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Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller. I- Klassifizierung Differenzialgleichungen II- Numerische Lösung der elliptischen Differenzialgleichungen 1-Problemanalyse a-Problemdarstellung b-Differenzenquotienten c-Aufbau des LGS d-Lösungsverfahren

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Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

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Presentation Transcript

  1. Praktikum„Numerische Strömungsmechanik“C.-D. Munz, S. Roller

  2. I- Klassifizierung Differenzialgleichungen II- Numerische Lösung der elliptischen Differenzialgleichungen 1-Problemanalyse a-Problemdarstellung b-Differenzenquotienten c-Aufbau des LGS d-Lösungsverfahren 2-Jacobi-Verfahren 3-Gauß-Seidel-Verfahren 4-SOR-Verfahren 5-LSOR-Verfahren 6-Abbruchkriterien II-Numerische Lösung der parabolischen Differenzialgleichungnen 1-Problemanalyse 2-Explizit 1.Ordnung 3- Implizit 1.Ordnung 4- Explizit 2.Ordnung 5-Implizit 2.Ordnung 6-Splitting 7-DFL Bedingung III-Numerische Lösung von hyperbolischen Differenzialgleichungen 1-Problemanalyse 2-Diskretisierung 3- Charakteristiken Theorie 4- Upwind-Verfahren 5-Vollimplizites-Verfahren 6-Crank-Nicolson-Verfahren 7-Lax-Wendroff-Verfahren 8- Runge-Kutta-Verfahren 9-MUSCL-Verfahren 10-CFL Bedingung Überblick

  3. Klassifizierung DGL Lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung in 2 Dimensionen

  4. Klassifizierung DGL 1. Elliptische Gleichung

  5. Klassifizierung DGL 2. Parabolische Gleichung

  6. Klassifizierung DGL 3. Hyperbolische Gleichungen Anfangs- Randwertproblem Anwendung: Wellengleichung

  7. Klassifizierung DGL Als einfachste hyperbolische Gleichung mit 2 Raumrichtungen ergibt sich somit:

  8. Numerische Lösung der elliptischen DGL 1.Problemanalyse a- Problemdarstellung

  9. Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse b- Differenzenquotienten Pi,j=(xi,yj) ui,j≈u(xi,yj) i, j+1 i-1, j i, j i+1, j y i, j-1 5 Punktestern x Zentrales FD-Verfahren 2. Ordnung Ersetzen der Ableitungen in Poisson-Gleichung durch Differenzen ergibt:

  10. Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse c- Aufbau des Gleichungssystem Mit Sonderbehandlung des Randes ergibt sich:  Schwach besetzte Matrix

  11. Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse d- Lösungsverfahren Gleichungssystem: (7) AuD=fDA I·J × I·J-Matrix mit BandstrukturuD=(u11,u21,…,uI1,u12,…,uIJ) -Gaußalgorithmus: Ungünstig, rechnet mit allen Nullen  zu hoher Speicheraufwand und Rechenzeit -Thomasalgorithmus: Nicht anwendbar wegen den Nullen zwischen den Diagonalen

  12. Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren  sinnvoller : -Iterationsverfahren: löst LGS bis zur vorgegebenen Genauigkeit

  13. Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren Iterationsverfahren (Splittingverfahren) (7) AuD=fD Aufspaltung von A: A = -Ai+AeAus(8) erhält man damit dieIterationsvorschrift P ist der iterationsindex

  14. Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren Iterationsverfahren (Splittingverfahren) Jacobi Verfahren: Ai = -diag(A) .Gauß-Seidel Verfahren: Ai = -diag(A) – LL untere Dreiecksmatrix ohne DiagonaleU obere Dreiecksmatrix ohne Diagonale Programmtechnische Umsetzung Matrizen A, Ai, Ae werden nicht berechnet, Ausgangspunkt ist Gleichung (6)

  15. Numerische Lösung der elliptischen DGL 2.Jakobi-Verfahren Nach uij aufgelöst: Iterationsvorschrift:

  16. Schon bekannt Numerische Lösung der elliptischen DGL 3.Gauß-Seidel-Verfahren Iterationsvorschrift:

  17. Gauß-Seidel Numerische Lösung der elliptischen DGL 4.SOR-Verfahren Iterationsvorschrift:

  18. Numerische Lösung der elliptischen DGL 5.LSOR-Verfahren Iterationsvorschrift: In x-Richtung wird ein tridiagonales Gleichungssystem gelöst

  19. Numerische Lösung der elliptischen DGL 6.Abbruchkriterien Die Verfahren können durch erfüllen der Abbruchkriterien beendet werden: Genauigkeit des Ergebnis Genauigkeit der Iteration

  20. Numerische Lösung der elliptischen DGL 7.Verfahren der konjugierten Gradienten(CG) a- Grundidee Die Idee der Gradientenverfahren besteht darin,für das Gleichungssystem aus (7) ein Fehlerfunktional zu definieren,um dieses anschließend zu minimieren. Das Fehlerfunktional: F(u)=0.5(uTAu) – fTu hat genau ein globales Minimum in u= u* Dabei steht u* für die exakte Lösung des Problems aus (7), womit gilt: Au*=f

  21. Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren b- Mathematische Behandlung (1) (2) (1)+(2) 

  22. Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren Zur Bestimmung des Minimums von F setzen wir Durch Differenzieren erhalten wir

  23. Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren c- Suchrichtungsvektor Steilster Abstieg Man beginnt nun mit der Suche der Lösung mit einembeliebigen Startvektor und sucht in Richtung des steilsten Abstiegs: Wir wählen nun als SuchrichtungDiese Wahl scheint geeignet zu sein, da F(u) in negativer Gradientenrichtung am stärksten abfällt.

  24. Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren Steilster Abstieg Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift: Diese einfache Suchrichtung konvergiert allerdings nur relativschlecht. Eine deutliche Verbesserung kann durch dieVerwendung von konjugierten Gradienten erzielt werden.

  25. Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren CG Verfahren Für das Verfahren der konjugierten Gradienten müssen lediglichdie Suchrichtungen so angepasst werden, dass sie A -orthogonalaufeinander stehen. Diese neuen Suchrichtungen werden dann stattdem einfachen negativen Gradienten in obigen Verfahren verwendet.

  26. Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift:

  27. i, j+1 i-1, j i, j i+1, j i, j-1 y x Numerische Lösung der parabolischen DGL 1.Problemanalyse instationäres Problem Approximation im Raum: zentrale Differenzen

  28. Numerische Lösung der parabolischen DGL 2. Explizites Verfahren 1. Ordnung in der Zeit Vorwärts Zentraler Differenzenquotient tn+1 Differenzenstern Kein LGS t n xi-1 xi xi+1

  29. Numerische Lösung der parabolischen DGL / Explizit Auflösen nach Programmtechnische Umsetzung Die Schrittweite wird über die DFL-Bedingung festgelegt, in dem ein Sicherheitsfaktor eingeführt wird:

  30. Numerische Lösung der parabolischen DGL 3.Implizites Verfahren 1. Ordnung (Euler-Verfahren) Rückwärts Zentraler Differenzenquotient xi-1 xi xi+1 tn+1 Differenzenstern t n

  31. Numerische Lösung der parabolischen DGL / Implizit lineares Gleichungssystem

  32. Numerische Lösung der parabolischen DGL 4.Explizites Verfahren 2. Ordnung (Du Fort-Frankel) t tn+1 tn tn-1 x xi-1 xi xi-+1

  33. Numerische Lösung der parabolischen DGL / Du Fort-Frankel Anlaufschritt nötig

  34. Numerische Lösung der parabolischen DGL / Crank-Nicolson 5.Implizites Verfahren 2. Ordnung (Crank-Nicolson) t tn+1 tn+1/2 tn x xi-1 xi xi+1

  35. Numerische Lösung der parabolischen DGL

  36. Numerische Lösung der parabolischen DGL 6.Splitting-Verfahren(Dimensionensplitting, Zwischenschrittmethode, Fractional Step)Zerlegung:

  37. Numerische Lösung der parabolischen DGL / Splitting a- Splitting-Methode implizit 1. Ordnung In jedem Zeitschritt wird (9), (10), (11) nacheinander 1. Ordnung gelöst

  38. Numerische Lösung der parabolischen DGL / Splitting b- Splitting-Methode implizit 2. Ordnung (9), (10), (11) werden jeder für sich 2. Ordnung genau gelöst (mit Crank-Nicolson-Verfahren): Damit das Gesamtverfahren auch 2. Ordnung in der Zeit ist, muß die Reihenfolge der Schritte in jedem Zeitschritt vertauscht werden:

  39. Numerische Lösung der parabolischen DGL 7.Die DFL Bedingung Die DFL Zahl steht für die dimensionslose Diffusionszahl, die in parabolischen Gleichungen auftritt:

  40. Numerische Lösung der parabolischen DGL / DFL-Bedingung

  41. Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 1.Problemanalyse

  42. i, j+1 i, j i-1, j i+1, j y i-1/2, j i+1/2, j i,j-1/2 x i, j-1 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problemanalyse Umformulierung als Erhaltungsgleichung i,j+1/2 Differenz dessen, was links ein und rechts ausströmt Fluß über den linken bzw. rechten Rand Erhaltungseigenschaft: was aus einer Zelle ausströmt, strömt in die Nachbarzelle ein

  43. Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problemanalyse Splitting-Methode Verfahren in Erhaltungsform g, h numerische Flüsse

  44. Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problrmanalyse Im Weiteren werden Verfahren angegeben, die Gleichungen der Form lösen, d.h . Verfahren für eine Raumdimension. Treten weitere Dimensionen auf, so werden sie gemäß des angegebenen Splitting-Vefahrens nacheinander gelöst.

  45. Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 2. Diskretisierung Im Raum Eingesetzt in das Verfahren ergibt sich für ai+½,,j=ai-½,,j: Zentrale Differenz (2. Ordnung) im Raum

  46. Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Diskretisierung In der Zeit • Die Ableitungen im Raum werden zu einem gemeinsamen Zeitpunkt gebildet. Für die DGl fehlt nun noch die Ableitung nach der Zeit zu diesem Zeitpunkt. Sie ermöglicht dann das Fortschreiten in der Zeit. Entscheidend ist dabei der Zeitpunkt, zu dem die DGl angeschrieben wird. • Gebräuchlich für die Diskretisierung der Ableitungen in der Zeit sind: • Zentrale Differenz mit Mittelung (2. Ordnung) • Vorwärts- und Rückwärtsdifferenz (1. Ordnung) • Differenz mit Extrapolation (2. Ordnung) • Runge Kutta Verfahren höherer Ordnung

  47. Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 3.Charakteristiken Theorie Die Exakte Lösung von erhält man,Indem man die Kurven(C) berechnet, auf denen u =const gilt (totale Ableitung=0). (16) durch Identifikation ( 15 und 16 ) C t a konstant  C ist eine Gerade u konstant auf C  u(x,t)=u(x-at,0) x

  48. Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 4.Upwind-Verfahren Idee: Upwind  Eingesetzt in das Verfahren ergibt sich: Linksseitige Differenz für a>0, rechtsseitige Differenz für a<0 (1. Ordnung)

  49. Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Upwind Vorwärtsdifferenz (explizit 1. Ordnung) in der Zeit. Upwind (1.Ordnung) im Raum. Information wird entlang der Charakteristik (PQ) transportiert. Differenzenbildung in die Richtung, aus der die Information kommt.

  50. Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 5.Vollimplizites Verfahren Zentrale Differenz (2. Ordnung) im Raum. Rückwärtsdifferenz (implizit 1.Ordnung) in der Zeit. Lineares Gleichungssystem

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