ALJABAR VEKTOR &amp; MATRIKS (Vector Analysis &amp; Matrices )

1 / 77

# ALJABAR VEKTOR &amp; MATRIKS (Vector Analysis &amp; Matrices ) - PowerPoint PPT Presentation

ALJABAR VEKTOR &amp; MATRIKS (Vector Analysis &amp; Matrices ). Pendahuluan Pada Fisika : a. Besaran Vektor . b. Besaran Skalar

I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.

## PowerPoint Slideshow about 'ALJABAR VEKTOR &amp; MATRIKS (Vector Analysis &amp; Matrices )' - gaille

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

### ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices)

Pendahuluan

PadaFisika : a. BesaranVektor. b. BesaranSkalar

Besaran : sesuatuygdapatdiukurdanbesarnyadinyatakan.denganangka*DefinisibesaranVektor : suatubesaranygbesarnyadapat.diukur (mempunyainilai) danmempunyaiarah.Contoh : kecepatan, gaya, dsb*DefinisibesaranSkalar : suatubesaranygbesarnyadapat.diukurtapitidakmempunyaiarah.Contoh : massa, panjang, dsb.

Operasi2penjumlahan, pengurangandanperkalianyglazim.dalamaljabarbilangan, dengandefinisiygsama, dapat di- .perluaskedalamaljabarVektor

BAB 1. VEKTOR dan SKALAR

ygbiladitambahkanBmenghasilkanvektorA. .C = A – B. = A + (-B) .BilaA = B, maka A – B = 0 sebagaivektornol. 5. Hasil kalivektorAdenganskalar m adalahvektor mAyg.besarnya |m| kali besarnyaAdanmemilikiarahygsamaatau.berlawananA,bergantungpadaapakah m positif /negatif. . Bila m = 0 maka mAadalahvektornol.

.

BilaA, BdanCadalah vektor2, m dan n adalah skalar2, maka : 1. A + B = B + A⇨ hukumKomutatifpenjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukumAsosiatifpenjumlahan 3. mA = Am ⇨ hukumKomutatifperkalian 4. m(nA) = (mn)A ⇨ hukumAsosiatifperkalian 5. (m + n)A = mA + nA ⇨ hukumDistributif 6. m(A + B) = mA + mB ⇨ hukumDistributif

Hukum-hukumAljabarVektor

• SetiapvektorA = | | yang bukannol, mempunyaivektor.satuan : Ā = = | | -Besar (panjang) vektor.MisalnyaA = | |adalahvektor di R2, makabesarvektorA : . | A | =
VEKTOR SATUAN

1. Sebutkanbeberapabesaranvektordanbesaranskalar, ma- . sing-masingdelapanmacam ? 2. Hitunglahbesar (panjang) vektordanvektorsatuandari.vektorA = 〔〕? 3. Buktikanbahwapenjumlahanvektoradalahkomutatif, yaitu.A + B = B + A ? Secaragrafis ! 4. Diketahui vektor2 : K = 〔 〕, L = 〔〕 dan M = 〔〕bila. 3K – 2L = - Mmakahitungnilaix ? 5. Tentukanresultan vektor2berikut : .Vektor A, 15 m arahbaratlaut, B. 25 m. 30odisebelah.utaradaritimurdan C, 40 m keselatan ?

Contohsoal

1a. Vektor : percepatan, momentum, berat, energi, medanlistrik, me- .dan magnet, medangravitasi, kohesi, adhesi, aruslistrik, pegasdll. 1b. Skalar : waktu, suhu, kalor, kalorjenis, volume, luas, jarak, massa.jenis, intensitascahaya, perbesaranlensa, dll.

2. Besar(panjang) vektorA : A = 〔〕 .A = |A| = = = 5 .Vektorsatuan, A = = 〔 〕 = 〔〕

3. HukumKomutatifpenjumlahan : A + B = B + A.bukti : Q OP + PQ = OQ ⇔ A + B = C .P B OR + RQ = OR⇔ A + B = C .ACAJadi : .C A + B = B + A .OBR

Jawabancontohsoal

4. 3K – 2L = - M . 3 〔 - 2 〔 = - 〔 .〔 + 〔 = 〔 . 6 – 2x = -2 . x = . x = 4

5. A = 15 m arahbaratlaut. B = 25 m arahutaradaritimur 30o. C = 40 m keselatan

Jawabancontohsoal

U.BD = A + B + C.30oSecaragrafis : .A- padattk terminal Atempatkan.45oCttkpangkal B .BT - padattk B tempatkanttk pang.kal C.D- resultan D dibentikdengan.menghubungkanttkpangkalA . S denganttk terminal C, jadi. D = A+B+C

Secaragrafis, resultanmempunyaibesar 4,5 satuan, jadiresultan D = 22,5 m denganarah 60odisebelahselatandaritimur.

Jawabancontohsoal

1. a. NyatakanvektorAsecaraaljabar ?

3A(4,3) b. HitunglahbesarvektorA ?

c. Tentukanbesarvektorsatuan A ?

4

2. HitunglahbesarvektordanvektorsatuandarivektorB = 〔 〕 ?

3. Buktikanbahwapenjumlahanvektoradalahassosiatifyaitu.A + B + C = (A + B) + C ?

4. Sebuahmobil sedan bergerakkearahutarasejauh 4km, lalu 8km .kearahtimurlaut. Tentukanvektorperpindahanresultannya se- .caragrafisdananalitis, gambarkanperpindahanmobilsecara.grafis ?

Latihansoal/PR

- Himpunan vektor2satuanpentingadalahygarahnyamenurut. sumbu2x, y dan z positifsistemkoordinattegak-lurusruang. 3-dimensi, dinyatakanoleh i, j dan k.

zC

k

A

0

i j y B

xA

BAB 2. VEKTOR2 SATUAN TEGAK-LURUS i, j dan k

- Umumnyamenggunakansistemkoordinattegak-lurusaturan.tangankanan, kecualiadapernyataan lain. - Sisteminidianalogikandengansebuahsekrupberulirkanan.ygdiputar 90odariOx keOyakanmajudalamarahsb z pos. - BilatigabuahvektorA, BdanCygtitikpangkalnyaberhim- . pit dantakkoplanar(tidakterletakpadaatausejajarbidangyg.sama)dikatakanmembentuksebuahsistemtangankananatau.sistemdekstral. Analogidengansebuahsekrup (baut)berulir.kananygdiputardengansudutkurangdari 180odariAkeB .makaakanmenujuarahC.

1. Vektor2SatuanTegak-lurus. i, j, k

• ResultandariA1i, A2j danA3k adalah : .A = A1i + A2j + A3k
• Besarvektor A = | A | =
• Khususnya, vektorposisiatauvektorjejari(radius vector) rdari O ketitik (x, y, z) : .r = xi + yj + zk
• Besarvektorr : . r = | r | =
2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR

Bilapada tiap2titik (x,y,z) darisuatudaerah R dalamruang, dikaitkansebuahskalar(bilangan) φ(x,y,z) makaφdisebutfungsititikskalar (scalar point function),⇨ medanskalarContoh : 1. Temperaturdalamlaboratoriumkomputer. 2. φ(x,y,z) = x3y2+ y2z– xz2

• Jikapada tiap2titik (x,y,z) darisuatudaerah R dalamruang, dikaitkandengansebuahvektorV(x,y,z) makaVdisebutfungsititikvektor (vector point function) dandikatakansebuahmedanvektortelahdidefinisikandalam R. Contoh : 1. Kecepatanfluidaygbergerakdalampipa 2. V(x,y,z) = xy2 i + 3yz2 j – 2x2z2 k - Medan vektorstationerataukeadaansteady stateadalah.sebuahmedanvektorygtidakbergantungwaktu.
3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR

1. Diketahui vektor2berikut, r = 〔〕, s = 〔〕,t = 〔〕Bila . 3r- 2s = -t, hitunglahnilai x dan y ?

2. Diberikanbeberapavektor, P = 〔〕, Q = 〔〕, R = 〔〕 dan .S = 〔〕.Tentukan nilai x dany,bilaPQ = RSdanbilaPQ = SR

3. KoordinattitikA( 2,-5) danvektorAB = 3i – 4j , hitunglah.koordinattitikB ?

4. Diberikanbeberapavektor, K= i - 2j + 2k, L= 2i - 4j - 4k .danM= 3i - 2j + 6k. Tentukanbesar : a. | K|, |L|, | M| .b. | K - L + M | c. 3K –L +2M

5. Diketahuimedanskalarygdidefinisikanφ(x,y,z)= 3x2y – xy3. + 5z2Tentukanφpadatitik-titik :

4. Contohsoal

a. (0,0,0) b. (1, 2, -2) c. (1, 1, -2) d. (-1, -2, -3) ?

Contohsoal – lanjutan

1. 3r – 2s = - t .〔〕- 〔〕 = 〔〕.3x – 6 = -3 3y - 4 = 2 . 3x = -3 + 6 3y = 4 + 2 . x = 1 y = 2

2. PQ = RSPQ = SR

PQ = q – p = 〔〕 = 〔〕SR = 〔〕.RS = s – r = 〔〕. 〔〕= 〔〕〔〕= 〔〕.4 = 2 - x-12 = y - 1 4 = x - 2 - 12 = y - 1 . x = - 2 y = -11 x = 6 y = -13

Jawabancontohsoal

3. AB = b – a = 〔 〕= ⇨ 3i -4j = 〔〕 =

〔〕 = 〔〕

3 = x-2 - 4 = y + 5 . x = 5 y = - 9 .Jadikoordinattitik B adalah B(5, -9)

4a. | K | = | i – 2j + 2k | = = = 3 .| L| = | 2i – 4j - 4k | = = = 6 .| M| = | 3i – 2j + 6k | = = = 7

4b. K – L + M = (i - 2j + 2k) – (2i - 4j - 4k) + (3i – 2j +6k) = 2i + 12k . | K– L + M | = = = 2 4c. 3K – L + 2M = (3i – 6j + 6k) – (2i – 4j – 4k) + (6i – 4j + 12k) = .7i – 6j + 22k

Jawabancontohsoal– lanjutan

5. φ(x,y,z) = 3x2y – xy3 + 5z2

φ(0,0,0) = 0

φ(1, 2, -2) = 3(1)2(2) – (1)(2)3 + 5(-2)2 = 6 - 8 + 20 = 18

φ(1, 1, -2) = 3(1)2(1) – (1)(1)3 + 5(-2)2 = 3 – 1 + 20 = 22

φ(-1, -2, -3) = 3(-1)2(-2) - (-1)(-2)3 + 5(-3)2 = - 6 – 8 + 45 = . = 31

Jawabancontohsoal – lanjutan

1. Diketahuibeberapakoordinat vektor2 : .Apada (4,3), Bpada( 2,-8), C(x,3) danD(3,y). Tentukan.nilai x dan y bila : a. AB = CD b. AB = DC ?

2. KoordinatvektorK(3,-5, 4) danvektorKL = 2i – 3j + 5k .Hitunglahkoordinat L ?

3. Diberikanbeberapavektor : R = 2i – 2j + k, S = 4i – 4j + 2k .dan T = 6i -2j + 3k. Tentukan : a. | R | + | S| + | T| . b. | R+ S + T | c. | 3R - 2S - T |

4. Tentukansebuahvektorsatuanygsejajarresultandarivek- . tor-vektorA = 5i + 4j + 2k danB = 3i + 2j + k ? 5. Sebuahbeban 50 kg digantungkanpadapertengahansebuah.talisepertipadagambar di bawah.Tentukantegangan T pada.tali ?

5. SoalLatihan/PR

. T1T2.

600600.

T

50 kg

SoalLatihan/PR – lanjutan

Pendahuluan

• Padavektorterdapatduaperkalian, perkalianskalardan per- kalian vektor
• Perkalianskalarduavektordinamakanhasil-kali titik(skalar)
• Perkalianvektorduavektordisebuthasil-kali silang (vektor)
• Hukum-hukumygberlakupadakeduaperkalianitu ; hasil-kali titikdanhasil-kali silang
BAB 3. HASIL-KALI TITIK DANHASIL-KALI SILANG

PerkalianSkalarduabuahvektordisebutjugahasil-kali titikataudot product.

• Hasil-kali titik (skalar) duabuahvektor, AdanB, ygdinyatakanolehA · B didefinisikansebagaihasil-kali antarabesarnyavektor2AdanBsertacosinusθantarakeduanya : .A · B = | A | | B | cosθdimana 0 ⩽ θ⩽ 𝜋
• Bila diketahuiA= 〔〕B = 〔〕maka, A · B = (x1 x2) + (y1 y2) + (z1z2), dimana| A |=dan | B |=
1. Hasil-kali Titik (Skalar)

4. Sifat-sifatperkalianskalarduavektoratauhukum-hukumpadahasil-kali titik : 1. A · B = B · AHukumKomutatif 2. A · (B + C) = A · B + A · CHukumDistributif 3. m (A · B) = (mA) · B = A · (mB) = (A ·B)m 4. i · i = j · j = k · k = 1 . i · j = j · k = k · i = 0 5. A · A = | A |2 6. Bila : A = A1i + A2j + A3k danB = B1i + B2j + B3k, maka.A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3.A · A = | A |2 = A12 + A22 + A32.B · B = | B |2 = B12 + B22 + B32

Hasil-kali Titik (Skalar) – lanjutan

Bila diketahuiA, Bdan < A · B = α, maka.cosα = =

a. Proyeksiskalar orthogonal (panjangproyeksi) vektor

A x B = | A | | B | sin θu , dimana 0 ⩽θ ⩽ 𝜋 dan.- uadalahvektorsatuanygmenunjukkanarahdariA x B . - bilaA = BatauAsejajarBmaka sin θ = 0 dandidefinisi- .kanA x B = 0

2. Hasil-kali Silang (Vektor) – cross product

a. A x B = - B x AhukumKomutatif. b. A x (B + C) = A x B + A x ChukumDistributif. c. m(A x B) = (mA) x B = A x ( mB) = (A x B)m . d. i x i = j x j = k x k = 0 . i x j = k . j x k = i . k x i = j . e. BilaA = A1i + A2j + A3k danB = B1i + B2j + B3k, maka

.A x B = 〔〕

f. BesarA x B = luasjajarangenjangdengansisi A, B

g. BilaA x B = 0, AdanBbukan vektor2nol maka

1. a. i · i = d. j · k = . b. i · j = e. j · (2i – 2j – 2k) = . c. i . k = f. (2i – j) · (2i – k) =

2. BiladiketahuivektorP = 2i – 2j – k danQ = i - 4j + 8k, .makatentukan : a. | P | c. P · Q. b. | Q | d. sudutθ.

3. Bila | A |= 12 , | B |= 8 dansudutantaravektorAdanB.adalah 60o. Tentukan | A – B | ?

4. BilasudutantaravektorK = i + j + a k danL = i - j . + a k, adalah 60oTentukanbesar a ?

ContohSoalHasil-kali Titik

1a. i · i = | i | | i | cos 0o = (1) (1) (1) = 1 . b. i · j = | i | | j | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . c. i · j = | i | | k | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . d. j · (2i – 2j – 2k) = 2j · i – 2j · j – 2j · k = 0 – 2 - 0 = 2 . e. (2i – j) · (2i + k ) = 2i · (2i + k) – j · (2i + k) = 4i · i + 2i · k . – 2j · i – j · k = 4 + 0 – 0 – 0 = 4

2a. | P | = = 3 b. | Q | = = 8c. P · Q = (2)(1) + (-2)(-4) + (1)(8) = 2 + 8 + 8 = 18 d. cosθ = = = ⇨ θ= arc cos 0,667 = 48,50

3. | A – B |2 = | A |2+ | B |2 – 2 | A | | B | cos 600 =

122 + 82 – 2 (12)(8)(0,5) = 112 ⇨| A – B | =4

JawabancontohSoalHasil-kali Titik

1a. i · (3i – 2j – k) = . b. (2i – j) · (i + 2j) . c. k · k = . d. i . [ (i – 3j – k) . (3i – 2j + 3k)] =

2. BilaP = P1i + P2j + P3k danQ = Q1i + Q2j + Q3k makabukti.kanP . Q = P1 Q1 + P2 Q2 + P3 Q3 ?

3. Tentukansudutantara vektor2K = 2i + 2j – k dan.L = 6i – 3j - 2k ?

4. TentukanproyeksivektorA = i – 2j + k danB = -4i – 4j +7k

SOAL LATIHAN/PR Hasil-kali Titik

Tentukanhasilnya : a. i x j = . b. j x k = e. j x j = h. i x k = . c. k x i = f. k x j = i. i x i = . d. 2i x 3k = g. (2i) x (-3k) j. 2j x i – 3k =

• BilaP = 2i – 3j – k danQ = i + 4j - 2k, makatentukan a. P x Q = b. Q x P = c. (P + Q) x (P – Q) =
• JikaK = 3i – 2j + 2k, L = 2i + j – k danM = i – 2j + 2k carilah : a. (K x L) x M. b. K x (L x M) ?
ContohsoalHasil-kali Silang

1.a. i x j = k f. k x j = - j x k = - i . b. j x k = I g. (2i) x (-3k) = 3k x 2i = 6j . c. k x i = j h. i x k = - k x i = - j . d. 2i x 3k = - 3k x 2i = - 6j j. (2j x i) – 3k =(-i x 2j)-3k= - 5k

2a. P x Q= i j k .2 -3 -1 = i -3 -1- j2 -1 + k2 - 3 = 10 i + 3j + 11k.1 4 -2 4 -21 -21 4

metode lain : (2i -3j -k)x(i + 4j -2k)= 2i x(i + 4j -2k) – 3j x(i+4j-2k) . – k x(i + 4j -2k)= 2i x i + 8i x j – 4i x k + 3j x i – 12j x j + 6j x k – . k x i – 4k x j + 2k x k = 0 + 8k + 4j + 3k – 0 + 6i - j + 4i + 0 . = 10i + 3j + 11k

ataupunmetodelainnya : (-3)(-2) – (-1)(4) 10 .(-1) (1) - (2) (-2) = 3 . (2) (4) - (-3) (1) 11

JawabancontohsoalHasil-kali Silang

2b. (Q x P) = i j k . 1 4 -2 = (i + 4j – 2k) x ( 2i – 3j –k). 2 -3 -1

= i 4 -2 - j 1 -2 + k 1 4 = - 10 i – 3j – 11k . -3 -1 2 -1 2 -3

2c. P + Q = (2i – 3j – k) + (i + 4j – 2k) = 3i + j – 3k .P – Q = (2i – 3j – k) - (i + 4j – 2k) = i – 7j + k, maka

(P + Q) x (P – Q) = (3i + j – 3k) x (i – 7j + k) = i j k .3 1 -3 = .1 -7 1.i 1 -3 - j 3 -3 + k 3 1 = - 20i – 6j – 22k .. -7 1 1 1 1 -7 .ataudenganmetode lain :

JawabancontohsoalHasil-kali Silang– lanjutan

(P + Q) x (P – Q) = P x (P – Q) + Q x (P – Q) . = P x P – P x Q + Q x P – Q x Q = - P x Q – P x Q. = - 2 (P x Q) = - 2 (10i + 3j + 11k) = -20i – 6j – 22k

3a. (K x L) x M =

K x L = i j k .3 -1 2 =- i + 7j + 5k maka. 2 1 -1 .(K x L) x M = (-i + 7j + 5k) x (i – 2j + 2k) = i j k .-1 7 5 = 24i + 7j – 5k .1 -2 2

3b. K x (L x M) =

L x M = i j k .2 1 -1 = 0i – 5j – 3k . 1 2 -2 maka

JawabancontohsoalHasil-kali Silang – lanjutan

K x (L x M) = (3i – j + 2k) x (-5j – 5k) =

i j k . 3 -1 2 = 15i + 15j – 15k . 0 -5 -5 Jadi (K x L) x M≠K x (L x M), ygmemperlihatkanperlunyatandakurungdalam K x L x M untukmenghindaritafsirganda.

JawabancontohsoalHasil-kali Silang – lanjutan

Hasil-kali titikdansilangdaritigabuahvektor A, B dan C dapatmenghasilkanhasil-kali ygmempunyaiartidalam bentuk2sbb : (A · B)C , A · (B x C) danA x (B x C).

Hukum-hukumygberlakupadahasil-kali tripel : 1. (A · B)C≠ A(B · C) 2. A · (B x C) = B · (C x A) = C · (A x B) = volume sebuah.jajarangenjangruangygmemilikisisi-sisiA, BdanCatau.negatifdari volume ini, sesuaidenganapakahA, BdanC.membentuksebuahsistemtangankananatautidak. Bila.A = A1i + A2j + A3k, B = B1i + B2j + B3k danC = C1i + . C2j + C3k , maka :

A · (B x C) = A1 A2 A3.B1 B2 B3.C1 C2 C3

3. Hasil-kali Tripel – triple product

3. A x (B x C) ≠ (A x B) x CHukumAsosiatif 4. A x (B x C) = (A · C)B – (A · B)C.A x (B x C) = (A · C)B – (B · C) A 5. Hasil-kali A · (B x C) seringkalidisebuthasil-kali tripel.skalaratauhasil-kali kotakdandapatdinyatakandengan. 〔ABC 〕. Hasil-kali A x (B x C) disebuthasil-kali tripelvektor 6. DalamA · (B x C) seringkalitandakurungnyadihilangkan, .ditulissebagaiA · B x C. Sedangkantandakurungharus.dipakaidalamA x(B x C).

Hasil-kali Tripel – triple product

BilaP = P1i + P2j + P3k, Q = Q1i + Q2j + Q3k, R= R1i + R2j + R3k. BuktikanbahwaP · (Q x R) = P1 P2 P3. Q1 Q2 Q3 . R1 R2 R3

• BilaA = 2i – 3j , B = i + j – k ,C = 3i – k, hitunglahA · (B x C)
• Tentukanpersamaanuntukbidangygditentukanoleh titik2 K(2,-1, 1), L(3, 2, -1) dan M(-1, 3, 2) ?
ContohsoalHasil-kali Tripel

P · (Q x R) = P · i j k.Q1 Q2 Q3.R1 R2 R3. = (P1i + P2j + P3k) · [(Q2R3- Q3R2) i + (Q1R3 – Q3R1) j + . (Q1R2 – Q3R1) k] .= P1(Q2R3- Q3R2 ) – P2 (Q1R3 – Q3R1) + P3 (Q1R2 – Q3R1) . = P1 P2 P3. Q1 Q2 Q3. R1 R2 R3

• Cara-1

A · (B x C) = (2i – 3j) · i j k.1 1 -1 = (2i – 3j +0) . (- i – 2j – 3k) .3 0 -1 = -2 + 6 +0 = 4

JawabancontohsoalHasil-kali Tripel

Cara-2

A · (B xC) = 2 3 0.1 1 -1 = - 2 + 6 = 4.3 0 -1

Cara-3

A · (B x C) = (2i – 3j + 0) · [(i + j – k) x (3i + 0 –k)] . = (2i – 3j + 0) · (3i x i – i x j + 3j x i – j x k – 3k x j + k x k . = (2i – 3j + 0) · (0 + j – 3k – i – 3j + 0) . = (2i – 3j + 0) · ( - i – 2j – 3k) . = (2)(-1) + (-3)(-2) + 0(-3) = 4

3. Vektor2kedudukan dari K, L, M dansebarangtitik N(x,y,z) ada- .lah : A1 = 2i – j + k, A2 = 3i + 2j – k, A3 = - i + 3j – 2k dan. A = xi + yj + zk.

JawabancontohsoalHasil-kali Tripel– lanjutan

Maka : NK = A – A1 = (x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k . LK = A2 – A1 = (3 – 2)i + (2 + 1)j + (-1 – 1)k = i + 3j – 2k . MK = A3 – A1 = (-1 – 2)i + (3+1)j (2- 1)k = - 2i + 4j + k Semuanyaterletakpadabidangygdikehendaki, sehingga : NK · (LK x MK) = 0 A – A1 · [(A2 – A1) x (A3 – A1)] [(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · [(i + 3j –2k) x (- 3i + 4j + k)] = 0 [(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · (11i + 5j + 13k) = 0 11(x – 2) + 5(y + 1) + 13(z – 1) = 0 11x – 22 + 5y + 5 + 13z – 13 11x + 5y + 13z = 13 + 22 – 5 11x + 5y + 13z = 30

JawabancontohsoalHasil-kali Tripel – lanjutan

BiladiketahuivektorA = 3i – 2j , B = i + j – k danC = 3i – k makahitunglahA · B x C ?

• Tentukanpersamaanbidangygditentukanolehtitik-titikA(2,1,1), B(3, 2, 1) danC(1, 3, 2) ?
SoalLatihan/PR Hasil-kali Tripel

- Himpunan vektor2 A, B, CdanA’, B’, C’ disebuthimpunan.atausistem vektor2 resiprokalbila :

A’ · A = B’ · B = C · C’ = 1

A’ · B = A’ · C = B’ · A = B’ · C = C’ · A = C’ · B = 0 - HimpunanA, B, CdanA’, B’, C’ adalahhimpunan vektor2 ..Resiprokaljikadanhanyajika :

A’ = , B’ = , C’ =

dimanaA · B x C≠ 0

4. Himpunan Vektor2Resiprokal (Reciprocal)

BiladiketahuivektorA = 2i + 3j – k , B = i – j +2k , danC = - i + 2j + 2k. Tentukansuatuhimpunanvektor-vektorResiprokalterhadaphimpunanvektor-vektortersebut ?

• Dari ketentuan (rumus) di atasbuktikanbahwa A’ · A = B’ · B = 1 ?
ContohsoalVektor-vektorResiprokal

A’ = , B’ = danC’ =

B x C = i j k.. 1 -1 2 . -1 2 2 = i(2) – j(0) + k = 2 i – 0j + k

A · B x C = (2i + 3j –k ) · (2i – 0 – k) = 4 + 0 -1 = 3

A’ = = = i + k

C x A = i j k.-1 2 2 .2 3 -1 = i (-8) + j (3) – k (-7) = - 8i + 3j – 7k

B’ = = = - i + j - k

A x B = i j k . 2 3 -1 . 1 -1 -2 = i(-7) + j(3) + k(-5) = - 7i + 3j – 5k

C’ = = = - i + j - k

JawabancontohsoalVektor-vektorResiprokal

2. A’ · A = B’ · B = 1

A’ · A = A · A’ = A · = = 1

B’ · B = B · B’ = B · = = 1

JawabancontohsoalVektor2Resiprokal - lanjutan

1. Tentukanhimpunanvektor-vektorresiprokalterhadaphimpunan.vektorP = 2i + 2j + 3k, Q = i + j + 2k danR = i + 2j + 2k ?

2. Tentukanhimpunanvektor-vektorresiprokaldaribeberapavektor.ini, K = (1, 0, 2) , L = (3, 1, 2) danM = (-2, 1 , 3) ?

SoalLatihan/PR Vektor2Resiprokal

Pendahuluan

- Padababiniterdapat 5 sub-babygperludiketahui - Ke-5 sub-babitumerupakandasardaridiferensiasivektor - Lima sub-babygdipelajarimeliputi : .a. TurunanbiasaVektor : turunanpertamadankeduadarivektor. b. Kurva-kurvaRuang : turunanpadasuatulintasantertentu. c. KontinuitasdanDiferensiabilitas : fungsiskalardanvektor. d. RumusDiferensiasi : fungsiskalardanvektorygdiferen- .siabel. e. TurunanParsialVektor : turunanyglebihdarisatuvariabel.

BAB 4. DIFERENSIASI VEKTOR

.R(u+∆u)∆R = R(u+∆u) – R(u)..R(u)

TurunanbiasadarivektorR(u) terhadapskalar u : . = lim = lim.∆u→ 0 ∆u→ 0

1. TurunanBiasaVektor

- BilaR(u) adalahvektorkedudukan r(u) ygmenghubungkantitikasal 0 darisuatusistemkoordinatdansembarangtitik (x,y,z) maka : r(u) = x(u)i + y(u)j + z(u)k dimanavektorr(u) men- definisikanx,ydan z sebagai fungsi2 u. - Bila u berubah, titik terminal r menggambarkansebuahkurvaruangygmempunyaipersamaan : x = x(u), y = y(u) dan z =z(u) maka : = merupakansuatuvektorygsearah∆r.

• Bila : lim = ada, makalimitnyaakanberupavektorygsearahdenganarahgarissinggungpadakurvaruang di (x,y,z), diberikanoleh : = + +
2. Kurva-kurvaRuang

Sebuahfungsiskalarφ(u), dikatakankontinui di u bila.limφ(u+∆u) = φ(u) .∆u →0

• Fungsiφ(u) kontinu di u bilauntuksetiapbilanganpositifЄdapatmemperolehbilanganδ : . | φ(u+∆u) – φ(u) | < Єbila | ∆u | < δ
• SebuahfungsivektorR(u) = R1(u)i + R2(u)j + R3(u)k disebutkontinu di u bilaketigafungsiskalar R1(u), R2(u) dan R3(u) kontinu di u ataujikalim (u+∆u) = R(u) .∆u → 0
• FungsivektorR(u) kontinu di u bilauntuksetiapbilanganpostif.Єkitadapatmenemukanbilanganpositifδ : . | R(u+∆u) – R(u) | < Є , bila | ∆u | < δ
3. KontinuitasdanDiferensiabilitas

Bila A, BdanCadalah fungsi2 vektordarisebuahskalar u ygdiferensiabeldanφsebuahfungsisakalardari u ygdiferensiabelmaka :

• (A + B) = +
• (A · B) = A · + · B
• (A x B) = Ax + x B
• ( φA ) = φ+ A
• (A · B x C) = A· B x + A · x C + · B x C
• (A x (B x C)) = A x (Bx ) + A x x C + · (B xC)
4. Rumus-rumusDiferensiasi

Turunanparsialdari A terhadap x didefinisikan : . = lim. .∆x →0

= lim. .∆y →0

= lim. . ∆z →0

5. TurunanParsialdariVektor

Untuk fungsi2dari duaataulebihvariabel, dipergunakanistilahdiferensiabeldenganpengertianbahwafungsinyamemiliki turunan2parsialpertamaygkontinu. Jaditurunanparsialyglebihtinggi :

= ( ) , = ( ) , = ( ) dan

= ( ) , = ( ) , = ( )

BilaAmemiliki se-kurang2nya turunan2parsialordekeduayg

Kontinumaka : =

Aturan2untukturunanparsialvektor, miripdenganygdipakai da- lam kalkuluselementerdari fungsi2skalar.

.

Bila A dan B adalah fungsi2 dari x, y, z maka :

• (A · B) = A · + · B
• (A xB) = Ax + x B
• (A · B) = (A · B)) = (A· + · B)

= A · + · + + · B

.

1. DiketahuivektorA = t2 i - t j + t2 k, makatentukan : . a. = c. = . b. | | = d. | | =

2. Sebuahpartikelbergeraksepanjangkurvadenganpersamaanpara.meternya ; x = e-t , y = 3 cos 2t dan z = 3 sin 2t, dimana t adalah.waktu. Tentukan : a. kecepatandanpercepatannyapadasebarang.waktu ?

b. besarkecepatandanpercepatanpada t = 0 s

3. Diberikan vektor2P = t i – 2t2 k, Q = t3 i – t k, R = i + t j + t3 k.

Tentukan : a. (P · Q) = c. (2P · 3R) = . b. (R · P = d. 6(Q · R) =

ContohsoalDiferensiasiVektor

4. BilaK = (3x3 y2 – x4)i + (exy – y sin x)j + (x3cos y)k, maka.tentukan : a. = d. = . b. = e. = . c. = f. =

5. Bilaφ(x,y,z) = x2yz2danA = xz i – x2y j + yz2 k, maka.tentukan (φA) padatitik (2, -1, 1) ?

ContohsoalDiferensiasiVektor– lanjutan

A = t2i – t j + t2 k

a. = 2t i – j + 2t k . . b. = 2 i – 0j + 2 k = 2 i + 2 k . . c. | | = = = 3 . . d. | | = = = 2

• r = x i + y j + z k = e-t i + 3 cos 2t j + 3 sin 2t k . a. v = = - e-t – 6 sin 2t + 6 cos 2t ..a = = = e-ti – 12 cos2t j - 12 sin 2t k

b. t = 0 sec.

v = - e-0– 6 sin 00 + 6 cos0t = - i + 6 k .a = e-0i – 12 cos0 j - 12 sin 0 k = i – 12 j .Besarnya : | v | = = = 6,083 . | a | = = = 12,042

JawabancontohsoalDiferensiasiVektor

a. (P · Q) = P · (t3 i – t k) + Q · (t i – 2t2 k)

= (t i – 2t2k) · (3t2 i – k) + (i – 4t k) · (t3 i – t k)

= 3t3 + 2t2 + t3 + 4t2 = 4t3 + 6t2 = 2t2 (3 + 2t)

b. (2P ·3R) = 2P· 3(i + t j + t3k) + 3R . 2(t i – 2t2 k)

= (2t i – 4t2 k) . (0i + 3 j + 9t2 k) + (3t i + 3t j + . (3t3k) . (2i – 8t k) =0 – 36t2 + 6 + 0 – 24t4 =

= - 60t4 + 6 = 6(1 – 10t4)

c. (R ·P) = R . + P . = (i + t j + t3 k) . (i – 4t k) + (t i – . 2t2k) . (3t2 i – k) = (1 + 0 – 4t4) + (3t3 + 2t2) =

. 2t2 + 3t3 – 4t4 + 1

JawabancontohsoalDiferensiasiVektor- lanjutan

3d. 6(Q · R) = 6Q . + 6R .

= (6t3 i – 6t k) . (0 + j + 3t2 k) + (6 i + 6t j + 6t3 k) . . (3t2 i – k) = 0 – 18t3 + 18t2 – 6t3

= 18t2 – 24t3

4. a. = (3x3 y2 – x4)i + (exy – y sin x)j + (x3cosy)k

= (9x2y2 – 4x3)i + (y exy – y cosx) j + (3x2cosy) k

b. = (3x3 y2 – x4)i + (exy – y sin x)j + (x3cosy)k

= (6x3y – x4) i + (x exy – y sinx) j + (3x2(-siny)) k

= 6x3y i + (x exy – sin x) j – (3x2 sin y) k

c. = (9x2y2 – 4x3)i + (y exy – y cosx) j + (3x2 cosy) k

= (18xy2 – 12x2)i + (y2exy + y sin x) j + (6x cos y) k

JawabancontohsoalDiferensiasiVektor– lanjutan

4d. = (6x3 y)i + (xexy– sin x)j + (3x2 sin y)k

= 6x3 i + (x2exy – cos x) j – (3x2cos y) k

4e. = 6x3y i + (x exy – sin x) j – (3x2 sin y) k

= (18 x2y) i + (xyexy – cos x) j – (6x sin y) k

4e. = (9x2y2 – 4x3)i + (y exy – y cosx) j + (3x2 cosy) k

= (18x2y) i + (xyexy – cos x) j – (3x2 sin y) k

5. φA = x2yz2 (xz i – x2y j + yz2k) = x3yz3 i – x4y2z2 j + x2y2z4 k

φA = x3yz3 i – x4y2z2 j + x2y2z4k = 3x3yz2i – 2x4y2z j + . 4x2y2z3 k

φA = 3x3yz2 i – 2x4y2z j + 4x2y2z3k = 9x2yz2 i – 8x3y2z j + . 8xy2z3 k

JawabancontohsoalDiferensiasiVektor – lanjutan

Jadi : φa = 9x2yz2 i – 8x3y2z j + 8xy2z3 k= 18xyz2 i – 24x2y2z j + 8y2z3 k , makapadatitik (2, -1, 1) adalah :

= 18 (2)(-1)(1)2 i – 24 (2)2(-1)2(1) j + 8 (-1)2 (1)2 k

= - 36 I + 96 j + 8 k.

JawabancontohsoalDiferensiasiVektor – lanjutan

Diberikan vektorK = sin a i + cos a j + a k . Tentukan :

a. = c. | =

b.= d. | =

2. Sebuahpartikelbergeraksepanjangkurva x = 2t2, y = t2 – 4t dan z = 3t – 5, dimana t adalahwaktu. Tentukan komponen2kecepatandanpercepatanpada t = 1s dalamarah i – 3j + 2k ?

3. BiladiketahuivektorP = 5t2 i + t j – t3 k , Q = sin t i – cos t j .tentukan : a. (P . Q) b. (P xQ) = ?

4. BiladiberikanD = (2x2y - x4) i + (exy – y sin x) j + (x2cos y) k makatentukan : a. b. c.

d. e. f.

SoalLatihan/PR

Pendahuluan

- Perlumengetahui Operator DiferensialVektor, DEL = 𝛁,yg.didefinisikan :

𝛁 = i + j + k = i + j + k

• Operator vektorinimemiliki sifat2 yg analog dengan vektor2.biasa.
BAB 5. GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL

Bilaφ(x,yz) terdefinisikandandiferensiabelpada tiap2titik (x, .y,z) dalamsuatudaerahtertentudariruang, yaituφmendefinisi-.kansebuahmedanskalardiferensiabel, gradienφ, ditulis𝛁φ.didefinisikan : 𝛁φ = ( i + j + k)φ = i + j + k .perhatikanbahwa𝛁φmendefinisikansebuahmedanvektor. .Komponen𝛁φdalamarahvektorsatuana, diberikanoleh ∆φ.a .dandisebutturunanarahdariφpadaaraha. Secarafisikaini.adalahlajuperubahanφpada (x,y,z) dalamaraha.

BilaV(x,y,z) = V1 i + V2 j + V3 k terdefinisikandandiferensiabeldalamsuatudaerahtertentudariruang, yaituVmendefinisikansebuahmedanvektor, makadivergensiV, ditulis𝛁 · V, didefinisikan

𝛁 ·V = i + j + k) · (V1 i + V2 j + V3k)

= + +

Dan perhatikan pula 𝛁 · V ≠ 𝛁 x Vdan

2. DIVERGENSI

BilaW(x,y,z) adalahsebuahmedanvektordiferensiabel, maka. curl ataurotasidariW, ditulis curl Watau rot W :

𝛁 x W = ( i + j + k) x (W1 i + W2 j + W3 k)

= i j k ..W1 W2 W3

= i + j + k = .W2 W3 W1 W3 W1 W2

= ( -) i + ( - ) j + ( - k

Perhatikan, dalampenguraiandeterminan, operator2 , , harusmendahului W1, W2, W3

3. CURL

• 𝛁(φ + ψ) = 𝛁φ + 𝛁ψataugrad (φ + ψ) = grad φ + grad ψ
• 𝛁 · (A + B) = 𝛁 · A + 𝛁 · Batau div (A + B) = div A + div B
• 𝛁 x (A + B) = 𝛁 x A + 𝛁 x B , curl (A + B) = curl A + curl B
• 𝛁 · (φA) = (𝛁φ) · A + φ(𝛁 · A)
• 𝛁 x (φA) = (𝛁φ) x A + φ(𝛁 xA)
• 𝛁 · (A xB) = B · (𝛁 x A) - A · (𝛁 x B)
• 𝛁 x (A x B) = (B · 𝛁)A - B (𝛁 · A) – (A · 𝛁)B + A(𝛁 · B)
• 𝛁 (A · B) = (B . 𝛁)A + (A · 𝛁)B + B x (𝛁 x A) + A x (𝛁 x B)
• 𝛁 · (𝛁φ) = 𝛁2φ=
4. RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG 𝛁

dimana𝛁2= ++ disebutoperator Laplace

11. 𝛁 · (𝛁 x A) = 0, divergensidari curl A adalahnol

12. 𝛁 x (𝛁 x A) = 𝛁(𝛁 · A) - 𝛁2A

RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG 𝛁- lanjutan

2. Hitunglah 𝛁AbilabesarA= , dimana r = x i + y j + z k ?

3. Tentukan normal satuanterhadappermukaan x2y + 2xz = 4 pada.titik (2, -2, 3) ?

4. Biladiketahui P = 2X2Z i – 3y3z2 j – xy2z2 k , tentuka𝛁 · Ppada.titik (1, 2, 3) ?

5. JikadiberikansebuahvektorK = xz2 i – 2x2y2z j + 2yz4 k , maka.tentukan𝛁 x K padatitik (1, -1, 1) ?

6. Bila a = 2x2y2z2, makatentukanlah𝛁 · 𝛁a = 𝛁 ·(𝛁a) ?

𝛁φ = ( i + j + k) (2x2 – 2y3z2) . = (2x2 – 2y3z2) + (2x2 – 2y3z2) + (2x2 – 2y3z2) . = (4x – 0) i + (0 – 6y2z2 j + (0 – 4y3z) k = . = 4x i – 6y2z2 j – 4y3z k . makapadatitik(1, 2, -1) adalah : 4(1) i – 6(2)2(-1)2 j – 4(2)3(-1)k . = 4 i – 24 j + 32 k

2.A = = , maka𝛁A = 𝛁[(x2 + y2 + z2)-½] .= i (x2 + y2 + z2)-½ + j (x2 + y2 + z2)-½ + k (x2 + y2 + z2)-½.= i [(-½)(2x) (x2 + y2 + z2)-1½] + j [(-½)(2y) (x2 + y2 + z2)-1½] + . k [(-½)(2z) (x2 + y2 + z2)-1½] . = =

3.Permukaandatar x2y + 2xz = 4 padatitik (2, -2, 3)

𝛁(x2y + 2xz) = (2xy + 2z) i + x2 j + 2x k .padatitik (2, -2, 3) adalah : = 2(2)(-2) + 2(3) i + (2)2 j + 2(2) k . = - 2 i + 4 j + 4 k , .maka normal satuanterhadappermukaandataradalah :

= - i + j + k

= - i + j + k

Sedangkan normal satuan yang lain adalah : i - j - k

JawabancontohsoalGradien, Divergensi, dan Curl – lanjutan

4.P = 2x2z i – 3y3z2 j – xy2z2 k padatitik (1, 2, 3)

𝛁 · P = i + j + k) · (2x2z i – 3y3z2 j – xy2z2k) . = (2x2z) - – (3y3z2) - (xy2z2)

= 4xz – 9y2z2 – 2xy2z .padatitik (1, 2, 3) adalah : . = 4(1)(3) – 9(2)2(3) – 2(1)(2)2(3) . = 12 – 324 – 24 . = - 288

JawabancontohsoalGradien, Divergensi, dan Curl – lanjutan

5. K = xz2 i – 2x2y2z j + 2yz4 k padatitik (1, -1, 1)

𝛁 x K = i + j + k) x (xz2i – 2x2y2z j – 2yz4k) . = i j k..xz2 -2x2y2z 2yz4 = (2z4 + 2x2y2) i – 2xz j – 4xy2z k .Padatitik (1, -1, 1) :

2(1)4 + 2(1)2(-1)2 i – 2(1)(1) j – 4(1)(-1)2(1) k = . (2 + 2) i – 2 j – 4 k = . 4 i – 2 j – 4 k

JawabancontohsoalGradien, Divergensi, dan Curl – lanjutan

6. a = 2x2y2z2 , maka𝛁 · (𝛁a) = . = 𝛁 · [i( 2y2x2z2) + j ( 2y2x2z2) + k ( 2y2x2z2)]

= 𝛁 · [(4xy2z2) i + (4x2yz2) j + (4x2y2z) k ]

= ( i + j + k) · [(4xy2z2 )i + (4x2yz2) j + (4x2y2z) k ]

= 4y2z2 + 4x2z2 + 4x2y2

= 4(x2y2 + x2z2 + y2z2)

JawabancontohsoalGradien, Divergensi, dan Curl – lanjutan