2 ． 3.4 平面与平面垂直的性质

1. 2．3.4　平面与平面垂直的性质

3. 1．两个平面垂直的性质定理 • 如果两个平面垂直，那么在一个平面内的直线垂直于另一个平面．用数学符号表示为 • . • 2．重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，必在 • ．用数学符号表示为 • . • (2)如果两个平面互相垂直，第一个平面内一点在第二个平面内的射影一定落在． 垂直于交线 α⊥β，α∩β＝b，a⊂β，a⊥b⇒a⊥α 第一个平面内 A∈β，α⊥β，A∈a，a⊥α⇒a⊂β 两个平面的交线上

4. 3．(1)△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O，3．(1)△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O， • ①若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心 • *②若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的心或心 • ③若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的心 • (2)∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O， • ①若∠PCA＝∠PCB，则O在. • ②若P到∠BCA两边距离相等， • 则O在. 外 内 旁 垂 ∠BCA的平分线上 ∠BCA的平分线上

5. 4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是 • () • ①若m⊥α，m⊥β，则α∥β　②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β　③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β　④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β • A．①②　　　 B．①③ • C．③④ D．①④

6. [答案]D • [解析]命题①为真命题，垂直于同一条直线的两个不重合平面必平行． • 命题②为假命题，例如正方体交于同一点的相邻三个面． • 命题③为假命题，例如(如图)．

7. 正四棱锥中，AB⊂面SAB，CD⊂面SCD，AB∥CD. • 但面SAB与面SCD不平行，而是相交． • 命题④为真命题，因为过直线n作平面γ和平面α相交，设交线为a，则a∥n. • ∵m、n为异面直线，m⊂α，n⊂β，∴m、a为相交直线， • ∵m∥β，a∥β，∴α∥β.故选D.

8. 本节学习重点和难点：面面垂直性质定理的应用．

9. 两个平面互相垂直并不能保证一个平面内的直线必垂直另一平面，只有在一个平面内，垂直于它们交线的直线才垂直于另一个平面．因此，当两平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线，或过一个平面内的一点作另一个平面的垂线．此定理可简化为“面面垂直，则线面垂直”．两个平面互相垂直并不能保证一个平面内的直线必垂直另一平面，只有在一个平面内，垂直于它们交线的直线才垂直于另一个平面．因此，当两平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线，或过一个平面内的一点作另一个平面的垂线．此定理可简化为“面面垂直，则线面垂直”．

11. [例1]　如图平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4cm，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长．[例1]　如图平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4cm，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长．

12. [分析]为求CD的长，由BD⊥l，α⊥β，易知△BCD为Rt△，BD长已知，只要知道BC长即可．由AC⊥l，知△ABC为Rt△可解．[分析]为求CD的长，由BD⊥l，α⊥β，易知△BCD为Rt△，BD长已知，只要知道BC长即可．由AC⊥l，知△ABC为Rt△可解． • [解析]∵AC⊥l，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5. • ∵BD⊥l，l＝α∩β，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α，又BC⊂α • ∴BD⊥BC，在Rt△BDC中，DC＝ ＝13，∴CD长为13cm.

13. [点评]求线段CD的长可以通过Rt△BDC，也可以通过Rt△ACD.一般求线段的长度问题，要归到三角形中求解．[点评]求线段CD的长可以通过Rt△BDC，也可以通过Rt△ACD.一般求线段的长度问题，要归到三角形中求解．

14. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． • (1)证明：CD⊥AE； • (2)证明：PD⊥平面ABE.

15. [解析](1)证明：在四棱锥P－ABCD中， • ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD. • ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC. • 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

16. (2)证明：由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. • ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. • 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， • ∴AE⊥平面PCD. • 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. • PA⊥底面ABCD，∴AB⊥PA， • 又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD. • 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

17. [例2]已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l • 求证：l⊥γ

18. [解析]证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.[解析]证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.

19. 证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l，∴l⊥γ.证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l，∴l⊥γ.

21. 总结评述：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．总结评述：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键． • 证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键． • 通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．

22. 又在原题条件下，添加条件b∥α，b∥β，求证b⊥γ.在l上任取一点B，过b和B的平面交α于过B的直线a′，交β于过B的直线a″，又在原题条件下，添加条件b∥α，b∥β，求证b⊥γ.在l上任取一点B，过b和B的平面交α于过B的直线a′，交β于过B的直线a″， • ∵b∥α，∴a′∥b，同理b∥a″， • ∵a′和a″同时过B且平行于b. • ∴a′和a″重合于直线l，由l⊥γ可得b⊥γ.

23. 如下图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC，求证：△ABC是直角三角形．如下图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC，求证：△ABC是直角三角形． • [分析]灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化．

24. [证明]过B作BD⊥VA于D， • ∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC， • ∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC， • ∴AC⊥平面VAB，∴AC⊥BA，即△ABC是直角三角形.

25. [例3]如图，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E－BD－C的大小．[例3]如图，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E－BD－C的大小．

27. ⇒∠EDC为二面角E－BD－C的平面角． • 设SA＝a，则SB＝BC＝ a， • ∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC，∴BC⊥SB. • ∴SC＝2a，∠SCD＝30°，∴∠EDC＝60°， • 即二面角E－BD－C的大小是60°.

28. [例4]　直线l∥平面α，在l上任取一点A作AB⊥α，垂足为B，则AB的长为直线l与平面α的距离．长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝5，AB＝12，则直线B1C1与平面A1BCD1的距离等于__________．[例4]　直线l∥平面α，在l上任取一点A作AB⊥α，垂足为B，则AB的长为直线l与平面α的距离．长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝5，AB＝12，则直线B1C1与平面A1BCD1的距离等于__________．

29. [解析]如图，作B1E⊥A1B，∵A1D1⊥平面ABB1A1，B1E⊂平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E，[解析]如图，作B1E⊥A1B，∵A1D1⊥平面ABB1A1，B1E⊂平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E， • 又A1B∩A1D1＝A1，∴B1E⊥平面A1BCD1，∴B1E为直线B1C1到平面A1BCD1的距离，由BB1＝5，A1B1＝12，∠A1B1B＝90°知B1E＝

30. *如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，若AB＝AP＝2，BC＝4，则点P到平面BQD的距离为________．*如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，若AB＝AP＝2，BC＝4，则点P到平面BQD的距离为________．

31. [解析]∵Q为线段PA的中点， • ∴P点到平面QBD的距离等于A点到平面QBD的距离．在平面AC内过A作BD的垂线AE交BD于E，连QE， • ∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA， • ∴BD⊥平面QAE. • 在平面QAE内过A作AH⊥QE交QE于H.∵BD⊥AH，∴AH⊥平面BQD. • ∴A点到面BQD的距离为AH.

34. [例5]已知：平面α⊥平面β，α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a⊥b.求证：a⊥β或b⊥α.[例5]已知：平面α⊥平面β，α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a⊥b.求证：a⊥β或b⊥α.

35. [证明]若a⊥AB则∵α⊥β，α∩β＝AB，∴a⊥β • 若a不垂直于AB，则在直线a上取一点C作CD⊥AB于点D，所以CD⊥β，又b⊂β，∴CD⊥b， • 又b⊥a，CD∩a＝c，∴b⊥α

36. (1)若将上题题干改为：α⊥β，α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a、b都不与AB垂直，求证：a与b不垂直．(1)若将上题题干改为：α⊥β，α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a、b都不与AB垂直，求证：a与b不垂直． • (2)已知平面α⊥平面β，直线a∥α，α∩β＝b，a⊥b，试判断直线a与平面β的位置关系．

37. [解析](1)证明：(反证法)假设a⊥b， • ∵a与AB不垂直，过a上一点P作PH⊥AB于H， • ∵α⊥β，∴PH⊥β，∵b⊂β，∴PH⊥b， • 又a⊥b，a∩PH＝P，∴b⊥α.∵AB⊂α， • ∴b⊥AB，这与条件b与AB不垂直矛盾，故a与b不垂直．

38. (2)解：过a作平面γ∩α＝a′，∵a∥α，∴a∥a′，(2)解：过a作平面γ∩α＝a′，∵a∥α，∴a∥a′， • 又a⊥b，∴a′⊥b，又α⊥β，∴a′⊥β，∴a⊥β.

39. [例6]　已知Rt△ABC中，AB＝AC＝，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕，将△ABD折起，使∠BDC为直角．[例6]　已知Rt△ABC中，AB＝AC＝，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕，将△ABD折起，使∠BDC为直角． • (1)求证：平面ABD⊥平面BDC. • (2)求证：∠BAC＝60°. • (3)求点A到平面BDC的距离． • (4)求点D到平面ABC的距离．

40. [分析]抓住等腰Rt△ABC中AD⊥BC，及折叠前后位于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变．则有AD⊥BD，AD⊥CD，故(1)、(2)、(3)问容易求解．[分析]抓住等腰Rt△ABC中AD⊥BC，及折叠前后位于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变．则有AD⊥BD，AD⊥CD，故(1)、(2)、(3)问容易求解． • 对于第(4)问，因为△BDC也是等腰直角三角形．取BC中点E，易得BC⊥平面ADE， • ∴平面ABC⊥平面ADE，交线为AE，于是D点到平面ABC的距离就是D点到直线AE的距离，又△ADE为Rt△，故距离易求．

41. [解析](1)∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D， • ∴AD⊥平面BDC • 又AD⊂平面ABD. • ∴平面ABD⊥平面BDC.

43. (4)取BC的中点E，∵AB＝AC，BD＝DC，∴DE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE，(4)取BC的中点E，∵AB＝AC，BD＝DC，∴DE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE， • ∴平面ABC⊥平面ADE. • 过D作DM⊥AE于M，则DM⊥平面ABC，∴DM的长即为D到平面ABC的距离．

44. [点评]1°第(4)问也可以用等积转换法解决．VA－BDC＝VD－ABC.[点评]1°第(4)问也可以用等积转换法解决．VA－BDC＝VD－ABC. • 2°要证直线与平面垂直主要从以下角度考虑． • ①l为α内任一直线，a⊥l⇒a⊥α • ②b⊂α，c⊂α，b∩c＝A，a⊥b，a⊥c⇒a⊥α • ③a∥b，b⊥α⇒a⊥α • ④α⊥β，α∩β＝b，a⊂β，a⊥b⇒a⊥α • 3°要证平面与平面垂直主要考虑． • ①平面α与β所成的二面角为直二面角⇒α⊥β • ②a⊥β，a⊂α⇒α⊥β

45. [例7]正三棱锥A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E，F，G，H.[例7]正三棱锥A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E，F，G，H. • (1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由； • (2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请给出说明．

46. [解析](1) • 同理EF∥AD， • ∴HG∥EF，同理EH∥FG， • ∴四边形EFGH是平行四边形， • ∵A－BCD是正三棱锥， • ∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心， • ∴DO⊥BC，又AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD， • ∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形．

47. (2)作CP⊥AD于P点，连结BP， • ∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP， • ∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP， • 又HG⊂面EFGH，∴面BCP⊥面EFGH， • 在Rt△APC中，∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP＝

48. 如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面ABCD，若BC边上的点Q满足PQ⊥QD，当存在两个这样的点时，a的取值范围是________．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面ABCD，若BC边上的点Q满足PQ⊥QD，当存在两个这样的点时，a的取值范围是________． • [答案]0.72

49. [解析]解法1：∵PQ⊥QD，又PA⊥平面ABCD， • ∴AQ⊥QD. • 设BQ＝x(0<x<a)，则CQ＝a－x， • ∴AD2＝AQ2＋DQ2＝AB2＋BQ2＋CQ2＋DC2. • ∴a2＝1＋x2＋(a－x)2＋1.∴x2－ax＋1＝0(※)． • 当Δ＝a2－4>0时，(※)式有两根，从而满足条件的点有两个，且此时方程的两根