第４課　輻射の方程式 (Equation of Radiative Transfer)

第４課　輻射の方程式(Equation of Radiative Transfer) ２００５年１１月１４日授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html 今回のキーワード吸収断面積(Absorption Cross Section)σ 光学的深さ(Optical Depth)τ 源泉関数(Source Function)S 輻射の方程式(Equation of Radiative Transfer)

ｄｘ σ σ S σ σ S σ σ σ ４．1．吸収断面積　σ σ：粒子断面積　　ｎ：粒子数密度ｄｘＩ（ｘ）＋ｄＩＩ（ｘ） σ ？ｄI＝－Iσｎｄｘ　＝－I・ｄτ 正面（面積Ｓ）から見ると総断面積　Σ Σ＝σｎSｄｘ被覆率　C C=Σ/S＝σｎｄｘ

光学的深さ（ｏｐｔｉｃａｌ　ｄｅｐｔｈ）τ光学的深さ（ｏｐｔｉｃａｌ　ｄｅｐｔｈ）τ 　前頁ではｄｘを十分に小さく取り、Σ/S＝ｄτ＜＜１の場合を考えた。この場合粒子同士の重なりが無視できるので被覆率C=dτが成立する。しかしｄｘが大きくなると、粒子が重なって見えるケースが現れてくる。例えば、Σ＝ｎσｄｘ＝S（ｄτ＝１）の場合、粒子の重なり合いが無ければSを正面から見たときに丁度完全に粒子断面積で覆われて光は全て吸収される。しかし、重なりがランダムに起こるので隙間が残り、通過する光がある。つまり、被覆の効率が下がるので、C<ｄτとなってくる。問題は単位面積当たり総吸収断面積（＝光学的深さ）τ＝ｎσｘと被覆率Cの関係である。 τ＜＜１ τ≧１横から　　　　　正面から横から　　　　　正面から

光学的深さ τ と被覆率 C τ＝σ・ｎ・ｘ＜＜１の場合、τ＝C　　　この時、隙間の割合　T＝１－C=1-τ τが大きくなった場合、上の図のようにτをN枚のスライスに分けて、個々のスライスの光学的深さ（τ/N)＜＜１とする。スライスの隙間率　TN＝１－（τ/N)　であるから、N枚重ねたスライスの隙間率は T=（TN）N＝[1-(τ/N)]N　である。スライスをどんどん薄くし、その分スライスの数をふやすと、

こうして、光学的深さτと透過率T、被覆率Cの関係は、こうして、光学的深さτと透過率T、被覆率Cの関係は、 T=exp（－τ）、　　　C=１－T＝１－exp（－τ）　とわかった。 τ＜＜１のときは、C=１－（１－τ）＝τで最初の結果が確認される。先に上げたτ＝１、粒子の重なりが無ければ完全被覆になる、場合には T=１/e であることも分かる。　　ｄｘ微分方程式による考え方授業の最初に出てきた図に戻ると、ｄI=-Idτであるから、 I I－Iｄτ 右上の解に出てくる eーτが最初の導出にあったTにあたる。ここまでは途中の粒子は何の光も放出せず、もっぱら光を吸収するだけと仮定していた。次に、粒子が吸収と同時に自身で光を放出する場合を扱う。

第１課の復習： ４πεｄＶ＝体積ｄＶからの輻射エネルギー発生率　　　　　　（ε＝体積輻射係数）ｄΩ ｄｓ＝Ｘ２ｄΩ ｄω ｄＳＸｄＸｄＳから視線方向Ｘの地点での、体積輻射係数をεとする。ｄＳから見て、ｄΩに含まれる体積ｄＶ＝ｄｓｄＸ＝Ｘ２ｄΩｄＸ内の各点からｄＳを見込む角は　ｄω＝ｄＳ/Ｘ２したがって、ｄＶからｄＳを通ってｄΩに放出されるエネルギー率は、　　（４πεｄＶ）（ｄω/４π）＝（４πεＸ２ｄΩｄＸ）（ｄＳ/ ４πＸ２）＝εｄＸｄＳｄΩ。この式を見ると、ｄX部分からのIへの寄与　ｄI＝εｄX　であることが分かる。したがって、２）の場合は　　I=∫ｄI＝∫εｄｘ

吸収：　ｄＩ＝－ＩσｄＮ＝－Ｉσｎ ｄｘ＝－Ｉκｄｘ＝－Iｄτ放射：　ｄＩ＝ εｄｘＩ（ｘ＋ｄｘ）吸収と放射の両方を合わせて、ｄI=-Iκdｘ＋εｄｘ dI(x)/dx= - Iκ+ε dI(x)/κdx = - I+ε/κ Ｉ（ｘ） κdx＝ dττ ＝ Optical Depth (光学的深さ) ε/κ＝Ｓ　　　　　Ｓ＝Source Function(源泉関数) 　で、τとＳを定義すると、輻射の基礎方程式 Equation of radiative transfer 上式では、簡単のため表示方式を指定していない。実際は周波数表示、波長表示、総エネルギー表示の式を一括して書いてあるので注意がいる。

具体的には下の３式をまとめて書いたのが前頁の式である。具体的には下の３式をまとめて書いたのが前頁の式である。最初の総輻射強度に対する式で、τをどう定義するかは後で議論する。吸収係数と見通し距離大体τλ＝１までを見通せると考えると、κλ大の波長で浅い場所からの光を、 κλ小では深い場所からの光が見える。Ｘ κ(λ) τ＝２ τ＝１ τ＝０ λ２ λ１ λ１ λ２ λ λ 観測者

４．２．Source Function(源泉関数) ： S 源泉関数Ｓはどう表せるのか？　　０局所熱平衡の仮定：　各点での吸収係数κや放射係数εが温度Ｔと密度ρ （ＬＴＥ）　　　　　で決定される。 ε(x)＝ εν (ρ,T)、κ＝ κν (ρ,T) すると、　　　　　　Ｓν (τν) =εν (τν) /κν (τν) ＝Ｓν (ρ,T) 1 Ｔ＝Ｔ（ｘ）　：　（Ｔが場所によって変わる） Ⅰはｄｘの間に、ΔＩ＝－[Iν(x)－Ｓν (ρ,T)] dτνの変化を受ける。 I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) dx＋ε(ρ,T) ｄｘ　　　＝ I(x) －[I(x)－Ｓ (ρ,T)] dτ I(x) (ρ,T) 他のところでは温度は必ずしもＴではない。

I(x)=Ｂ(T,ν) I(x+dx)=Ｂ(T,ν)－[Ｂ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)]dτλ 2 その他の点でも温度が一様にＴになった状況を考えてみる。すると、 Ⅰν (ｘ)はどこでも、Ⅰν ＝Ｂ(T,ν) Ｓν (ｘ)は前と同じ、Ｓν＝Ｓν (ρ,T) I (x)＝I (x+dx)=Ｂ(T,ν) なのでＢ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)＝０つまり熱平衡状態ではＳν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν) ところが、Ｓν (ρ,T) は系全体が熱平衡かどうかには関係なく、そこがＬＴＥであればそこの(ρ,T) から決まるので、一般に　Ｓν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν)　が成立する。あか dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=Ｂλ[Ｔ(τλ)] ：　LTEの輻射の方程式

４．３．簡単な解 （i） ελ（ｘ）＝０：途中の物質がとても冷たい。ｘ＝０に光源Iλ０がある。光源吸収体 Iλ (x=0) Iλ(x) ｘｘ＝０ ελ＝０　つまり、Sλ＝０なので、輻射の方程式は下のように書ける。または

入射光 吸収体出射光 κ ５ τ ０Ｉ / Ｉo 0 τ

下のグラフは、1995 ApJ 450, 74-89 Forster, Rich and McCarthy 　　による、　　　　活動銀河　Ｍｒｋ２３１　のスペクトルである。この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続（滑らかな）スペクトルが銀河内星間ガスにより吸収を受けている。Ｍｒｋ　２３１活動核連続光１星間ガス吸収を受けた光０.５波長５９８０Ａ（＝０．５９８μｍ）の吸収線はＭｒｋ２３１星間ガス中のＮａ原子によるもので、Ｄ線と呼ばれる。０５９８０Ａ５９７０Ａ５９９０Ａ λ 吸収線の深さから　Ｍａｒ２３１銀河内のＮａ原子のコラム密度Nを求めよう。吸収の強さ＝の関係が使えそうである

そのためには、D線中央部でのNa原子吸収断面積σが欲しい。そのためには、D線中央部でのNa原子吸収断面積σが欲しい。Ｄ線中央の吸収断面積はσ＝(２.２×１０－２３/D ) cm2で与えられる。　ここにDは吸収線の幅をA（オングストローム）で表した値である。グラフから読み取ると　Ｄ≒１．８Ａである。σ＝１．２２×１０－２３cm2である。銀河ではDは星間ガスの運動によるNa原子の視線速度のばらつきを表わす。実験室ではDはNaガスの温度に対応し、　Ｄ＝１．１×１０－３ √Ｔ　（Ａ）　である。　グラフから読み取ると　Ｄ≒１．８Ａである。ガス温度と考えるとＴ＝１．６４×１０６Kとなるが、星間ナトリウムがそんなに高い温度で中性原子でいるわけはない。ガス運動速度のばらつきVと考えると、V/c=1.8A/5980A, V=90km/sec となる。吸収線中央では　( Ｉ / Ｉｏ ) = eｘｐ（ーτ）＝０．５　　τ＝０．７Ｎａ原子のコラム密度を　Ｎ　（ｃｍ－２）　とすると、　τ＝Ｎσ　であった。したがって、Ｎ＝０．７/ （１．２２×１０－２３）＝５．８×１０２２/ｃｍ２　　この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたＮａコラム密度とファクター２程度しか違わない。

簡単な解（ii） I(x=0) = 0 （天体の向こう側からは光が来ない。Sλ(τλ)＝一定） I=0 I(x,λ) S(τλ)＝一定ｘ x=0 この式の解は、上の仮定のように＝一定の場合は、

右のグラフから分かるように、 ＬＴＥが成立 [つまりS(τλ)=Bλ(T) ] の場合には上の式のSをBに置き換えて０　　　　　１　　　　　　２　　　　　　３

輝度温度（brightness temperature） Tb ：　Ｔｂの定義 Ⅰ（ν）＝Ｂ（Ｔｂ， ν ）　例えば、 Tｃ=100Kの星間雲を1.42GHｚ（λ＝21cｍ）で観測する場合、 x=hν/kTc ＝1.44 / 210,000 / 0.0１=0.0007<<1なので Reyleigh-Jeans 近似が成立し、光学的深さがτ＜＜１のこの星間雲を観測して、輻射強度I （ν）を得た。すると、光学的に薄くかつレーリージーンズ近似が適用されるので、この輻射強度Iνをレーリー近似を仮定して輝度温度Tbを使って表すと、となるので、Ｔb=τνTc

簡単な解（iii）　I(x=0) =Io(λ) 光源と途中の吸収・輻射帯の両方 Sλ (x)＝Bλ(T) Io(λ) I(λ) 光源途中の吸収・放射帯　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　簡単な I(x,λ) = Io(λ) exp ( －∫κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [－τλ ]　　　解(i) I(x,λ) =∫S(t) exp{－ (τλ－t)} dt 解(ii) をあわせて、 I (λ) = Io(λ) exp[－τ(x,λ)]＋∫S(τ1λ)exp{－ (τλ－τ1λ)} dτ1λ = Io(λ) exp[－τλ] + Bλ(T)[1－exp(－τλ)] τλ ＜＜１の場合には、Ｉ(λ) ＝Io(λ)（１－τλ）+ Bλ(T)τλ 　　　＝ Io(λ) + [Bλ(T) － Io(λ) ]τλ

例：　ＣａＩＩのＫ線の中心部に現れる彩層(chromosphere)輝線例：　ＣａＩＩのＫ線の中心部に現れる彩層(chromosphere)輝線 Tchrom（高温） Teff スペクトル恒星大気彩層 Teff 6,400 Teff 30,000 6,250 9,800 7,300 5,950

４．４．線形大気 全ての物理量ＡがＸ軸に垂直な平面内で一定と仮定する。　Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ａ（Ｘ）　（１）　ーＸ軸方向（上向き）の輻射強度Ｉに対する方程式は、ｄＩ/ｄｘ＝κＩ－ε 　（２）　Ｘ軸に角度θを成す直線(μ＝cosθ)に沿って、輻射方程式を考える。 Iλ (μ,τλ=0) τλ＝０ＹＺｔ θ τλ Ｘ Iλ (μ,τλ) 直線に沿っての長さをｔとすると、ｄＩ/ｄｔ＝ κＩ－εｄｌとなる。ｄｔとＸ軸に沿っての深さｄＸとの関係は、ｄt＝ｄｘ／μ なので、書き直して μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x)

ｔ＝０ μ>0 τ μ<0 ｔ形式解 μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x)　：以下Ｉλ 、κλ等をＩ、κと省略する　ｄτ＝κｄＸ　とおいて、 μdI / dτ＝I－S dτは光線に沿っての光学的深さでなく、Ｘ軸に沿っての光学的深さ、に注意。光学的深さ＝τの点で、Ｘ軸に対し角度θの輻射 I(τ,μ) は下のように与えられる。 μ>0：I(τ,μ)=∫∞τS(t)exp[－(t－τ)/μ]dt/μ =eτ/μ∫∞τS(t,λ)e－t/μdt/μ μ<0：I(τ,μ)= －∫τ0S(t,λ)exp[ (τ－t)/μ]dt/μ = －eτ/μ∫τ0 S(t,λ) e－t/μdt /μ =∫τ0 S(t,λ) e－(τ－t) / (－μ) dt / (－μ)

τo 表面からの輻射強度表面から角度θで出る輻射Ｉの解は下のように与えられる。 I(τ=0 、μ) = (1/μ)∫∞0 S(τ) exp(－τ/μ) dτ 上式を見るとＳをSource Function と呼ぶことが納得される。 S(τλ)＝Ｓ＝一定（０<τ<τo）のスラブ表面でのＩ(τ=0 , μ)を計算すると、 I(τ=0 , μ) =(1/μ)∫τo0S exp( -τ/μ) dτ 　　　　　　　＝　S[1－exp(－τo /μ) ] θ I(τ=0 , μ) S(τ）

線形解のフラックス S(τ)= a + bτ I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt 　　　　　　＝(1/μ)∫∞0(ａ＋ｂt)exp( ‐t/μ) dt 　＝ (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt] ＝ a+ bμ= S(τ=μ)　　　　（μ＞０） I(τ=0 ,μ<0) = 0 （μ＜０） θ 下図で光線に沿ったτ＝１に注意 τ＝０ τ＝μ＝ｃｏｓθ τ＝１

　　Ｆλ＝∫μIλ(μ,τ=0)ｄΩ＝ 2π∫１0μ( aλ+ bλμ)dμ=２π(aλ/2 +bλ/3) Source Function Sλ (τ)=aλ+bλτ　だったから、Ｆλ＝π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τ=2/3)　である。　温度Ｔの黒体表面からのフラックスがπＢλ(T),ここにＢλ(Ｔ)は輻射強度、　だったことを考えると、線形大気では、τλ＝２/３の深さの所を見て　いると言える。Ｉ（τ＝０）ａ０ τλ＝０ 1/３ τλ＝μ＝ｃｏｓθ S(τ＝２/３) ２/３１ S τλ＝１ａ＋ｂａ＋ｂμ

問題４　２００５年１１月１４日　　　　　　　　提出　４Aまたは４B １１月２１日　　　　　　　　４A　温度T=３０K、波長λ＝１００μｍでの光学的深さτ１００＝１の星間雲がある。　　　星間雲物質の吸収係数はκ（λ）＝κ（１００μｍ）・（１００μｍ/λ）２で表される。　　　この星間雲のλ＝１ｍｍと１ｃｍにおける輝度温度Tb（１ｍｍ）、Tb（１ｃｍ）を　　　求めよ。４B　太陽の光度はLo=４×１０２６W、半径Ro=７×１０８ｍである。太陽の周り　　　半径Rｐｃの空間に太陽と同じ半径と明るさを持つ星がｎ＝１０－２星/ｐｃ３の　　　数密度で一様に分布しているとする。　　　これらの星による星明りの総輻射強度I（W/ｍ２/Steradian)は地上ではいく　　　らになるか？星間物質、地球大気による吸収は考えない。　　　また、結果を縦軸logI, 横軸logRのグラフで表せ。 R∞のとき、星明りの地球表面でのフラックスが太陽表面のそれと同じに　　　なることを示し、その物理的な理由を考えよ。

第４課　輻射の方程式 (Equation of Radiative Transfer)