复变函数第 5 讲

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§3 初等函数

1, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个函数f(z)具有实函数中的指数函数ex的三个性质:i) f(z)在复平面内解析;ii) f '(z)=f(z)iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)

前面的例1中已经知道, 函数f(z)=ex(cos y+i sin y)是一个在复平面处处解析的函数, 且有f '(z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex. f(z)称为指数函数.记作 exp z=ex(cos y+isin y). (2.3.1)等价于关系式: |exp z|=ex, Arg(exp z)=y+2kp (2.3.2)

由(2.3.2)中的第一式可知exp z0.跟ex一样, exp z也服从加法定理: exp z1exp z2 = exp(z1+z2) (2.3.3)

事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有

鉴于exp z满足条件iii), 且加法定理也成立, 为了方便, 往往用ez代替exp z. 但是必须注意, 这里的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的符号使用, 因此我们就有ez=ex(cos y+isin y) (2.3.4)特别, 当x=0时, 有eiy=cos y+isin y (2.3.5)

由加法定理, 我们可以推出exp z的周期性, 它的周期性是2kpi, 即ez+2kpi=eze2kpi=ez其中k为任何整数.

2.对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数. 将满足方程ew=z (z0)的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=reiq, 则 eu+iv=reiq,所以 u=ln r, v=q.因此 w=ln|z|+iArg z

由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数倍,记作Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)

Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7)而其余各值可由Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8)表达. 对于每一个固定的k, (2.3.8)式为一单值函数, 称为Ln z的一个分支.特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变数对数函数.

例1求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.[解] 因为Ln 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数), 所以它的主值是ln(-1)=pi.在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的.

因此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 利用幅角的性质不难证明:

对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不连续. 因为若设z=x+iy, 则当x<0时, • 所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点ln z处处连续. 综上所述, z=ew在区域 • -p<v=arg z<p内的反函数w=ln z是单值的, 由反函数求导法则可知:

所以, ln z在除去原点及负实轴的平面内解析. 由(2.3.8)式就可知道, Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析, 并且有相同的导数值.今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.

3. 乘幂ab与幂函数在高等数学中, 如果a为正数, b为实数, 则乘幂ab可表示为ab=eblna, 现在将它推广到复数的情形. 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复数, 定义乘幂ab为ebLna, 即ab=ebLn a (2.3.9)由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kp)是多值的, 因而ab也是多值的. 当b为整数时, 由于ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)] =eb(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna,所以这时ab具有单一的值.

当b=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于 • ab具有q个值, 即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个值. • 除此而外, 一般而论ab具有无穷多个值.

zn在复平面内是单值解析函数, (zn)'=nzn-1.

4. 三角函数和双曲函数根据(2.3.5)我们有eiy=cos y+isin y e-iy=cos y-isin y将这两式相加与相减, 分别得到 • 现将其推广到自变数取复值的情形, 定义当z为实数时, 显然这与(2.3.12)完全一致.

由于ez是以2pi为周期的周期函数, 因此cos z和sin z以2p为周期, 即cos(z+2p)=cos z, sin(z+2p)=sin z.也容易推出cos z是偶函数: cos(-z)=cos z而sin z是奇函数: sin(-z)=-sin z由指数函数的导数公式可以求得(cos z)'=-sin z, (sin z)'=cos z由(2.3.13), 易知eiz=cos z+isin z (2.3.14)普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.

由定义可知三角函数许多公式仍然成立 • 由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, • sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. • 但当z为纯虚数iy时, 我们有

与三角函数密切相关的是双曲函数, 定义 • 分别称为双曲余弦,正弦和正切函数. • chz和shz都是以2pi为周期的函数, chz为偶函数, shz为奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为: • (chz)'=shz, (shz)'=chz (2.3.18) • 不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny (2.3.19)

5. 反三角函数与反双曲函数 反三角函数定义为三角函数的反函数, 设z=cos w,则称w为z的反余弦函数, 记作w=Arccos z.

用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数, 并且重复上述步骤, 可以得到它们的表达式:

反双曲函数定义为双曲函数的反函数. 用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤, 可以得到各反双曲函数的表达式: 它们都是多值函数.

作业第二章习题 第67页开始第13题1),2),3)小题第15题

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