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2B_Ch11( 1 ). A. B. C. D. 一些基本名詞. 正弦. 餘弦. 正切. 2B_Ch11( 2 ). 11.1 三角比簡介. 目錄. A. B. 利用三角比解答平面圖形問題. 利用三角比解答日常應用問題. 2B_Ch11( 3 ). 11.2 三角比的應用. 目錄. 11.1 三角比簡介. 2B_Ch11( 4 ). 一些基本的名詞. A). 1. 在 直角三角形中,一個銳角的大小與它各邊長度的比有關,這些比稱為 三角比 。在數學的範疇裏,專門研究及應用三角比的學問稱為 三角學 。. 目錄.

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Presentation Transcript
slide2

A

B

C

D

一些基本名詞

正弦

餘弦

正切

2B_Ch11(2)

11.1三角比簡介

目錄

slide3

A

B

利用三角比解答平面圖形問題

利用三角比解答日常應用問題

2B_Ch11(3)

11.2三角比的應用

目錄

slide4

11.1三角比簡介

2B_Ch11(4)

一些基本的名詞

A)

1. 在直角三角形中,一個銳角的大小與它各邊長度的比有關,這些比稱為三角比。在數學的範疇裏,專門研究及應用三角比的學問稱為三角學。

目錄

slide5

2. 對於一個直角三角形 XYZ,設 ∠YXZ =  ,則

11.1三角比簡介

2B_Ch11(5)

  • 例題演示

一些基本的名詞

A)

i. 最長的邊 XY 稱為三角形的斜邊;

ii. 角所對的邊 YZ 稱為 角的對邊;

iii. XZ 與  角相鄰而又不是斜邊,稱為  角的鄰邊。

目錄

  • 目錄 11.1
slide6

11.1三角比簡介

2B_Ch11(6)

在附圖所示的直角三角形 PQR 中,PR 是斜邊;PQ 是 角的對邊;QR 是 角的鄰邊。

  • 重點理解 11.1.1

目錄

slide7

對邊

斜邊

sin =

11.1三角比簡介

2B_Ch11(7)

  • 例題演示

正弦

B)

‧ 銳角 的正弦,記作 sin。

目錄

slide8

11.1三角比簡介

2B_Ch11(8)

  • 例題演示

正弦

B)

1. 我們可先將計算機定在度的模式,然後便可直接利用計算機求 sin(或 sin)。

2. sin的值在 0 和 1 之間。

3. 角越大,sin的值也越大。

4. 一般來說,

i. k sin sin (k )

ii. sin + sin sin ( + )

iii. sin – sin sin ( – )

目錄

slide9

11.1三角比簡介

2B_Ch11(9)

  • 例題演示

正弦

B)

‧我們將計算機定在度的模式後,便可根據已知的正弦值 (sin) 求與它對應的角 ( )。

目錄

slide10

11.1三角比簡介

2B_Ch11(10)

  • 例題演示

正弦

B)

‧利用正弦的知識,我們可以求直角三角形中的未知角或未知邊。

目錄

  • 目錄 11.1
slide11

(a) sin =

(b) sin =

對邊 (YZ)

斜邊 (XY)

對邊 (QR)

斜邊(PQ)

=

=

=

=

11.1三角比簡介

2B_Ch11(11)

(a) 求下圖中的 sin。 (b) 求下圖中的 sin。

目錄

slide12

sin =

sin =

=

=

對邊 (YZ)

斜邊 (XZ)

對邊 (XY)

斜邊 (XZ)

習題目標

  • 已知直角三角形的對邊及斜邊,求正弦的值。

11.1三角比簡介

2B_Ch11(12)

參看附圖,求 sin及 sin 的值。(答案須準確至三位小數。)

= 0.923 (準確至三位小數)

= 0.385 (準確至三位小數)

  • 重點理解 11.1.2

目錄

slide13

sin

按鍵次序

0.5

答案

EXE

11.1三角比簡介

2B_Ch11(13)

求 sin30°的值。

30

sin30° =

0.5

目錄

slide14

sin

按鍵次序

0.7749…

答案

EXE

11.1三角比簡介

2B_Ch11(14)

求 sin50.8°的值。

(答案須準確至三位小數。)

50.8

sin50.8° =

0.775 (準確至三位小數)

目錄

slide15

sin

sin

0.0255…

答案

(a)

按鍵次序

EXE

11.1三角比簡介

2B_Ch11(15)

(a) 利用計算機求 2sin17° – sin34°的值。

(答案須準確至三位小數。)

(b) 根據 (a) 部的結果,2sin17°是否等於 sin(2 17°)?

2

17

34

2sin17° – sin34° =

0.026 (準確至三位小數)

目錄

slide16

習題目標

  • 利用計算機求正弦或涉及正弦的數式的值。

11.1三角比簡介

2B_Ch11(16)

  • 返回問題

(b) 由 (a)部的結果,

2sin17° – sin34° 0

2sin17° sin(2  17°)

目錄

  • 重點理解 11.1.3
slide17

sin

按鍵次序

20.97…

答案

SHIFT

EXE

11.1三角比簡介

2B_Ch11(17)

已知 sin = 0.358,求的大小。

(答案須準確至最接近的度。)

0.358

由於 sin = 0.358,

所以  =

21° (準確至最接近的度)

目錄

slide18

+

sin

sin

sin

按鍵次序

57.35…

答案

SHIFT

EXE

EXE

Ans

習題目標

  • 已知 sin,求 。

11.1三角比簡介

2B_Ch11(18)

如果 sin = sin20° + sin30°,求  的大小,準確至一位小數。是否等於 50°?

20

30

由於 sin = sin 20° + sin 30°,

所以=

57.4° (準確至一位小數)

∴  不等於50°。

目錄

  • 重點理解 11.1.4
slide19

對邊

斜邊

sin =

=

 =

習題目標

  • 利用正弦求直角三角形中的未知量。

11.1三角比簡介

2B_Ch11(19)

求圖中的大小。

(答案須準確至最接近的 0.1°。)

48.6° (準確至最接近的 0.1°)

目錄

slide20

=

sin35°

(a)

x = 12sin35°

11.1三角比簡介

2B_Ch11(20)

求下列各圖中 x 的值。(答案須準確至一位小數。)

(a) (b)

= 6.9 (準確至一位小數)

目錄

slide21

=

sin27.4°

(b)

x =

習題目標

  • 利用正弦求直角三角形中的未知量。

11.1三角比簡介

2B_Ch11(21)

  • 返回問題

= 13.0 (準確至一位小數)

目錄

  • 重點理解 11.1.5
slide22

cos =

鄰邊

斜邊

11.1三角比簡介

2B_Ch11(22)

  • 例題演示

餘弦

C)

‧ 銳角 的餘弦,記作 cos 。

目錄

slide23

11.1三角比簡介

2B_Ch11(23)

餘弦

C)

1. 利用計算機求一個銳角 ( ) 的餘弦值,或者求已知餘弦值的對應角的方法與正弦的情況相似,不同的地方便是以「cos」鍵代替「sin」鍵。

目錄

slide24

11.1三角比簡介

2B_Ch11(24)

  • 例題演示

餘弦

C)

2. cos的值在 0 和 1 之間。

3. 角越大, cos的值反而越小。

4. 一般來說,

i. k cos cos (k )

ii. cos + cos cos ( + )

iii. cos – cos cos ( – )

目錄

slide25

11.1三角比簡介

2B_Ch11(25)

  • 例題演示

餘弦

C)

‧利用餘弦的知識,我們可以求直角三角形中的未知角或未知邊。

目錄

  • 目錄 11.1
slide26

(a) cos =

(b) cos =

鄰邊 (XZ)

斜邊 (XY)

鄰邊 (PR)

斜邊(PQ)

=

=

=

11.1三角比簡介

2B_Ch11(26)

(a) 求下圖中的 cos。 (b) 求下圖中的 cos。

目錄

slide27

cos =

=

鄰邊 (AC)

斜邊 (AB)

=

11.1三角比簡介

2B_Ch11(27)

參看附圖,

求 cos + cos 的值。

目錄

slide28

cos =

習題目標

=

  • 已知直角三角形的鄰邊及斜邊,求餘弦的值。

=

=

cos + cos

鄰邊 (BC)

斜邊 (AB)

=

11.1三角比簡介

2B_Ch11(28)

  • 返回問題

目錄

  • 重點理解 11.1.6
slide29

cos

按鍵次序

0.4617…

答案

EXE

11.1三角比簡介

2B_Ch11(29)

求 cos62.5°的值。

(答案須準確至三位有效數字。)

62.5

cos62.5° =

0.462(準確至三位有效數字)

目錄

slide30

cos

按鍵次序

41.6…

答案

SHIFT

EXE

11.1三角比簡介

2B_Ch11(30)

已知 cos = 0.747,求 的大小。

(答案須準確至最接近的度。)

0.747

由於 cos = 0.747,

所以  =

42°(準確至最接近的度)

目錄

  • 重點理解 11.1.7
slide31

鄰邊

斜邊

cos =

 =

=

習題目標

  • 利用餘弦求直角三角形中的未知量。

11.1三角比簡介

2B_Ch11(31)

求圖中 的大小。

(答案須準確至最接近的度。)

42°(準確至最接近的度)

目錄

slide32

=

=

cos67°

習題目標

  • 利用餘弦求直角三角形中的未知量。

a =

11.1三角比簡介

2B_Ch11(32)

求圖中 a 的值。

(答案須準確至三位有效數字。)

= 15.1(準確至三位有效數字)

目錄

  • 重點理解 11.1.8
slide33

tan =

對邊

鄰邊

11.1三角比簡介

2B_Ch11(33)

  • 例題演示

正切

D)

‧ 銳角 的正切,記作 tan 。

目錄

slide34

11.1三角比簡介

2B_Ch11(34)

正切

D)

1. 利用計算機的「tan」鍵或「SHIFT」「tan」 鍵可以分別求得一個銳角 的正切值 (即 tan)或已知正切值的對應角。

目錄

slide35

11.1三角比簡介

2B_Ch11(35)

  • 例題演示

正切

D)

2. tan的值必大於 0。

3.  角越大,tan 的值也越大。

4. 一般來說,

i. k tan tan (k )

ii. tan + tan tan ( + )

iii. tan – tan tan ( – )

目錄

slide36

11.1三角比簡介

2B_Ch11(36)

  • 例題演示

正切

D)

‧利用正切的知識,我們也可求得直角三角形中的未知角或未知邊。

目錄

  • 目錄 11.1
slide37

(a) tan =

(b) tan =

對邊 (YZ)

鄰邊 (XZ)

對邊 (QR)

鄰邊 (PR)

=

=

11.1三角比簡介

2B_Ch11(37)

(a) 求下圖中的 tan。 (b) 求下圖中的 tan。

= 2

目錄

slide38

tan =

tan =

=

=

對邊 (BC)

鄰邊 (AC)

對邊 (AC)

鄰邊 (BC)

習題目標

=

  • 已知直角三角形的對邊及鄰邊,求正切的值。

11.1三角比簡介

2B_Ch11(38)

參看附圖,求 的值。

= 5.76

  • 重點理解 11.1.9

目錄

slide39

tan

按鍵次序

1.6128…

答案

EXE

11.1三角比簡介

2B_Ch11(39)

求 tan58.2°的值。

(答案須準確至三位有效數字。)

58.2

tan58.2° =

1.61 (準確至三位有效數字)

目錄

slide40

tan

按鍵次序

59.8…

答案

SHIFT

EXE

11.1三角比簡介

2B_Ch11(40)

已知 tan = 1.72,求 的大小。

(答案須準確至最接近的度。)

1.72

由於 tan = 1.72,

所以  =

60° (準確至最接近的度)

目錄

  • 重點理解 11.1.10
slide41

對邊 (BC)

鄰邊 (AC)

 =

=

tan =

11.1三角比簡介

2B_Ch11(41)

求圖中的未知角 和 。

(答案須準確至三位有效數字。)

67.0°(準確至三位有效數字)

目錄

slide42

習題目標

  • 利用正切求直角三角形中的未知量。

11.1三角比簡介

2B_Ch11(42)

  • 返回問題

∴ 

= 90° – 

= 90° – 67.011°

= 23.0° (準確至三位有效數字)

目錄

slide43

習題目標

=

tan23° =

  • 利用正切求直角三角形中的未知量。

d = 3.5tan23°

11.1三角比簡介

2B_Ch11(43)

求圖中 d 的值。(答案須準確至一位小數。)

= 1.5 (準確至一位小數)

目錄

  • 重點理解 11.1.11
slide44

11.2三角比的應用

2B_Ch11(44)

  • 例題演示

利用三角比解答平面圖形問題

A)

‧ 對於涉及直角三角形的平面圖形,我們可以利用三角比(正弦、餘弦和正切)求當中的未知角和未知邊。但在解答時,我們必須選擇適當的三角比去求有關的未知量。

目錄

  • 目錄 11.2
slide45

11.2三角比的應用

2B_Ch11(45)

在圖中,BD 是 △ ABC 的高,AB = 40 cm,BC = 56 cm 及∠ABD = 35°。求 x 和 。

(答案須準確至三位有效數字。)

目錄

slide46

cos35° =

sin =

=

習題目標

  • 利用三角比解答平面圖形問題。

11.2三角比的應用

2B_Ch11(46)

  • 返回問題

考慮 △ABD。

∴ x = 40cos35°

= 32.766…

= 32.8 (準確至三位有效數字)

考慮 △BCD。

∴ = 35.8° (準確至三位有效數字)

目錄

slide47

11.2三角比的應用

2B_Ch11(47)

圖中是一個直角三角形 ABD,其中∠ADB = 90°及 AB = 20 cm。C 是 BD 上的一點使 BC = 11 cm 及 CD = 5 cm。求圖中的未知量。

(如有需要,取答案準確至三位有效數字。)

目錄

slide48

cos=

=

 = 36.9°(準確至三位有效數字)

AD =

即 h =

tan=

=

 = 67.4° (準確至三位有效數字)

習題目標

  • 利用三角比解答平面圖形問題。

11.2三角比的應用

2B_Ch11(48)

  • 返回問題

在 △ABD中,

由畢氏定理可得

= 12

在 △ACD中,

  • 重點理解 11.2.1

目錄

slide49

11.2三角比的應用

2B_Ch11(49)

利用三角比解答日常應用問題

B)

‧ 利用三角比,我們可以解決一些與日常生活有關的平面圖形問題。以下是我們要採用的步驟:

i. 繪畫適當的圖來清楚表示所有已知的資料。

ii. 明白所求的是圖中哪個未知量。

目錄

slide50

11.2三角比的應用

2B_Ch11(50)

  • 例題演示

利用三角比解答日常應用問題

B)

iii. 認出圖中哪個(些)直角三角形與未知量有關。(有時需要加上輔助線來形成相關的三角形。)

iv. 利用三角比的知識建立關於未知量的方程。

v. 解方程以求未知量。

目錄

  • 目錄 11.2
slide51

11.2三角比的應用

2B_Ch11(51)

文廸利用一把 45°– 45°– 90°的三角尺 PQR 量度一棵樹 AB 的高度。他站在距離該樹 10 m 的 C 點,由 R 點沿 RP 的方向觀察該樹的頂部 A。

已知 QR 是水平線,∠PRQ = 45°及 R 離地面 1.6 m,求該樹的高度。

目錄

slide52

11.2三角比的應用

tan45° =

AE = RE tan45°

習題目標

  • 利用三角比解答日常應用問題。

2B_Ch11(52)

  • 返回問題

【 根據題意,可以繪畫以下所示的圖形,其中AB(即 AE + EB)是所求的長度。】

在 △ARE中,

= 10 tan45° m

AB = AE + EB

= (10 tan45° + 1.6) m

= 11.6 m

∴ 該樹的高度是 11.6 m。

目錄

slide53

11.2三角比的應用

2B_Ch11(53)

素珊在打鞦韆,而該鞦韆的繩子長 3.2 m。她由鞦韆最低的位置開始擺動,然後到達高於鞦韆最低位置 1.2 m 的位置。在這個時候,

(a)鞦韆的繩子與鉛垂線所成的角是多少?

(b)鞦韆所移動的水平距離是多少?

(答案須準確至三位有效數字。)

目錄

slide54

11.2三角比的應用

cos =

=

2B_Ch11(54)

  • 返回問題

(a) 【 根據題意,可以繪畫以下所示的圖形,其中 AB 和 AB’分別是鞦韆開始和最後的位置。】

AC = AB – BC

= (3.2 – 1.2) m

= 2 m

在 △AB’C中,

 = 51.3°(準確至三位有效數字)

∴ 鞦韆與鉛垂線所成的角是 51.3°。

目錄

slide55

sin =

習題目標

  • 利用三角比解答日常應用問題。

11.2三角比的應用

2B_Ch11(55)

  • 返回問題

(b) 在 △AB’C中,

B’C = AB’ sin

= 3.2  sin51.318° m

= 2.50 m(準確至三位有效數字)

∴ 鞦韆所移動的水平距離是 2.50 m。

目錄

slide56

11.2三角比的應用

2B_Ch11(56)

圖中是一個橫切面是四邊形 OXPY 的溫室。PX 長 13 m 並與地平面成 60° 角,PY 長 8 m 並與溫室背後的牆 YO 的延線形成 40°角。YO 與地面垂直。

(a) P 距離地面的高度是多少?

(b) YO 有多高?

(答案須準確至一位小數。)

目錄

slide57

sin60° =

11.2三角比的應用

2B_Ch11(57)

  • 返回問題

(a) 如右圖所示,作PR ⊥OX及 PQ ⊥ TO。

在 △XPR中,

PR = PX sin60°

= 13 sin60° m

= 11.3 m (準確至一位小數)

∴ P 距離地面的高度是 11.3 m。

目錄

slide58

cos40° =

習題目標

  • 利用三角比解答日常應用問題。

11.2三角比的應用

2B_Ch11(58)

  • 返回問題

(b) 在 △QPY中,

QY = PY cos40°

= 8 cos40° m

∴ YO = QO – QY

= PR – QY

= (11.258 – 8 cos40°) m

= 5.1 m (準確至一位小數)

∴ YO 高 5.1 m。

  • 重點理解 11.2.2

目錄