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Relevés de température sur l’ensemble de la période d’étude. 2. METHODE DE TANIGUCHI (adaptée de l ’article Evaluation of Vertical Groundwater Fluxes and Thermal Properties of Aquifers based on Transient Temperature-Depth Profiles, Water Resources Research ; 29: 2021-2026, 1993)

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Relevés de température sur l’ensemble de la période d’étude

2. METHODE DE TANIGUCHI (adaptée de l ’article Evaluation of Vertical Groundwater Fluxes and Thermal Properties of Aquifers based on Transient Temperature-Depth Profiles, Water Resources Research; 29: 2021-2026, 1993)

Sous l’hypothèse d’une forme sinusoïdale pour la température, on s’intéresse seulement ici aux amplitudes des variations thermiques à différentes profondeurs. Le logarithme du rapport d’amplitude à deux profondeurs, divisé par la différence de profondeur, est égal à une fonction du nombre de Péclet caractéristique du milieu (le nombre de Péclet est un moyen d’estimer l’importance relative de la convection et de la conduction, dans lequel la vitesse de Darcy apparaît linéairement). Une inversion analytique de la fonction de Taniguchi a été obtenue récemment, qui permet de remonter directement à la vitesse de l’eau.

Commentaire: la plus simple des méthodes thermiques, qui donne de très bons résultats sur le long terme, mais dont la précision se dégrade quand la vitesse est trop proche de 0. Cette méthode est par ailleurs inadaptée aux cas de forte infiltration, quand l’amplitude thermique ne diminue pas, ou pas assez, avec les profondeurs croissantes. Un prolongement est à l’étude pour remédier à cela.

Inversion thermique hivernale, les couches de surface sont les plus froides

Les principes généraux de la thermodynamique indiquent que les mouvements se font toujours dans le sens d’une descente des potentiels. Pour l’eau libre du sol, le potentiel s’appelle la charge hydraulique, qui regroupe essentiellement l’effet de la gravité et celui de la succion exercée par le milieu, quand il est non-saturé. Sur le graphique ci-dessous, typique de la saison estivale, la charge hydraulique est plus importante en profondeur qu’en surface, donc l’eau se déplace à l’opposé, de bas en haut. Plus le gradient de charge est fort, plus l’eau aura tendance à se déplacer. A contrario, la zone de charge hydraulique constante marque la nappe phréatique.

L’autre paramètre pertinent est celui du potentiel matriciel, positif dans un milieu saturé, et d’autant plus négatif que le milieu est fortement non-saturé, ce qui est le cas ici. La relation de Darcy généralisée permet le calcul de la vitesse de l’eau à partir de ces données, connaissant la perméabilité du milieu, elle même très dépendante du potentiel matriciel, donc du degré de saturation du milieu.

où : H : charge hydraulique

h : potentiel matriciel

K(h) : perméabilité fonction de h

Remarque: K(h) est toujours inférieure ou égale à Ks, la perméabilité à saturation, car si les pores du milieu ne sont pas remplis, l’eau doit effectuer un trajet plus long et plus tortueux pour s’écouler. L’écart entre K(h) et Ks atteint facilement plusieurs ordres de grandeur, comme l’indique le graphique ci-dessous, d’après les travaux de Van Genuchten(A Closed-form Equation for Predicting the Hydraulic Conductivity of Unsaturated Soils; Soil Science Society of America Journal, 44: 892-898, 1980)

Commentaire: par rapport aux méthodes thermiques, qui nécessitent le calage d’un modèle sur une période d’au moins 24 heures, celle-ci fournit une vitesse instantanée. Le défaut de cette qualité est sa relative imprécision (environ 50%), due à la variabilité thermique des mesures de charge hydraulique, et au calage des paramètres décrits dans les modèles de Van Genuchten.

PERMEABILITE RELATIVE (K(h)/Ks)

Épisode de crue du début mai 1998

Dans la partie gauche du graphique, on observe un découplage inhabituel des températures aux trois profondeurs, dû conjointement au temps couvert et à la rapide montée des eaux, qui réduisent l’amplitude des signaux, ainsi que leur caractère sinusoïdal. Dans la partie centrale, l’association d’une période de grand beau et d’une forte descente des eaux produit exactement l’effet contraire: les conditions de calcul sont optimales aux trois profondeurs, mais brèves.

SUIVI DE L’INFILTRATION ET DE L’EXFILTRATION DANS LES SOLS

PAR DES METHODES THERMIQUES ET TENSIOMETRIQUES

Bruno Cheviron, Hocine Bendjoudi, Roger Guérin, Sabine Laurent et Alain Tabbagh

UMR 7619 Sisyphe, Université Paris VI - Pierre et Marie Curie,

case courrier 105, 4 place Jussieu, 75252 Paris cedex 05

RESUME:A partir de la distribution verticale des températures et de la charge hydraulique dans le proche sous-sol, la résolution de problèmes inverses conduit à la vitesse d’écoulement de l’eau, le long de cet axe. Les déplacements de l’eau correspondent à un transfert par convection qui vient s’ajouter au transfert par conduction, et modifier en intensité et en phase la diffusion de la chaleur. Le calcul de vitesse entre deux profondeurs se fonde soit sur le rapport d’amplitude des ondes thermiques associées, soit sur celui de leurs transformées, de Laplace ou de Fourier. L’approche tensiométrique repose, elle, sur les relations charge-écoulement dans les zones non saturée et saturée du sol. Les méthodes thermiques permettent de traiter des événements transitoires très courts, en complément de la tensiométrie. Leur précision optimale s’obtient toutefois pour des cycles plus longs. Ces études ont été menées sur le site de Voyons, dans l’Aube, dans le cadre du programme Seine amont du PNRZH (Programme National de Recherche sur les Zones Humides).

DONNEES ACQUISES ET MODELES RETENUS

METHODES THERMIQUES

Les trois sondes thermiques utilisées ont été disposées dans la zone alternativement saturée et non-saturée du sol, aux profondeurs de 20, 40 et 75 cm. Sur ce terrain, le toit de la nappe phréatique se trouve à 1.20 m à l’étiage, tandis que l’eau affleure en période de crue. Les capteurs ont fourni pendant plus d’un an des relevés de température au pas de temps horaire.

1. DEVELOPPEMENT DE TAYLOR EN LES VARIABLES (,v)

Pour cette méthode, on résout l’équation de la chaleur à l’aide des transformées de Laplace, toujours avec le modèle sinusoïdal de température, ce qui donne une solution réelle T(p,z), comportant les termes  et v, pour chaque profondeur. L’idée est cette fois d’exploiter le rapport entre deux transformées prises à des profondeurs différentes, en le considérant comme une fonction des deux variables  et v. Le développement de Taylor de cette fonction comporte, outre les dérivées partielles relatives aux variables, des termes “d’écart de position” de type (v-v0) et (-0). Les termes v0 et 0 représentent les valeurs de départ, et  le terme final connu, la diffusivité réelle du terrain. La vitesse v est l’inconnue du problème. L’algorithme de calcul simultané de la diffusivité et de la vitesse, qui associe le développement de Taylor à deux variables à des itérations matricielles de la méthode des moindres carrés, va indiquer la correction à apporter aux deux paramètres v0 et 0 fournis en entrée pour obtenir la bonne paire (, v) en sortie.

Commentaire: cette méthode est la plus apte à détecter les événements transitoires, la plus sensible, car ses résultats sont souvent supérieurs en valeur absolue à ceux des autres méthodes thermiques, et également la plus stable, au sens où ses résultats varient continûment quand on modifie petit à petit l’intervalle d’étude.

3. ABAQUE DIFFUSIVITE - VITESSE

La résolution de l’équation de la chaleur par la transformée de Fourier, supposant une forme sinusoïdale pour la température, donne une solution complexe T(w,z) fonction de  et v, pour chaque profondeur. On peut déterminer la diffusivité du sol à partir des différences de phase existant entre deux profondeurs, ou bien à partir des rapports d’amplitude entre ces mêmes profondeurs. Fait remarquable, la valeur de diffusivité PH calculée à partir des différences de phase est très proche de la valeur exacte, connue, tandis que la valeur AMP calculée à partir des rapports d’amplitude se trouve dépendante des écoulements d’eau : les écoulements d’eau modifient la diffusivité apparente. En cas d’infiltration, AMP est supérieure à la valeur exacte. Au contraire, en cas d’exfiltration, AMP devient inférieure à la valeur exacte. Si l’on parvient à connaître la vitesse de Darcy d’une manière indépendante, on peut établir une corrélation entre PH-AMP et v, ou bien PH/AMP et v, au moyen d’abaques.

Commentaire: le calcul des diffusivités réelle et apparente est extrêmement précis, aussi la qualité de cette méthode aura souvent celle de la vitesse comme facteur limitant. Actuellement, la vitesse utilisée est celle de Taniguchi, indiquée pour des calculs sur une période assez longue. L’emploi optimal de cette méthode serait sans doute de caler l’abaque avec le calcul de vitesse reposant sur le développement de Taylor, pour des périodes courtes, et d’espérer un prolongement des courbes, sous certaines conditions, pour des périodes encore plus courtes (autour de 24h, même hors cas de crue, exceptionnellement propices).

A ces faibles profondeurs, les ondes thermiques sont connectées aux variations atmosphériques, dont elles reproduisent les oscillations saisonnières et journalières, modulées par l’influence de facteurs météorologiques plus imprévisibles. Par exemple, les périodes de froid ou de chaleur particulière translatent l’onde porteuse suivant l’axe des températures et les périodes de beau temps augmentent l’amplitude des variations diurnes. Mais, sauf rares exceptions, le signal obtenu reste sinusoïdal aux trois profondeurs, quelle que soit la période d’étude retenue, bien que son atténuation et son déphasage par rapport aux conditions de surface augmentent avec la profondeur.Les méthodes d’analyse thermique supposent justement le calage d’un modèle sinusoïdal sur les données de la période examinée, que l’on prend sous la forme:

où Tz moy : valeur moyenne à la profondeur z

Az : amplitude à la profondeur z

z : déphasage à la profondeur z

Les méthodes utilisées donnent une valeur de la vitesse de l’eau, par inversion, à partir des caractéristiques des oscillations à deux profondeurs, elles-mêmes fonctions du transfert convectif, représenté par le deuxième terme de l’équation de la chaleur :

où  : diffusivité thermique = environ 1.25 m2/s

v : vitesse de Darcy de l’eau

CW : capacité calorifique volumique de l’eau = 4.185 106 J/m3.K

CV : capacité calorifique volumique du milieu solide-fluide = environ 2 106 J/m3.K

Les solutions analytiques de cette équation existent mais la vitesse y figure sous une forme intégrale et implicite, ce qui interdit toute inversion directe. Cependant, l’étude des solutions permet de remarquer que l’infiltration (v > 0) favorise la propagation de la chaleur ou du froid dans le sol, au contraire de l’exfiltration (v < 0) qui l’atténue et la retarde. Le tracé des températures pour l’épisode de crue survenu en mai 1998 illustre ce phénomène de manière assez spectaculaire. Sous l’effet d’une très forte réinfiltration, à la limite de validité de la loi de Darcy (nombre de Reynolds compris entre 5 et 10), l’amplitude des variations de température est temporairement plus importante à 40 cm de profondeur qu’à 20 cm ! Sur quelques heures, la vitesse prend des valeurs maximales d’environ 5.10-5 m.s-1, soit 30 cm/jour, pour ces horizons de sol.

METHODES TENSIOMETRIQUES

La perméabilité à saturation du terrain a été mesurée en temps de crue, entre plusieurs paires de profondeurs, afin de pouvoir obtenir K(h) des relations de Van Genuchten. Les relevés de potentiel matriciel et de charge hydraulique s’effectuent sur le terrain à l’aide de cannes tensiométriques, disposées à des profondeurs recouvrant celles des capteurs thermiques et allant même au-dessous du toit de la nappe à l’étiage. Les comparaisons sont donc possibles entre les méthodes.

CONCLUSION: L’étude des périodes longues, saisonnières ou annuelles, est assez bien maîtrisée, dans la mesure où toutes les méthodes thermiques donnent des résultats proches et assortis d’une bonne fiabilité. Par contre, les épisodes transitoires courts posent problème, spécialement ceux de moins de 72 heures ou ceux pendant lesquels l’évolution temporelle de la température n’est pas vraiment sinusoïdale. Pour ce dernier cas, les programmes de traitement des données incluront bientôt des algorithmes de prolongement mathématique permettant malgré tout le calage d’un modèle thermique. Pour l’étude délicate des régimes transitoires, le meilleur gage de réussite est la confrontation des résultats issus de plusieurs approches indépendantes: développer une abaque diffusivité-vitesse appropriée, contrôler la cohérence des résultats avec des mesures tensiométriques et des sondages électriques, qui constituent également des mesures instantanées, où les mouvements d’eau sont suivis à travers les variations de résistivité qui les caractérisent. L’implantation de nouveaux capteurs thermiques devrait permettre prochainement un recoupement sur au moins cinq points et plus d’un mètre de profondeur entre les différentes méthodes, et ainsi donner une vision spatiale plus continue des mouvements d’eau, dans la zone alternativement saturée et non saturée.