Penyelesaian Persamaan Linier Simultan - PowerPoint PPT Presentation

penyelesaian persamaan linier simultan n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Penyelesaian Persamaan Linier Simultan PowerPoint Presentation
Download Presentation
Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

play fullscreen
1 / 69
Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
480 Views
Download Presentation
nailah
Download Presentation

Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. PenyelesaianPersamaan Linier Simultan

  2. CONTOHKASUS

  3. SeoranginsinyurTeknikSipilmerancangsebuahrangkastatis yang berbentuksegitiga. Ujung segitiga yang bersudut 30° bertumpupadasebuahpenyanggastatis, sedangkanujungsegitiga yang lain bertumpupadapenyanggaberoda. Rangkamendapatgayaeksternalsebesar 1000 pon. Gaya inidisebarkeseluruhbagianrangka. Gaya F menyatakanteganganataukompresipadaanggotarangka. Reaksieksternal (H2 , V2 , danV3) adalahgaya yang mencirikanbagaimanarangkaberinteraksidenganpermukaanpendukung. Engselpadasimpul 2 dapatmenjangkitkangayamendatardantegakpadapermukaan, sedangkangelindingpadasimpul 3 hanyamenjangkitkangayategak.

  4. Struktur jenis ini dapat diuraikan sebagai sistem persamaan aljabar lanjar simultan. Diagram gaya-benda-bebas diperlihatkan untuk tiap simpul dalam gambar berikut

  5. Menuruthukum Newton, resultangayadalamarahmendatarmaupuntegakharusnolpadatiapsimpul, karenasistemdalamkeadaandiam (statis). Olehkarenaitu, untuksimpul 1,

  6. å FH = 0 = -F1 cos 30° + F3 cos 60° + F1, h = -0.866F1 + 0.5 F3 å FV = 0 = -F1 sin 30° - F3 sin 60° + F1, v = -0.5F1 – 0.866 F3 + 1000 å FH = 0 = F2 + F1 cos 30° + F2, h + H2 = F2 + 0.866F1 + 0 + H2 å FV = 0 = F1 sin 30° - F2, v + V2 = 0.5 F1 + V2 å FH = 0 = -F2 - F3 cos 60° + F3, h = -F2 – 0.5 F3 å FV = 0 = F3 sin 60° + F3, v + V3 = 0.866 F3 + V3

  7. Contoh 2 : • Seorangpembuatbonekainginmembuatduamacambonekayaituboneka A danboneka B. Keduabonekatersebutdibuatdenganmenggunakanduamacambahanyaitupotongankaindankancing. Boneka A membutuhkan 10 potongankaindan 6 kancing, sedangkanboneka B membutuhkan 8 potongankaindan 8 kancing. • Permasalahannyaadalahberapabuahboneka A danboneka B yang dapatdibuatdari 82 potongankaindan 62 kancing ?

  8. Contoh 2 • Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : • x = jumlah boneka A • y = jumlah boneka B • Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: • Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 • Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 • Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 • Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.

  9. 3 4 2 1 Contoh 3 : • Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai berikut : • Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. • Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. • Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.

  10. Contoh 3 : • 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu : • Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1  3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d • Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.

  11. 3 4 2 1 Contoh 3 : • Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.

  12. TEOREMA

  13. Persamaan Linier Simultan • Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas • Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas • aijuntuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan • xiuntuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

  14. Persamaan Linier Simultan • Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xiuntuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. • AX = B • Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. • Vektor x = vektor variabel • vektor B = vektor konstanta.

  15. Augmented Matrix • matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: • Augmented (A) = [A B]

  16. Theorema • Suatupersamaan linier simultanmempunyaipenyelesaiantunggalbilamemenuhisyarat-syaratsebagaiberikut. • Ukuranpersamaan linier simultanbujursangkar, dimanajumlahpersamaansamadenganjumlah variable bebas. • Persamaan linier simultan non-homogendimana minimal adasatunilai vector konstanta B tidaknolatauadabn 0. • Determinandarimatrikkoefisienpersamaan linier simultantidaksamadengan nol.

  17. Metode Analitik • metodegrafis • Substitusi • Eliminasi • Determinan

  18. Metodedeterminan

  19. SolusiNumerikuntukpersamaan- persamaan linier: a. MetodeLangsung 1. Eliminasi Gauss 2. Eliminasi Gauss-Jordan 3. Invers Matriks 4. Dekomposisi LU 5. Determinan

  20. b. MetodeTakLangsung (Iterasi) 1. Metode Jacobi 2. Metode Gauss-Seidel 3. Metode Newton-Raphson 4. Successive overRelaxation Metodetaklangsungbiasanyamemerlukanwaktu yang sangat lama.

  21. ELIMINASI GAUSS

  22. Metode Eliminasi Gauss

  23. ELIMINASI GAUSS NAIF • Tanpamempedulikan pivot bernilai 0 atautidak.

  24. Algoritma Eliminasi Gauss Menyatakan persamaan linier sebagai n buah persamaan simultan Tentukan faktor pengali (1) (2) (3)

  25. Persamaan (1) dikali m2: m2 a11x1 + m2a12x2 + m2a13x3 =m2b1 • Hasilperkaliandiperkurangkandaripersamaan(2) (4)

  26. a’22 = a22 – m2a12 a’23 = a23 – m2a13 b’2 = b2 – m2b1 maka: a’22x2 + a’23x3 = b’2……………(5) Persamaan (2) disubtitusidgnpersamaan (5).

  27. Tentukanfaktorpengaliuntukpersamaanketiga: Persamaanpertamadikalidengan m3, persamaanketigadikurangipersamaanpertama. a’32x2 + a’33x3 = b’3…………………………(6) dimana a’32 = a32 – m3a12 a’33 = a33 – m3a13 b’3 = b3 – m3b1

  28. Persamaan (3) disubtitusi dgn persamaan (6): a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……….(1) a’22x2 + a’23x3 = b’2 ………(5) a’32x2 + a’33x3 = b’3……….(6) Faktor pengali m’3 = a’32/a’22 a’32 – m’3a’22 = 0 a’’33 = a’33 – m’3a’23 b’’3 = b’3 – m’3b’2

  29. a’33x3 = b’3 ………….. (7) Jika persamaan (7) disubtitusi ke persamaan (6), a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……..(1) a’22x2 + a’23x3 = b’2……..(5) a’’33x3 = b’3 …….(7)

  30. Contoh 1: Diberikansistimpersamaan linier: 2x1 + x2 + 3x3 = 11………….(1) 4x1 + 3x2 + 10x3 = 28………….(2) 2x1 + 4x2 + 17x3 = 31………….(3)

  31. Contoh 2: w + x + y + z = 10 2w + 3x + y + 5z = 31 -w + x - 5y + 3z = -2 3w + x + 7y - 2z = 18 Matriks augmented

  32. II – 2(I) III + 1(I) IV -3(I)

  33. III-2(II) IV+2(II) x - ½

  34. IV – 2(III)

  35. x4 = 4 x3 + x4 = 7; x3 + 4 = 7; x3 = 3 x2 – x3 + 3x4 = 11; x2 – 3 + 12 = 11; x2 = 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 10; x1 + 2 +3 + 4 = 10; x1 = 1

  36. ELIMINASI GAUSS PIVOTING

  37. latihan

  38. Algoritma Metode Eliminasi Gauss

  39. Persamaan Linier Simultan • Persamaan Linier SimultanatauSistemPersamaan Linier mempunyaikemungkinansolusi : • Tidakmempunyaisolusi • Tepatsatusolusi • Banyaksolusi Ada tigacara yang dapatdigunakanuntukpenyelesaiansuatusistempersamaan linier, yaitu: (1). MetodeSubstitusi, (2). MetodeEliminasi, dan (3). MetodeDeterminan.

  40. Gauss jordan

  41. Metode Eliminasi Gauss Jordan • Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal • Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:

  42. MetodaEliminasi Gauss-Jordan

  43. Contoh 1 : • Selesaikan persamaan linier simultan: • Augmented matrik dari persamaan linier simultan • Lakukan operasi baris elementer Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1

  44. Contoh 2 -1

  45. Contoh 2-2

  46. Contoh 3 -1 : B2-2B1 B3-3B1 B3-3B1 B2-2B1