {asíntotas horizontales}

Conjunto de Llegada= IR

Punto de Corte con x= Se iguala a 0 el numerador.

Punto de Corte con y= Se sustituye x por 0 en la ecuación original.

slide50

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas.

Para:

Verticales

Horizontales

1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.

2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal.

3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.

Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0.

EJEMPLO

funci n exponencial
Función Exponencial
  • La función exponencial se define por la ecuación: y= ax, donde a y x son números reales.
  • Cuando a<1, la función es decreciente.
  • Cuando a>1, la función es creciente. (a debe ser diferente de 1)
  • También está la función exponencial natural definida por la ecuación y=ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828....
slide53

Propiedades de los Exponentes

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Elementos

Dominio= IR

Conjunto de Salida= IR

Rango= (0, ∞)

Conjunto de Llegada= IR

Punto de Corte con y= 1

El eje x es una asíntota horizontal.

EJEMPLO

slide54

Exponencial

Análisis:

y= 2x

Dominio= IR

Conjunto de salida= IR

Rango= (0, ∞)

Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con x= No hay

Punto de corte con y= 1

slide55

Para desplazamientos verticales:

y= 2x + 2

Dominio= IR

Conjunto de salida= IR

Rango= (0, ∞)

Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con x= No hay

Punto de corte con y= 3

y= 2x + 4

Dominio= IR

Conjunto de salida= IR

Rango= (0, ∞)

Conjunto de llegada= IR

Punto de corte con x= No hay

Punto de corte con y= 5

funci n a trozos
Función A Trozos

La función a trozos o por partes se define cuando se usan dos o más ecuaciones.

Para distintos valores de X se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen Y que les corresponde.

Es muy importante conocer qué formula usar con cada valor de X, por lo que cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación.

Así, tiene el siguiente aspecto:

slide57

Por ejemplo, para:

Si x toma valores inferiores a -7, el criterio es x + 1, pero si x toma valores iguales o mayores a -7, el criterio es 2x + 4.

En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas, aunque pueden estar unidas.

Elementos

En la función f (x) cada ecuación tiene su dominio individual; uniendo ambos dominios se obtiene el dominio de f (x).  Por lo tanto:

Dominio= dominio ₁ U dominio ₂

Los dominios aparecen como intervalos o puntos.

Conjunto de Salida= dominio ₁ U dominio ₂

slide58

Círculo Goniométrico

El círculo goniométrico o círculo trigonométrico es el círculo con centro en el origen de coordenadas. Su radio tiene como medida unitaria el valor de 1.

Está dividido en cuatro partes iguales llamadas cuadrantes, y se numeran en dirección opuesta a las manecillas del reloj. (I, II, III, IV)

slide59
En la medida de los ángulos, se emplean tres unidades básicamente:

Radián: Se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Es la unidad más usada en cuanto a trigonometría.

Grado centesimal: Unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Grado sexagesimal: Unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Cada grado se divide en 60’(que se lee 60 minutos de arco) y cada minuto de arco se divide en 60’’ (que se lee 60 segundos de arco).

slide60

Propiedades de las Funciones Trigonométricas

  • Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
  • Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas.
  • Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
  • Cada tiene una razón inversa. Así, la cotangente es recíproca de la tangente, la cosecante es recíproca del seno, y la secante es recíproca del coseno.
  • Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje y: cos (-x) = cos x.
slide61

EJEMPLO

Función Seno

Elementos

Punto de Corte con x= (0 + π k)

Punto de Corte con y= (0,0)

Periodo= 2π rad

Creciente= … U(-π/2, π/2) U (3π/2, 5π/2) U…

Decreciente= …U(π/2, 3π/2) U (5π/2, 7π/2) U…

Amplitud= 1

Dominio= IR

Conjunto de Salida= IR

Rango= [-1, 1]

Conjunto de Llegada= IR

Máximos=

Mínimos=

La función seno es periódica, limitada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

Se define por la ecuación: y= sen x, y su inversa es y= 1/csc x.

El seno de un ángulo α se define: sen α= y/r, siendo r el radio, y Y la coordenada Y.

funci n coseno

EJEMPLO

Función Coseno

Elementos

Punto de Corte con x= (π/2 + k)

Punto de Corte con y= (0,1)

Periodo= 2π rad

Creciente= … U(-π, 0) U (π, 2π) U…

Decreciente= …U(0, π) U (2π, 3π) U…

Amplitud= 1

Dominio= IR

Conjunto de Salida= IR

Rango= [-1, 1]

Conjunto de Llegada= IR

Máximos=

Mínimos=

La función coseno es periódica y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

Se define por la ecuación: y= cos x, y su inversa es y= 1/sec x.

El coseno de un ángulo α se define: cos α= x/r, siendo r el radio, y X la coordenada X.

funci n tangente

EJEMPLO

Función Tangente

Elementos

Dominio=

Conjunto de Salida=

Rango= IR

Conjunto de Llegada= IR

Máximos= No tiene

Mínimos= No tiene

Punto de Corte con x= (0 + π k)

Punto de Corte con y= No hay

Periodo= π rad

Creciente= IR

La función tangente es periódica y asocia a todo el conjunto de los números reales.

Se define por la ecuación: y= tg x, y su razón recíproca es y= 1/ctg x.

La tangente de un ángulo α se define: tg α= y/x, siendo Y la coordenada Y, y X la coordenada X.

funci n cosecante

EJEMPLO

Función Cosecante

Elementos

Punto de Corte con x= No hay

Punto de Corte con y= No hay

Periodo= 2π rad

Creciente= … U (π/2, π) U (π, 3π/2) U…

Decreciente= … U (0, π/2) U (3π/2, 2π) U…

Dominio=

Conjunto de Salida=

Rango= (- ∞, -1) U ( 1, ∞)

Conjunto de Llegada= IR

Máximos=

Mínimos=

La función cosecante es periódica y asocia a todo el conjunto de los números reales.

Se define por la ecuación: y= csc x, y su razón recíproca es y= 1/sen x.

La cosecante de un ángulo α se define: csc α= r/y, siendo r el radio, y Y la coordenada Y.

funci n secante

EJEMPLO

Función Secante

Elementos

Punto de Corte con x= No hay

Punto de Corte con y= No hay

Periodo= 2π rad

Creciente= … U (0, π/2) U (π/2, π) U…

Decreciente= … U (π, 3π/2) U (3π/2, 2π) U…

Dominio=

Conjunto de Salida=

Rango= (- ∞, -1) U ( 1, ∞)

Conjunto de Llegada= IR

Máximos=

Mínimos=

La función secante es periódica y asocia a todo el conjunto de los números reales.

Se define por la ecuación: y= sec x, y su razón recíproca es y= 1/cos x.

La secante de un ángulo α se define: sec α= r/x, siendo r el radio, y X la coordenada X.

funci n cotangente

EJEMPLO

Función Cotangente

Elementos

Punto de Corte con x= (π/2 + k)

Punto de Corte con y= No hay

Periodo= π rad

Decreciente= IR

Dominio=

Conjunto de Salida=

Rango= IR

Conjunto de Llegada= IR

Máximos= No tiene

Mínimos= No tiene

La función cotangente es periódica y asocia a todo el conjunto de los números reales.

Se define por la ecuación: y= ctg x, y su razón recíproca es y= 1/tg x.

La cotangente de un ángulo α se define: ctg α= x/y, siendo X la coordenada X, y Y la coordenada Y.

referencias de consulta
Referencias de consulta
  • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar
  • http://www.x.edu.uy/lineal.htm
  • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
  • http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
  • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par
  • http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar
  • http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm
  • http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf
  • http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf
  • http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html
  • http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html
  • http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm
  • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva
  • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
  • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva
  • http://bc.inter.edu/facultad/Ntoro/logaw.htm
  • http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/fraciow.htm
  • http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/funciones_a_trozos_ejemplos_jbb/definici.htm
  • http://www.scribd.com/doc/95037/Trigonometria
  • http://www.vitutor.com/fun/2/c_15.html