FUNCIONES

1. Una función es una aplicación entre dos conjuntos A y B, tal que a cada elemento de A (conjuntooriginal) le corresponde un único elemento de B (conjunto final), de la siguiente forma: f: A B x y = f(x) y es la imagen por f de x x es la antiimagen de y por f Dada una función, f, para cada valor x ∊ A, existe un único elemento y = f(x) ∊ B. La afirmación inversa no siempre es cierta. Si f: A B y A y B son subconjuntos de R, la función se denomina función real de variable real. FUNCIONES El dominio de una función es el conjunto original de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el dominio es el subconjunto A C R formado por todos los elementos x que tienen imagen y = f(x). Dom f(x) = {x ∊R| existe y = f(x) ∊R } El recorrido o imagen de una función es el conjunto imagen de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el recorrido o imagen es el subconjunto B C R formado por todos los elementos y para los cuales existe al menos un elemento x del dominio tal que f(x) = y, es decir, B = f(A). Rec f(x) = {y ∊R | existe x ∊ Dom f(x) con f(x) = y}

2. n g ( x ) Funciones polinómicas f(x) = p0 + p1x + p2x2 + … + pnxn Dom f(x) = R Funciones racionales f(x) = Dom f(x) = {x∊R| q(x) ≠ 0} • Funciones irracionales • f(x) = • Si n es par Dom f(x) = {x∊R| g(x) ≥ 0} • Si n es impar Dom f(x) = Dom g(x) Funciones definidas a trozos Su expresión analítica es diferente para distintos valores reales. El dominio se determina uniendo los diferentes subconjuntos para los cuáles está definida. Ejemplo: dom f(x) = (-∞, 2] U (5, +∞) CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

3. Rec f(x) = [-1, 1] Rec f(x) = (-∞, f(a)] Rec f(x) = R – {0} 1 ∏ ∏ , Rec f (x ) = { - 2 } U [ - 1, ] Rec f (x ) = ( - ) Rec f(x) = Z 2 2 2 CÁLCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN Para calcular el recorrido de funciones podemos utilizar la gráfica y calcular la proyección sobre el eje de ordenadas.

4. Signo de una función • Se trata de determinar para qué valores de • su dominio es f(x) > 0 y f(x) < 0. • f(x) > 0 si su gráfica está situada por • encima del eje de abscisas • f(x) < 0 si su gráfica está situada por • debajo del eje de abscisas ｷ Periodicidad Una función es periódica de periodo T si f(x) = f(x + T) con x Є Dom f CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (I) Monotonía Es la variación de la función con respecto a la variable independiente x. • f(x) es creciente en (a, b) si para cualquier x1, x2, con x2 > x1, se cumple que f(x2) ≥ f(x1). En caso de que f(x2) > f(x1), la función es estrictamentecreciente. • f(x) es decreciente en (a, b) si para cualquier x1, x2, con x2 > x1, se cumple que f(x2) ≤ f(x1). En caso de que f(x2) < f(x1), la función es estrictamentedecreciente.

5. Simetrías • Función par f(-x) = f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del eje de ordenadas • Función impar f(-x) = - f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del origen de coordenadas • Acotación • Función acotada superiormente f(x) ≤ k con x Є Dom f ; k es una cota superior de la función • Función acotada inferiormente f(x) ≥ k con x Є Dom f ; k es una cota inferior de la función • Función acotada |f(x)| ≤ k, con k positivo (f acotada superior e inferiormente) CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (II)

6. División de funciones f f ( x ) · ( x ) = g g ( x ) f · Dom = { Do m f  Dom g } – { x Do m g | g ( x) = 0 } g • Composición de funciones • f compuesta de g (g ◦ f) • x f(x) g[f(x)] = (g ◦ f)(x) • Dom (g ◦ f) = Dom f  f-1 (Dom g) g f OPERACIONES CON FUNCIONES • Adición de funciones • (f + g)(x) = f(x) + g(x) • Dom (f + g) = Dom f  Dom g • Tiene la propiedad asociativa, conmutativa, • elemento neutro f(x) = 0 y elemento • opuesto –f • Resta de funciones • (f - g)(x) = f(x) + g(x) • Dom (f - g) = Dom f  Dom g • Multiplicación de funciones • (f · g)(x) = f(x) · g(x) • Dom (f · g) = Dom f  Dom g • Tiene la propiedad asociativa, conmutativa, • elemento neutro f(x) = 1 (f1) y distributiva • respecto de la adición [f · (g + h) = f · g + f · h] • Potenciación de funciones • (fg)(x) = [f(x)]g(x) donde f(x) > 0 con x Є Dom f • Dom fg = Dom f  Dom g

7. Función inyectiva si y solo si, f(a) = f(b) a = b Dada una función inyectiva f(x), se denomina funcióninversa, f-1(x), a aquella que cumple lo siguiente: (f ◦ f-1)(x) = (f-1◦ f)(x) = x La función inversa de f es aquella que invierte (x, f(x)), es decir, a la imagen de x por f le hace corresponder de nuevo x. FUNCIÓN INVERSA • Función suprayectiva o exhaustiva si y solo si, su • recorrido son todos los números reales [Rec f = R] • Función biyectiva si y solo si es inyectiva y • suprayectiva al mismo tiempo • Cálculo de la función inversa • El procedimiento es el siguiente: • Se hace que f(x) = y • Se intercambian x e y • Se despeja y en función de x