Professor Diomedes

1. Colégio Salesiano Dom Bosco Funções Professor Diomedes

2. Funções Injetoras Observe o gráfico da função f: R → R abaixo: Valores diferentes de x estão correspondendo a valores diferentes de y, ou seja:

3. Note que o mesmo não ocorre no gráfico abaixo: Existem valores diferentes de x que possuem a mesma imagem: Se uma função é só crescente ou só decrescente, valores diferentes de x possuem imagens diferentes. Quando isso ocorre dizemos que a função é injetora. Em outras palavras, uma função é dita injetora se dois elementos distintos de A correspondem sempre a duas imagens distintas em B.

4. Exemplo 1: O diagrama a seguir representa a função injetora f: A → B Exemplo 2: O diagrama a seguir não representa uma função injetora f: A → B

5. Funções Sobrejetoras Quando estudamos uma função f: A → B , três conjuntos estão relacionados: - conjunto A é o domínio da função, formado pelos valores da variável independente x; - conjunto B é o contradomínio da função; - conjunto Im(f), formado pelos valores de y tais que y = f(x). O conjunto Im(f) é subconjunto do contradomínio B. Uma função é dita sobrejetora quando o contradomínio da função for igual ao conjunto imagem. Em outras palavras uma função é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Im(f) = B Exemplo 1: A função f: R → [1,∞) é sobrejetora, pois, segundo o gráfico

6. Exemplo: Im(f) = [1,∞[ Exemplo 2: A função f: A → B, a seguir, representa uma função sobrejetora

7. Funções Bijetoras Dado dois conjuntos não vazios A e B uma função f: A -> B é dita bijetora se ela for tanto sobrejetora quanto injetora. Exemplo 1 Noção Via Conjunto

8. Exemplo 2

9. Exemplo 2 A função acima não é bijetora, pois a mesma não é sobrejetora. Podemos perceber pelo simples fato de que o conjunto do contradomínio é diferente do conjunto imagem (nem todos elementos do contradomínio foram flechados).

10. Função Composta A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, h: A → C.

11. Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos: a) g o f b) f o g

12. 2) Se f(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que fog(x) 3) PUC-CAMP) Sejam f e g funções de R em R, definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² + 3. Determine fog(2).

13. 4) (FGV) Considere as funções f(x) =2x + 1 e g(x) = x²- 1. Então as raízes da equação f(g(x))=0 são : 5) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6).

14. Respostas 01) (g o f)(x) = g(f(x))g(x) = x² + 5g(4x) = (4x)² + 5g(4x) = 16x² + 5(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5 b) f o g(f o g)(x) = f(g(x))f(x) = 4xf(x² + 5) = 4 * (x² + 5)f(x² + 5) = 4x² + 20(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20