Determinan

1. Determinan Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

2. Determinan Matrik 2x2 Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkar Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau A Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besar Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

3. Determinan Matrik 3x3 det(A)= det(A)= det(A)= det(A)= Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut: Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

4. Minor dan Kofaktor Definisi: Misalkan Anxn=[aij], maka minor dari aij , yang dilambangkan oleh Mij, adalah determinan dari sub matrik A yang diperoleh dengan cara membuang semua entri pada baris ke-i dan semua entri pada kolom ke-j. Kofaktor dari aij, yang dilambangkan oleh Cij, adalah (-1)i+jMij. Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

5. Contoh Minor dan Kofaktor Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

6. Ekspansi Kofaktor Misalkan Anxn=[aij] determinan dari A: det(A) = ai1Ci1+ ai2Ci2+ + ainCin {karena baris ke-i menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i} atau det(A) = a1jC1j+ a2jC2j+ + anjCnj {karena kolom ke-j menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j} Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

7. Contoh Determinan 1 Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

8. Contoh Determinan 2 det(B) = 2(-47) = - 94 Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

9. Sifat-sifat determinan • det(AB)=det(A)det(B) • det(AT)=det(A) • Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari semua entri pada diagonal utama} • Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari semua entri pada diagonal utama} • Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A) • det(A-1)=1/det(A) • Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka det(A)=0 Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

10. Sifat-sifat determinan • Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut: • Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A) • Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A) • Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A) • Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0 Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

11. Reduksi Baris Dengan menggunakan sifat ke 8 dan 4, maka dapat mempermudah dalam menghitung determinan, dengan cara mengubah bentuknya menjadi matrik segitiga Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

12. Contoh Reduksi Baris det(A) Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

13. Kombinasi Reduksi Baris dan Ekspansi Kofaktor • Penggunaan kombinasi metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor secara bersamaan, menyebabkan penghitungan determinan lebih cepat Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

14. Contoh Kombinasi = = det(B) = = -2(2 - 3(-15)) = -94 = Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

15. Tantangan 1 • Untuk matrik-matrik di bawah ini, tentukan: • minor dari semua entri dari • Kofaktor dari semua entri • Determinan dengan menggunakan ekspansi kofaktor Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

16. Tantangan 2 • Hitung determinan matrik di bawah ini, menggunakan metode campuran, yaitu gabungan metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor. • Diketahui matrik A dan B berordo 4x4, det(A)= - 12 dan det(B)=3/4, hitunglah: det(A2BA-1B3B-3) Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

17. Tantangan 3 • Jika , hitunglah Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

18. Adjoin Definisi: Misalkan Anxn=[aij], Cij adalah kofaktor dari entri aij, matrik: disebut matrik kofaktor. Transpos matrik kofaktor A disebut matrik adjoin A ditulis adj(A). Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

19. Contoh Adjoin adj(A) = Matrik Kofaktor A = Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

20. Jumlah perkalian Entri dan Kofaktor tak seletak b1 = a11C31 + a12C32 + a13C33 b2 = a11C’31 + a12C’32 + a13C’33 Dengan cara yang sama, kenyataan tersebut dapat dikembangkan untuk matrik nxn, sehingga Jumlah perkalian entri dan kofaktor yang tak seletak = nol b1=b2 b2=det(A’) det(A’)=0 b1=0 Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

21. A dikali adj(A) bij= bij= Jika ij, maka bij=0 Jika i=j, maka bij=det(A) Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

22. Invers Matrik dgn Adjoin A adj(A)= A adj(A)=det(A)I Jika det(A)0, maka Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

23. Contoh Invers dgn Adjoin = = = = Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

24. Aturan Cramer X=A-1B Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

25. Contoh Aturan Cramer = det(Ax)= = det(A)= = = Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

26. Tantangan 4 Tentukan solusi dari persamaan-persamaan di bawah ini, menggunakan metode: • Perkalian dengan determinan matrik koefisien dan adjoinnya • Aturan Cramer Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id