ovvero

1. Poligoni regolari - definizione Sono poligoni equilateri ed equiangoli ovvero hanno tutti i lati uguali hanno tutti gli angoli uguali Next

2. 3 lati 4 lati Triangolo Equilatero Quadrato 5 lati 6 lati PENTAgono ESAgono 8 lati 12 lati OTTAgono DODECAgono Poligoni regolari Next

3. Poligoni regolari - proprietà Sono ISCRITTIBLI: è possibile trovare una circonferenza in cui inscriverli, ovvero una circonferenza esterna alla figura e che la ‘tocca’ nei vertici Invio Sono CIRCOSCRITTIBLI: è possibile trovare una circonferenza a cui circoscriverli, ovvero una circonferenza interna alla figura e che la ‘tocca’ sui lati Next

4. Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Per questa lezione concentriamo la nostra attenzione sulla circonferenza circoscritta Next

5. raggio raggio raggio Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Ricordiamo che in un T. Equilatero il centro della circonferenza circoscritta è il circocentro: il punto d’intersezione degli assi dei lati Next

6. raggio Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Ripetendo il procedimento è possibile disegnare la circonferenza attorno ad ogni poligono regolare Next

7. raggio raggio raggio raggio Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Tracciata la circonferenza circoscritta è possibile disegnare all’interno del poligono tanti triangoli quanti sono i lati che formano il poligono stesso Next

8. raggio raggio raggio raggio Poligoni regolari Quali segmenti formano i triangoli? 1 lato del poligono 2 raggi ? Quale tipo di triangoli vengono formati? ISOSCELI, perché hanno 2 lati uguali ? Invio Come sono tra loro i triangoli? Uguali! ? Se il poligono di partenza NON fosse stato REGOLARE, saremmo arrivati agli stessi risultati? NO! perché . . . ? Next

9. raggio raggio raggio raggio Poligoni regolari Riassumendo Un T.Equilatero è formato da 3 T.isosceli uguali tra loro Un Quadrato è formato da 4 T.isosceli uguali tra loro Un Pentagono è formato da 5 T.isosceli uguali tra loro Un Esagono è formato da 6 T.isosceli uguali tra loro Next

10. apotema apotema apotema apotema apotema raggio apotema apotema apotema raggio raggio apotema Poligoni regolari L’altezza di ognuno di questi t.isosceli prende il nome di APOTEMA del POLIGONO (a) Next

11. = lato apotema lato apotema 2 2 apotema apotema apotema apotema apotema perimetro apotema apotema 2p a numero lati L’area di un triangolino numero lati 2   2 Poligoni regolari Area L’area di un triangolino Area poligono Invio = = = = = semiperimetro apotema = = = p a Next

12. a a a a a a Area poligono regolare = semiperimetro apotema Poligoni regolari Area Next

13. Poligoni regolari Numero fisso Si può mostrare coi calcoli o ‘sperimentalmente’ che il rapporto apotema / lato è un valore costante per ogni poligono regolare. Tale rapporto viene detto numero fisso e indicato con la lettera f Il numero fisso è un valore importante perché consente di calcolare la misura dell’apotema nota quella del lato (o viceversa) f= apotema / lato  apotema = f lato Next

14. 3 lati 4 lati T. Equilatero Quadrato 5 lati 6 lati esagono pentagono 8 lati 12 lati dodecagono ottagono Poligoni regolari Numero fisso - tabella f= apotema / lato =0.289 f= apotema / lato =0.500 f= apotema / lato =0.866 f= apotema / lato =0.688 f= apotema / lato =1.207 f= apotema / lato =1.866 Next

15. l r a Poligoni regolari Area - Problema Un quadrato ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area? ? A= l2 = 102 = 100 cm2 Metodo “classico”: Metodo “del poligono regolare”: Invio Essendo la figura un poligono regolare, noto illatoposso calcolarel’apotemautilizzando il relativonumero fisso a =f l= 0.5 10 = 5cm 2p= 4l=4  10 = 40cm Calcolo il perimetro del poligono A=pa= 20 5 = 100cm2 Calcolo l’area del poligono Next

16. l r a Poligoni regolari Area - Problema Un pentagono REGOLARE ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area? ? Metodo “del poligono regolare”: Essendo la figura un poligono regolare, noto illatoposso calcolarel’apotemautilizzando il relativonumero fisso a =f l= 0.688 10 = 6.88cm 2p= 5l=5  10 = 50cm Calcolo il perimetro del poligono A=pa= 25 6.88 = 172cm2 Calcolo l’area del poligono Next

17. Poligoni regolari perimetro eapotema Abbiamo detto che il rapporto apotema / lato è un valore costante per ogni poligono regolare. Allora sicuramente lo sarà anche il rapporto perimetro / apotema che indichiamo con la lettera 2s Quale relazione intercorre tra 2sef? Next

18. 3 lati 4 lati T. Equilatero Quadrato 5 lati 6 lati esagono pentagono 8 lati 12 lati dodecagono ottagono Poligoni regolari da 2sa 2p 2s= 2p/ a =10.380 2s= 2p/ a =8.000 2s= 2p/ a =6.928 2s= 2p/ a =7.267 2s= 2p/ a =6.628 2s= 2p/ a =6.431 Next

19. Poligoni regolari da 2sa 2p Triangolo - 3 lati 2s=10.380 25 lati 2s=6.316 175 lati 2s=6.284 Si osservi ora con molta attenzione come varia il valore di 2s cioè il rapporto tra il perimetro e l’apotema del poligono regolare Quadrato - 4 lati 2s=8.000 50 lati 2s=6.291 200 lati 2s=6.284 Pentagono - 5 lati 2s=7.268 75 lati 2s=6.287 225 lati 2s=6.284 Esagono - 6 lati 2s=6.928 100 lati 2s=6.285 250 lati 2s=6.284 Ottagono - 8 lati 2s=6.628 125lati 2s=6.285 275 lati 2s=6.283 Dodecagono - 12 lati 2s=6.431 150 lati 2s=6.284 300 lati 2s=6.283 Next

20. Poligoni regolari da 2sa 2p Aumentando ilnumero dei latiil valore di 2s diminuisce 2s NON diminuisce fino a zero, ma si assesta attorno al valore 6.2831853… Il valore 6.2831853…, che chiameremo 2p, viene raggiunto quando il poligono è formato da un numero grandissimo (infinito) di lati p = 3.1415927… Next

21. Poligoni regolari dal 2palla Circonferenza ? Come è fatto un poligono con un numero infinito di lati? È un poligono con i lati talmente corti che si possono considerare punti. Il POLIGONO è diventato una CIRCONFERENZA Next

22. raggio raggio raggio raggio a a a a a Linee di riferimento Poligoni regolari dal 2palla Circonferenza ? Cosa è l’apotema di un poligono con un numero infinito di lati? Man mano che il lato si riduce il triangolino, formato dai due raggi e il lato, diventa sempre ‘lungo’ e quindi anche la sua altezza, cioè l’apotema, si allunga. Next

23. raggio apotema Poligoni regolari dal 2palla Circonferenza Aumentando all’infinito il numero dei lati del poligono regolare … … il poligono diventa una circonferenza … l’apotema diventa lunga come il raggio: a = r … il rapporto 2s tra il perimetro e l’apotema diventa uguale a 2p = 6.2831853…: Next

24. Poligoni regolari Circonferenza Abbiamo così determinato la formula per calcolare la misura della lunghezza di una circonferenza circonferenza = 2r Next

25. circonferenza cerchio Poligoni regolari Cerchio Per cerchio si intende la parte di piano racchiusa dalla circonferenza Next

26. Poligoni regolari Cerchio Ricordando che la misura della superficie di un poligono regolare è data dalla formula A = p  a per il cerchio posso scrivere cerchio= r  semicirconferenza = = r 2r / 2 =   r2 Next

27. circonferenza = 2  r cerchio r2 Circonferenza e Cerchio Next