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2 . 3.4  平面与平面垂直的性质

2 . 3.4  平面与平面垂直的性质. 1 .两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直,那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面.用数学符号表示为 . 2 .重要结论: (1) 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,必在 .用数学符号表示为 . (2) 如果两个平面互相垂直,第一个平面内一点在第二个平面内的射影一定落在 .. 垂直于交线. α ⊥ β , α ∩ β = b , a ⊂ β , a ⊥ b ⇒ a ⊥ α. 第一个平面内. A ∈ β , α ⊥ β , A ∈ a , a ⊥ α ⇒ a ⊂ β.

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2 . 3.4  平面与平面垂直的性质

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Presentation Transcript


  1. 2.3.4 平面与平面垂直的性质

  2. 1.两个平面垂直的性质定理 • 如果两个平面垂直,那么在一个平面内的直线垂直于另一个平面.用数学符号表示为 • . • 2.重要结论:(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,必在 • .用数学符号表示为 • . • (2)如果两个平面互相垂直,第一个平面内一点在第二个平面内的射影一定落在. 垂直于交线 α⊥β,α∩β=b,a⊂β,a⊥b⇒a⊥α 第一个平面内 A∈β,α⊥β,A∈a,a⊥α⇒a⊂β 两个平面的交线上

  3. 3.(1)△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O,3.(1)△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O, • ①若PA=PB=PC,则O为△ABC的心 • *②若P到△ABC三边距离相等,则O为△ABC的心或心 • ③若PA、PB、PC两两垂直,则O为△ABC的心 • (2)∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O, • ①若∠PCA=∠PCB,则O在. • ②若P到∠BCA两边距离相等, • 则O在. 外 内 旁 垂 ∠BCA的平分线上 ∠BCA的平分线上

  4. 4.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个互不重合的平面,给出下列四个命题,其中真命题是4.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个互不重合的平面,给出下列四个命题,其中真命题是 • () • ①若m⊥α,m⊥β,则α∥β ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β ③若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β ④若m、n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥β • A.①②    B.①③ • C.③④ D.①④

  5. [答案]D • [解析]命题①为真命题,垂直于同一条直线的两个不重合平面必平行. • 命题②为假命题,例如正方体交于同一点的相邻三个面. • 命题③为假命题,例如(如图).

  6. 正四棱锥中,AB⊂面SAB,CD⊂面SCD,AB∥CD. • 但面SAB与面SCD不平行,而是相交. • 命题④为真命题,因为过直线n作平面γ和平面α相交,设交线为a,则a∥n. • ∵m、n为异面直线,m⊂α,n⊂β,∴m、a为相交直线, • ∵m∥β,a∥β,∴α∥β.故选D.

  7. 本节学习重点和难点:面面垂直性质定理的应用.

  8. 两个平面互相垂直并不能保证一个平面内的直线必垂直另一平面,只有在一个平面内,垂直于它们交线的直线才垂直于另一个平面.因此,当两平面垂直时,常添加的辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线,或过一个平面内的一点作另一个平面的垂线.此定理可简化为“面面垂直,则线面垂直”.两个平面互相垂直并不能保证一个平面内的直线必垂直另一平面,只有在一个平面内,垂直于它们交线的直线才垂直于另一个平面.因此,当两平面垂直时,常添加的辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线,或过一个平面内的一点作另一个平面的垂线.此定理可简化为“面面垂直,则线面垂直”.

  9. [例1] 如图平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=4cm,AC、BD分别在平面α和平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3cm,BD=12cm,求线段CD的长.[例1] 如图平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=4cm,AC、BD分别在平面α和平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3cm,BD=12cm,求线段CD的长.

  10. [分析]为求CD的长,由BD⊥l,α⊥β,易知△BCD为Rt△,BD长已知,只要知道BC长即可.由AC⊥l,知△ABC为Rt△可解.[分析]为求CD的长,由BD⊥l,α⊥β,易知△BCD为Rt△,BD长已知,只要知道BC长即可.由AC⊥l,知△ABC为Rt△可解. • [解析]∵AC⊥l,AC=3,AB=4,∴BC=5. • ∵BD⊥l,l=α∩β,α⊥β,BD⊂β,∴BD⊥α,又BC⊂α • ∴BD⊥BC,在Rt△BDC中,DC= =13,∴CD长为13cm.

  11. [点评]求线段CD的长可以通过Rt△BDC,也可以通过Rt△ACD.一般求线段的长度问题,要归到三角形中求解.[点评]求线段CD的长可以通过Rt△BDC,也可以通过Rt△ACD.一般求线段的长度问题,要归到三角形中求解.

  12. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点. • (1)证明:CD⊥AE; • (2)证明:PD⊥平面ABE.

  13. [解析](1)证明:在四棱锥P-ABCD中, • ∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,故PA⊥CD. • ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. • 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.

  14. (2)证明:由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA. • ∵E是PC的中点,∴AE⊥PC. • 由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C, • ∴AE⊥平面PCD. • 而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD. • PA⊥底面ABCD,∴AB⊥PA, • 又AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD. • 又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.

  15. [例2]已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l • 求证:l⊥γ

  16. [解析]证法1:在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A,作PB垂直β与γ的交线于B,则PA⊥α,PB⊥β,∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB,∵PA与PB相交,又PA⊂γ,PB⊂γ,∴l⊥γ.[解析]证法1:在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A,作PB垂直β与γ的交线于B,则PA⊥α,PB⊥β,∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB,∵PA与PB相交,又PA⊂γ,PB⊂γ,∴l⊥γ.

  17. 证法2:在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ,∴m∥n,又n⊂β,∴m∥β,又m⊂α,α∩β=l,∴m∥l,∴l⊥γ.证法2:在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ,∴m∥n,又n⊂β,∴m∥β,又m⊂α,α∩β=l,∴m∥l,∴l⊥γ.

  18. 总结评述:证法一、证法二都是利用“两平面垂直时,在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质,添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键.总结评述:证法一、证法二都是利用“两平面垂直时,在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质,添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键. • 证法三是利用“如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内”这一性质,添加了l′这条辅助线,这是证法三的关键. • 通过此例,应仔细体会两平面垂直时,添加辅助线的方法.

  19. 又在原题条件下,添加条件b∥α,b∥β,求证b⊥γ.在l上任取一点B,过b和B的平面交α于过B的直线a′,交β于过B的直线a″,又在原题条件下,添加条件b∥α,b∥β,求证b⊥γ.在l上任取一点B,过b和B的平面交α于过B的直线a′,交β于过B的直线a″, • ∵b∥α,∴a′∥b,同理b∥a″, • ∵a′和a″同时过B且平行于b. • ∴a′和a″重合于直线l,由l⊥γ可得b⊥γ.

  20. 如下图,已知V是△ABC所在平面外一点,VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC,求证:△ABC是直角三角形.如下图,已知V是△ABC所在平面外一点,VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC,求证:△ABC是直角三角形. • [分析]灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化.

  21. [证明]过B作BD⊥VA于D, • ∵平面VAB⊥平面VAC,∴BD⊥平面VAC, • ∴BD⊥AC,又∵VB⊥平面ABC,∴VB⊥AC, • ∴AC⊥平面VAB,∴AC⊥BA,即△ABC是直角三角形.

  22. [例3]如图,已知SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E是SC的中点,DE⊥SC交AC于D.求二面角E-BD-C的大小.[例3]如图,已知SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E是SC的中点,DE⊥SC交AC于D.求二面角E-BD-C的大小.

  23. ⇒∠EDC为二面角E-BD-C的平面角. • 设SA=a,则SB=BC= a, • ∵BC⊥AB,SA⊥平面ABC,∴BC⊥SB. • ∴SC=2a,∠SCD=30°,∴∠EDC=60°, • 即二面角E-BD-C的大小是60°.

  24. [例4] 直线l∥平面α,在l上任取一点A作AB⊥α,垂足为B,则AB的长为直线l与平面α的距离.长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1=5,AB=12,则直线B1C1与平面A1BCD1的距离等于__________.[例4] 直线l∥平面α,在l上任取一点A作AB⊥α,垂足为B,则AB的长为直线l与平面α的距离.长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1=5,AB=12,则直线B1C1与平面A1BCD1的距离等于__________.

  25. [解析]如图,作B1E⊥A1B,∵A1D1⊥平面ABB1A1,B1E⊂平面ABB1A1,∴A1D1⊥B1E,[解析]如图,作B1E⊥A1B,∵A1D1⊥平面ABB1A1,B1E⊂平面ABB1A1,∴A1D1⊥B1E, • 又A1B∩A1D1=A1,∴B1E⊥平面A1BCD1,∴B1E为直线B1C1到平面A1BCD1的距离,由BB1=5,A1B1=12,∠A1B1B=90°知B1E=

  26. *如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,Q为线段AP的中点,若AB=AP=2,BC=4,则点P到平面BQD的距离为________.*如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,Q为线段AP的中点,若AB=AP=2,BC=4,则点P到平面BQD的距离为________.

  27. [解析]∵Q为线段PA的中点, • ∴P点到平面QBD的距离等于A点到平面QBD的距离.在平面AC内过A作BD的垂线AE交BD于E,连QE, • ∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA, • ∴BD⊥平面QAE. • 在平面QAE内过A作AH⊥QE交QE于H.∵BD⊥AH,∴AH⊥平面BQD. • ∴A点到面BQD的距离为AH.

  28. [例5]已知:平面α⊥平面β,α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a⊥b.求证:a⊥β或b⊥α.[例5]已知:平面α⊥平面β,α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a⊥b.求证:a⊥β或b⊥α.

  29. [证明]若a⊥AB则∵α⊥β,α∩β=AB,∴a⊥β • 若a不垂直于AB,则在直线a上取一点C作CD⊥AB于点D,所以CD⊥β,又b⊂β,∴CD⊥b, • 又b⊥a,CD∩a=c,∴b⊥α

  30. (1)若将上题题干改为:α⊥β,α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a、b都不与AB垂直,求证:a与b不垂直.(1)若将上题题干改为:α⊥β,α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a、b都不与AB垂直,求证:a与b不垂直. • (2)已知平面α⊥平面β,直线a∥α,α∩β=b,a⊥b,试判断直线a与平面β的位置关系.

  31. [解析](1)证明:(反证法)假设a⊥b, • ∵a与AB不垂直,过a上一点P作PH⊥AB于H, • ∵α⊥β,∴PH⊥β,∵b⊂β,∴PH⊥b, • 又a⊥b,a∩PH=P,∴b⊥α.∵AB⊂α, • ∴b⊥AB,这与条件b与AB不垂直矛盾,故a与b不垂直.

  32. (2)解:过a作平面γ∩α=a′,∵a∥α,∴a∥a′,(2)解:过a作平面γ∩α=a′,∵a∥α,∴a∥a′, • 又a⊥b,∴a′⊥b,又α⊥β,∴a′⊥β,∴a⊥β.

  33. [例6] 已知Rt△ABC中,AB=AC=,AD是斜边BC上的高,以AD为折痕,将△ABD折起,使∠BDC为直角.[例6] 已知Rt△ABC中,AB=AC=,AD是斜边BC上的高,以AD为折痕,将△ABD折起,使∠BDC为直角. • (1)求证:平面ABD⊥平面BDC. • (2)求证:∠BAC=60°. • (3)求点A到平面BDC的距离. • (4)求点D到平面ABC的距离.

  34. [分析]抓住等腰Rt△ABC中AD⊥BC,及折叠前后位于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变.则有AD⊥BD,AD⊥CD,故(1)、(2)、(3)问容易求解.[分析]抓住等腰Rt△ABC中AD⊥BC,及折叠前后位于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变.则有AD⊥BD,AD⊥CD,故(1)、(2)、(3)问容易求解. • 对于第(4)问,因为△BDC也是等腰直角三角形.取BC中点E,易得BC⊥平面ADE, • ∴平面ABC⊥平面ADE,交线为AE,于是D点到平面ABC的距离就是D点到直线AE的距离,又△ADE为Rt△,故距离易求.

  35. [解析](1)∵AD⊥BD,AD⊥DC,BD∩DC=D, • ∴AD⊥平面BDC • 又AD⊂平面ABD. • ∴平面ABD⊥平面BDC.

  36. (4)取BC的中点E,∵AB=AC,BD=DC,∴DE⊥BC,AE⊥BC,∴BC⊥平面ADE,(4)取BC的中点E,∵AB=AC,BD=DC,∴DE⊥BC,AE⊥BC,∴BC⊥平面ADE, • ∴平面ABC⊥平面ADE. • 过D作DM⊥AE于M,则DM⊥平面ABC,∴DM的长即为D到平面ABC的距离.

  37. [点评]1°第(4)问也可以用等积转换法解决.VA-BDC=VD-ABC.[点评]1°第(4)问也可以用等积转换法解决.VA-BDC=VD-ABC. • 2°要证直线与平面垂直主要从以下角度考虑. • ①l为α内任一直线,a⊥l⇒a⊥α • ②b⊂α,c⊂α,b∩c=A,a⊥b,a⊥c⇒a⊥α • ③a∥b,b⊥α⇒a⊥α • ④α⊥β,α∩β=b,a⊂β,a⊥b⇒a⊥α • 3°要证平面与平面垂直主要考虑. • ①平面α与β所成的二面角为直二面角⇒α⊥β • ②a⊥β,a⊂α⇒α⊥β

  38. [例7]正三棱锥A-BCD中,∠BAC=30°,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E,F,G,H.[例7]正三棱锥A-BCD中,∠BAC=30°,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E,F,G,H. • (1)判定四边形EFGH的形状,并说明理由; • (2)设P是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC⊥平面EFGH?请给出说明.

  39. [解析](1) • 同理EF∥AD, • ∴HG∥EF,同理EH∥FG, • ∴四边形EFGH是平行四边形, • ∵A-BCD是正三棱锥, • ∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心, • ∴DO⊥BC,又AO⊥BC,∴BC⊥平面AOD, • ∴AD⊥BC,∴HG⊥EH,四边形EFGH是矩形.

  40. (2)作CP⊥AD于P点,连结BP, • ∵AD⊥BC,∴AD⊥面BCP, • ∵HG∥AD,∴HG⊥面BCP, • 又HG⊂面EFGH,∴面BCP⊥面EFGH, • 在Rt△APC中,∠CAP=30°,AC=a,∴AP=

  41. 如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD,若BC边上的点Q满足PQ⊥QD,当存在两个这样的点时,a的取值范围是________.如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD,若BC边上的点Q满足PQ⊥QD,当存在两个这样的点时,a的取值范围是________. • [答案]0.72

  42. [解析]解法1:∵PQ⊥QD,又PA⊥平面ABCD, • ∴AQ⊥QD. • 设BQ=x(0<x<a),则CQ=a-x, • ∴AD2=AQ2+DQ2=AB2+BQ2+CQ2+DC2. • ∴a2=1+x2+(a-x)2+1.∴x2-ax+1=0(※). • 当Δ=a2-4>0时,(※)式有两根,从而满足条件的点有两个,且此时方程的两根

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