Design and Analysis of Algorithm Divide and Conquer Algorithm

1. Design and Analysis of AlgorithmDivide and Conquer Algorithm Aryo Pinandito, ST, M.MT – PTIIK UniversitasBrawijaya

2. History • Divide and Conquer dulunyaadalahstrategimiliter yang dikenaldengannamadivide utimperes. • Sekarangstrategitersebutmenjadistrategi fundamental di dalamilmukomputerdengannama Divide and Conquer.

3. Definisi • Divide: membagimasalahmenjadibeberapaupa-masalah yang memilikikemiripandenganmasalahsemulanamunberukuranlebihkecil (idealnyaberukuranhampirsama), • Conquer: memecahkan (menyelesaikan) masing-masingupa-masalah (secararekursif), dan • Combine: mengabungkansolusimasing-masingupa-masalahsehinggamembentuksolusimasalahsemula.

4. Definisi (2) • Obyekpermasalahan yang dibagi : • masukan (input) atau instances yang berukuran n seperti: • tabel (larik/array), • matriks, • eksponen, • dll, bergantungpadamasalahnya. • Tiap-tiapupa-masalahmempunyaikarakteristik yang sama (the same type) dengankarakteristikmasalahasal, sehinggametode Divide and Conquer lebih natural jikadiungkapkandalamskemarekursif.

5. Skema Umum Algoritma Divide and Conquer

6. Jika pembagian selalu menghasilkan dua upa-masalah yang berukuran sama:

7. Divide and Conquer Minimum dan Maximum

8. Contoh-contoh masalah • MencariNilai Minimum danMaksimum (Min Maks) • Persoalan: Misalkandiberikantabel A yang berukuran n elemendansudahberisinilai integer. • Carilahnilai minimum dannilaimaksimumsekaligus di dalamtabeltersebut.

9. Penyelesaian dengan Algoritma Brute Force T(n) = (n – 1) + (n – 1) = 2n – 2 = O(n)

10. Penyelesaian dengan Divide and Conquer

11. Penyelesaiandengan Divide and Conquer • Ukurantabelhasilpembagiandapatdibuatcukupkecilsehinggamencari minimum danmaksimumdapatdiselesaikan (SOLVE) secaralebihmudah. • Dalamhalini, ukurankecil yang dipilihadalah 1 elemenatau 2 elemen.

12. ContohAlgoritma • MinMaks(A, n, min, maks) • Algoritma: • Untukkasus n = 1 atau n = 2, SOLVE: Jika n = 1, maka min = maks = A[n] Jika n = 2, makabandingkankeduaelemenuntuk menentukan min danmaks. • Untukkasus n > 2, (a) DIVIDE: Bagiduatabel A menjadiduabagian yang sama, A1 dan A2 (b) CONQUER: MinMaks(A1, n/2, min1, maks1) MInMaks(A2, n/2, min2, maks2) (c) COMBINE: if min1 <min2 then min <- min1 else min <- min2 if maks1 <maks2 then maks <- maks2 else maks <- maks1

13. Review Contoh

14. KompleksitasWaktuAsimptotik

15. Brute Force vs Divide and Conquer • MinMaks1 secara brute force : T(n) = 2n – 2 • MinMaks2 secara divide and conquer: T(n) = 3n/2 – 2 • Perhatikan: 3n/2 – 2 < 2n – 2 , n  2. • Kesimpulan: AlgoritmaMinMakslebihmangkusdenganmenggunakanmetode Divide and Conquer.

16. Divide and Conquer Merge Sort, Insertion Sort, Quick Sort, Selection Sort

17. Sorting denganMetode Divide and Conquer

18. PendekatanpadaAlgoritmaSorting

19. PendekatanpadaAlgoritmaSorting (2)

20. (a) Merge Sort • Algoritma: 1. Untukkasus n = 1, makatabel A sudahterurutdengansendirinya (langkah SOLVE). 2. Untukkasus n > 1, maka (a) DIVIDE: bagitabel A menjadiduabagian, bagiankiridanbagiankanan, masing-masing bagianberukuran n/2 elemen. (b) CONQUER: Secararekursif, terapkan algoritma D-and-C padamasing-masing bagian. (c) MERGE: gabunghasilpengurutankedua bagiansehinggadiperolehtabel A yang terurut.

21. Contoh Merge Sort

23. Merge Sort denganMetode Divide dan Conquer

24. KompleksitasWaktu Merge Sort

25. Kompleksitas

26. (b) Insertion Sort

27. Insertion Sort dengan Divide and Conquer ProsedurMergedapatdigantidenganprosedurpenyisipansebuahelemen padatabel yang sudahterurut (lihatalgoritmaInsertion Sortversiiteratif).

28. Divide, Conquer, and Solve

29. Merge

30. Kompleksitas Insertion Sort

31. (c) Quick Sort • Termasukpadapendekatansulitmembagi, mudahmenggabung (hard split/easy join) • Tabel A dibagi (istilahnya: dipartisi) menjadi A1 dan A2 sedemikiansehinggaelemen-elemen A1 elemen-elemen A2.

32. Quick Sort

33. TeknikPartisi Quick Sort • pilih x  { A[1], A[2], ..., A[n] } sebagai pivot, • pindaitabeldarikirisampaiditemukan A[p]  x • pindaitabeldarikanansampaiditemukan A[q]  x • pertukarkan A[p]  A[q] • ulangi (2), dariposisi p + 1, dan (3), dariposisi q – 1 , sampaikeduapemindaianbertemu di tengahtabel

38. Pseudocode Quick Sort

39. Cara Pemilihan Pivot • Pivot = elemenpertama/elementerakhir/elementengahtabel • Pivot dipilihsecaraacakdarisalahsatuelementabel. • Pivot = elemen median tabel

40. Kompleksitas Algoritma Quicksort: • Kasusterbaik (best case) • Kasusterbaikterjadibila pivot adalahelemen median sedemikiansehinggakeduaupatabelberukuranrelatifsamasetiap kali pempartisian.

41. Recursive Tree Quick Sort: Best Case

42. Kompleksitas Quick Sort: Best Case

43. KompleksitasAlgoritma Quick Sort • Kasusterburuk (worst case) • Kasusiniterjadibilapadasetiappartisi pivot selaluelemenmaksimum (atauelemen minimum) tabel. • Kasusjikatabelsudahterurutmenaik/menurun

44. Recursive Tree Quick Sort: Worst Case

45. Kompleksitas Quick Sort: Worst Case

46. Kompleksitas Quick Sort: Average Case • Kasus rata-rata (average case) • Kasusiniterjadijika pivot dipilihsecaraacakdarielementabel, danpeluangsetiapelemendipilihmenjadi pivot adalahsama. • Tavg(n) = O(n 2log n).

47. (d) Selection Sort

48. Pseudocode Selection Sort

49. Contoh Selection Sort

50. Kompleksitas Selection Sort