2 3461090
Download
1 / 83

?????? ??? (2) ???? ????? - PowerPoint PPT Presentation


  • 339 Views
  • Uploaded on

اقتصاد خرد (2) دكتر داودي. انواع توابع. توابع مستقيم. انواع توابع:. توابع غير مستقيم. تابع همگن. از نظر ریاضی تابعی را همگن از درجه h گویند که در آن با برابر شدن تمامی متغیرهای مستقل مقدار متغیر تابع برابر گردد، که در آن h درجه همگنی تابع مورد نظر می باشد.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '?????? ??? (2) ???? ?????' - morela


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
2 3461090

اقتصاد خرد (2)

دكتر داودي


2 3461090

انواع توابع

توابع مستقيم

انواع توابع:

توابع غير مستقيم

تابع همگن

از نظر ریاضی تابعی را همگن از درجه h گویند که در آن با برابر شدن تمامی متغیرهای مستقل مقدار متغیر تابع برابر گردد، که در آن h درجه همگنی تابع مورد نظر می باشد.

تابع مطلوبیت زیر را در نظر بگیرید:

در صورت همگن بودن این تابع :



2 3461090

اگر تابع مطلوبيت همگن از h باشد MRS را مي‌توان بصورت نسبتي از متغيرها نوشت.


2 3461090

بدست آوردن رابطه اولر: است.

از طرفين نسبت به مشتق مي‌گيريم:

  • در صورتیکه


2 3461090

رابطه اولر براي دو متغيره: است.

رابطه اولر : مجموع حاصلضرب هر كدام از متغيرها در مشتق تابع نسبت به آن متغير برابر است با درجه همگني ضربدر تابع

: براي ‌n متغير


2 3461090

MRS است. تابع همگن، تابعي از نسبت متغيرها مي‌باشد؛ يعني:

X2

B

3

2

A

كشش درآمدي در اين حالت برابر واحد است. براي روشن شدن موضوع به شكل زير توجه كنيد:

X1

O

4

6

X2

I.C.C

B2

B

A2

A

X1

O

A1

B1

M

N


2 3461090

اگر است. I.C.C شعاع باشد كشش درآمدي برابر واحد است.

نتيجه:

كشش درآمدي بدست آمده از هر تابع مطلوبيت همگن برابر واحد خواهد بود.

Px1

.

E

F

.

.

h

X1


2 3461090

ساير خواص تابع همگن: است.

* كشش جانشيني


2 3461090

روابط زير را در نظر بگيريد: است.

با جايگزيني اين سه عبارت در رابطه كشش جانشيني داريم:


2 3461090

(1) است.

كشش جانشيني براي تمام توابع

D

علامت D تعيين كننده تحدب و تقعر منحني بي‌تفاوتي است.


2 3461090

درجه تحدب افزايش است.

كشش جانشيني كاهش

اگر تابع همگن باشد، پرانتز صورت رابطه (1) در واقع رابطه اولر است و مي‌توان معادل آن (درجه همگني ضربدر تابع) را نوشت . لذا:

: براي تابع همگن

اگر تابع همگن از درجه يك باشد، مي توان رابطه كشش جانشيني را بصورت زير نوشت:

(1)

راه ديگر:

اگر تابع u همگن از درجه يك باشد در آن صورت تابع u1 و u2همگن از درجه صفر مي‌شود پس رابطه اولر در مورد u1 و u2 نيز صادق است:



2 3461090

(2) است.

تابع كاپ-داگلاس

: فرم عمومي تابع

: درجه همگني

: درجه همگني


2 3461090

(1) است.

همانطور كه مشاهده مي‌كنيد MRS تابعي از نسبت متغيرها و همگن از درجه صفر است. بنابراين:

  • كشش درآمدي هر تابع كاپ-داگلاس عمومي حتماً برابر واحد است .

  • هر تابع كاپ-داگلاس عمومي حتماً يك تابع هموتتيك هم است .

رابطه اولر

: طبق رابطه (1)


2 3461090

مثال: است.

تابع توليد كاپ- داگلاس:

: رابطه اولر


2 3461090

در حالت كلي: است.

طرفين در P ضرب

ناسازگاري با بازار رقابت كامل

ناسازگاري با بازار رقابت كامل

سازگاري با بازار رقابت كامل

نكته : موارد فوق براي توابع همگن برقرار است.

  • اگر تابع همگن از درجه يك باشد (چه كاپ- داگلاس باشد يا نباشد) شرط اينكه براي حداكثر شدن سود داراي بهينه باشد اين است كه كل درآمد جذب اين دو عامل باشد.

  • اگر تابع همگن از درجه بيشتر از يك باشد درآمدهاي آن كفاف هزينه‌هايش را نمي‌دهد.


2 3461090

. است.

.

.

.

استخدام بيشتر

: نقاط كمتر از بهينه

درآمد

هزينه

: نقاط بيشتر از بهينه

هزينه

درآمد

استخدام كمتر


2 3461090

هزينه براي تابع توليد همگن از درجه ‌h :

براي تابع همگن

از درجه h


2 3461090

نتيجه درجه ‌

  • هر تابع توليد همگن از درجه h نسبت به مقدار عوامل توليد، TCاي مي‌دهد كه همگن از درجه است نسبت به توليد.

  • اگر تابع TC همگن باشد، تابع توليد نيز همگن خواهد بود.


2 3461090

پرداخت به درجه ‌L و K

VMPL

VMPL

ميزان درآمد

L


2 3461090

هزينه فزاينده، درجه ‌

بازده كاهنده

هزينه كاهنده، بازده فزاينده

بازده ثابت

نسبت به مقياس


2 3461090

فرم تعميم يافته تابع كاپ- داگلاس: درجه ‌

توابع غير مستقيم كاپ- داگلاس:

سؤال:

تابع هزينه تابع هموتتيك را بدست آوريد.


2 3461090

تابع هموتتيك درجه ‌

توابعی که شیب منحنی های بی تفاوتی آنها در طول شعاع گذرنده از مبدأ مختصات یکسان باشد را توابع هموتتیک گویند.

X2

  • اینگونه توابع توابعی هستند که نرخ نهایی جانشینی آنها تابعی از نسبت (X2/X1) باشد:

  • تقاضاي بدست آمده از هر تابع هموتتيك داراي كشش‌هاي درآمدي برابر واحد است.

X1

O

  • اگر كشش درآمدي واحد باشد، I.C.C شعاع شده پس MRS همگن از درجه صفر است و در نتيجه تابع هموتتيك خواهد بود.


2 3461090

دو تابع u و v را در نظر بگيريد به نحوي كه v تابعي يكنواخت فزاينده از u باشد:

تابع u همگن است ولي تابع v همگن نيست.


2 3461090

توابع ولي هر تابع هموتتيك لزوماً همگن نيست. به مثال زير توجه كنيد:C.E.S

توابعي هستند كه

اولاً؛ همگن از درجه يك هستند

ثانياً: داراي كشش جانشيني ثابت مي‌باشند.


2 3461090

: تعريف ولي هر تابع هموتتيك لزوماً همگن نيست. به مثال زير توجه كنيد:

  • كشش جانشيني بين دو متغير از صفر تا بي‌نهايت مي‌تواند تغيير كند.


2 3461090

: تعريف ولي هر تابع هموتتيك لزوماً همگن نيست. به مثال زير توجه كنيد:

اگر اين تابع روي يك مطلوبيت ثابت بخواهد حركت كند مي‌توان را بصورت زير فرض كرد:

: فرم تابع C.E.S


2 3461090

به دو صورت ولي هر تابع هموتتيك لزوماً همگن نيست. به مثال زير توجه كنيد:C.E.S به C.E.S تعميم يافته تبديل مي‌شود:


2 3461090

بدست آوردن معادله منحني بي‌تفاوتي توابع CES:


2 3461090

متغير جانشيني بي‌تفاوتي توابع

متغير تكنولوژي

متغير تسهيم

: از طرفي


2 3461090

اگر كشش جانشيني برابر یک باشد: بي‌تفاوتي توابع

تعریف :

تابع کاپ- داگلاس:

نتیجه: در تابع C.E.S وقتی باشد، تابع C.E.S به تابع کاپ- داگلاس تبدیل می شود.


2 3461090

حالت های مختلف تابع بي‌تفاوتي توابع C.E.S:

مبهم

رفع ابهام


2 3461090

این حالتی است که منحنی بی تفاوتی مجانب به خط افقی باشد.

عدد


2 3461090

تابع کاپ- داگلاس مجانب به خط افقی باشد.

مبهم

شکل تابع کاپ- داگلاس بصورت زیر است :

مجانب به سمت محورها



2 3461090

تابع کند. مطلوبیت استون و جری

Stone-Geary – Klein- Robin

مقادير حداقل معيشت

و

پارامترهاي تسهيم

و

(1)


2 3461090

با گرفتن آنتي لگاريتم از رابطه (1): کند.

آنچه كه باعث ايجاد مطلوبيت مي‌شود مازاد مصرف از يك مقدار معين است كه آن مقدار معين حداقل معيشتي است كه مطلوبيتي از آن حاصل نمي‌شود و از آن فقط فرد ارتزاق مي‌كند و اضافه بر آن شروع به ايجاد مطلوبيت مي‌كند. لذا را سطح حداقل معيشت گويند.

بنابراين تابع استون و جري تمام خواص تابع كاپ- داگلاس را دارا مي‌باشد.



2 3461090

عبارت صفحه قبل را مي‌توان بصورت زير نوشت:

مخارج روي كالا

سهمي از درآمد مازاد بر حداقل معيشت

مخارج روي سطح حداقل معيشت

مخارجي كه روي حداقل معيشت انجام مي‌شود.

سهم مخارج روي كالاي 1

سهم مخارج روي كالاي 2


2 3461090

توابع زير نوشت:مطلوبیت تفكيك پذير

Separable Utility function

Non- Addetive

Strongly separable

توابع مطلوبيت تفكيك پذير

Addetive

weakly separable

Addetive

Non- Addetive


2 3461090

1) تابع مطلوبيت قوياً تفكيك پذير زير نوشت:

: شرط

براي همه i ها وj ها

: با توجه به شرط

بنابراين زماني يك تابع قوياً تفكيك پذير است كه MRSهر دو متغير فقط تابعي از آن دو متغير باشد و تابعي از متغيرهاي ديگر نباشد به اين خاصيت، خاصيت قوياً تفكيك پذيري گويند.



2 3461090

3) تابع مطلوبيت بطور ضعيف تفكيك پذير

بنابراين خاصيت تابع بطور ضعيف تفكيك پذير اين است كه MRSبين هر دو متغير انتخابي از گروه اول تابع متغيرهاي گروه دوم نباشد.


2 3461090

سؤال: پذيرفايده تابع بطور ضعيف تفكيك پذير چيست؟

فرض كنيد تابع مطلوبيت زير را داريم:

اگر به نوعي تفكيك پذيري وجود داشته باشد مثلاً مصرف فرد از خوراك، پوشاك و تفريح مستقل از مسكن و اتومبيل باشد؛ در اين صورت MRS بين مسكن و اتومبيل تابعي از خوراك و پوشاك و تفريح نخواهد بود بنابراين تابع مطلوبيت آنها را مي‌توان جدا كرد و رفتار آنها را جداگانه بررسي كرد:

لذا :

به جاي بررسي يك تابع پيچيده، مي‌توان يك تابع ساده را بررسي كرد.


2 3461090

4) تابع مطلوبيت بطور ضعيف تفكيك پذير جمع پذير

مقايسه تابع مطلوبيت قوياً تفكيك پذير جمع پذير با تابع قوياً تفكيك‌پذير

-‌ رفتار بيروني اين دو تابع يكي است (رفتار بيروني را MRS مشخص مي‌كند) ولي رفتار ذهني آنها متفاوت است.

-‌ تابع قوياً جمع پذير تفكيك‌پذير داراي يك رفتار ذهني است كه علاوه بر MRS مطلوبيت نهايي نيز فقط تابع خود متغير است و تابع بقيه متغيرها نيست. در حالي كه در توابع قوياً تفكيك‌پذير اين تنها در مورد MRS صادق است.


2 3461090

سؤال پذير جمع پذير

اثبات كنيد كه در توابع جمع پذير همواره رابطه زير برقرار است:

نكته

كشش قيمت خودي

كشش درآمدي

  • تابع استون و جري يك تابع جمع پذير است لذا رابطه بالا در مورد آن صادق است.

  • تابع كاپ- داگلاس نيز يك تابع جمع پذير است و رابطه بالا در مورد آن صادق است.


2 3461090

توابع پذير جمع پذيرمطلوبیت متعالي

اين تابع بدليل نقصي كه تابع كاپ- داگلاس داشت معرفي شده است. به تابع زير توجه كيند:

مشاهده مي‌كنيد كه كشش توليدي ثابت فرض شده است و در واقعيت لزوماً كشش توليدي ثابت نيست.

تابع متعالي در واقع يك تابع كاپ- داگلاس است كه در آن كشش‌هاي توليدي ثابت نيستند. فرم عمومي آن بشكل زير است:


2 3461090

نقص اين تابع پذير جمع پذير

اگر خطوط مرزي اين تابع محاسبه شود :


2 3461090

زمين پذير جمع پذير

خطوط مرزي

كارگر

يعني در اين نوع توابع به ازاء هر مقدار معيني از هر عامل حداكثر مقدار عامل ديگري كه با عامل ثابت مي‌توان استفاده كرد و حداكثر توليد را بدست آورد تابعي از متغيرها نبوده و يك مقدار ثابتي خواهد بود.

اين موضوع در واقعيت صادق نيست.

در اين نوع توابع كشش توليدي نهاده 1 تابع بكارگيري نهاده 2 نمي‌باشد يعني در واقع عكس‌العمل توليد در قبال تغيير نهاده‌ها متأثر از نهاده مقابل نمي‌باشد.


2 3461090

توابع پذير جمع پذيردمرتين

يكي از توابع معروف در كشاورزي است كه نقص وارد بر تابع متعالي را رفع مي‌كند. فرم عمومي آن بشكل زير مي‌باشد:

كشش‌هاي توليدي تابعي از هر دو متغيرند.


2 3461090

X پذير جمع پذير1 تابعي از X2

X2 تابعي از X1

توابع مطلوبيت ترانسلاگ

Translog Utility function

طبق تعريف كمنتا و تيلور تابع ترنسلاگ از تابع ‍C.E.S استخراج شده است:

: تابع C.E.S


2 3461090

براي بدست آوردن تابع ترنسلاگ را حول بسط مي‌دهيم. ( با قرار دادن از بسط مك‌لورن استفاده مي‌كنيم):


2 3461090

اين تابع همگن از درجه را حول بسط مي‌دهيم. ( با قرار دادن از بسط مك‌لورن استفاده مي‌كنيم):h است. درجه همگني تابع ترانسلاگ بستگي به درجه همگني تابع CES دارد. چنانچه CES همگن از درجه h باشد،تابع ترانسلاگ نيز همگن از درجه h خواهد بود.

در صورت برابر كردن عوامل LnQ تبديل به مي‌شود. پس همگن از درجه h است.

درجه 1

به درجه همگني بستگي دارد:

كشش جانشيني:

درجه h


2 3461090

كشش‌هاي توليدي را حول بسط مي‌دهيم. ( با قرار دادن از بسط مك‌لورن استفاده مي‌كنيم):

توابع مطلوبيت غير مستقيم

متغير تصميم Xi ها


2 3461090

تقاضاهاي بدست آمده را در تابع را حول بسط مي‌دهيم. ( با قرار دادن از بسط مك‌لورن استفاده مي‌كنيم):U قرار مي‌دهيم. مقدار بهينه تابع مطلوبيت بدست مي‌آيد:

تابع مطلوبيت غير مستقيم

در واقع تابع مطلوبيت غير مستقيم همان مقدار بهينه تابع مطلوبيت است.

خواص تابع مطلوبيت غير مستقيم

1- يك تابع پيوسته است.

2- تابع V همگن از درجه صفر است نسبت به قيمت‌ها و درآمد


2 3461090

اگر قيمت‌ها و درآمد دو برابر شود ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و V تغيير نمي‌كند.

3- تابع V تابعي كاهنده نسبت به درآمد نيست. زيرا:

: از F.O.C

برابر يك

زيرا


2 3461090

از طرفي ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

4- تابع V تابعي فزاينده نسبت به قيمت‌ها نيست. زيرا:

از خط بودجه نسبت به Pjمشتق مي‌گيريم:


2 3461090

نكته: ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

(2)

(1)

با جايگذاري در رابطه (1)

(3)

به اين سه شكل اتحاد روي گويند.


2 3461090

خاصيت ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و اتحاد روي:

خاصيت اين اتحاد اين است كه بدون داشتن تابع مطلوبيت مستقيم و صرفاً با داشتن تابع مطلوبيت غير مستقيم مي‌توان تقاضا را بدست آورد.

5- تابع مطلوبيت غير مستقيم نسبت به قيمت‌ها شبه محدب است.

يعني شكل منحني‌هاي بي‌تفاوتي غير مستقيم در صفحه P1 و P2 محدب هستند.


2 3461090

. ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

مقدار v ماكزيمم

.

مقدار v مينيمم


2 3461090

نكته: ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

پروسه بدست آوردن v دوگان پروسه بدست آوردن u است:


2 3461090

تابع تقاضاي معكوس (غير مستقيم) ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

اگر I ثابت باشد

اگر در هر دو پروسه I ثابت و يكسان باشد، اگر مقادير بهينه X ها را از پروسه ماكزيمم U بعنوان مقادير ثابت و داده شده در پروسه U در نظر بگيريم و ثانياً وقتي تابع مطلوبيت را بر روي X ماكزيمم مي‌كنيم و تابع مطلوبيت غير مستقيم را بر روي P ها مينيمم مي‌كنيم در اين صورت اين دو پروسه دوگان هم خواهند بود.


2 3461090

پروسه مينيمم كردن ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و V

پروسه ماكزيمم كردن U


2 3461090

S.O.C ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و در مينيمم كردن V

S.O.C در ماكزيمم كردن U

ماتريس هشين حاشيه‌دار بايد منفي معين باشد، دترمينان ماتريس 3*3 بايد مثبت باشد:

ماتريس هشين حاشيه‌دار بايد مثبت معين باشد، يعني دترمينان همه ماينورها بايد منفي باشد و از 3*3 شروع مي‌شود:


2 3461090

نشان دادن تحدب معادله منحني بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

: تابع مطلوبيت

: معادله منحني بي‌تفاوتي


2 3461090

: شرط تحدب بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

يعني شرط S.O.C براي min v به اين معني است كه منحني‌هاي بي تفاوتي محدب هستند.

بدست آوردن معادلات هيكس و اسلاتسكي با استفاده از تابع مطلوبيت غير مستقيم:

: در تقاضاي معمولي

: در تقاضاي جبراني


2 3461090

رابطه (1) بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

: از طرفين رابطه (1) نسبت به pi مشتق مي‌گيريم

: از اتحاد روي داريم


2 3461090

انواع توابع مطلوبيت غير مستقيم: بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

1- تابع كاپ- داگلاس:

: تابع مطلوبيت مستقيم

: تابع مطلوبيت غير مستقيم

خواص :

(1)تابع پيوسته مي‌باشد.


2 3461090

: اتحاد روي بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

2 - تابع مطلوبيت غير مستقيم استون و جري:

Indirect addilog utility function

3 - تابع مطلوبيت غير مستقيم آديلاگ:

فرم عمومي تابع بصورت زير است:


2 3461090

4- تابع ترانسلاگ غير مستقيم : بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

فرم عمومي اين تابع بصورت زير است:

شرط:


2 3461090

فرم ديگر اين تابع بصورت زير است: بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

به عبارت كسري زير توجه نماييد:

سهم مخارج كالا

طبق اتحاد روي = X1


2 3461090

در صورتي كه و و برابر صفر باشند تابع مذكور هموتتيك خواهد بود و ضرايب و سهم مخارج آن كالا مي‌باشد و كشش درآمدي برابر صفر خواهد بود.

در بهينه

در بهينه

Almost Ideal demand system

4- تابع تقاضاي A.I.D.S يا سيستم تقاضاي تقريباً ايده‌آل:

اين تابع در سال 1980 توسط پيپون و مول ارائه شده است. اين تابع در واقع تابع مخارج مي‌باشد. اگر تابع مخارج اولاً نسبت به قيمت‌ها و مطلوبيت كاهشي نباشد و اگر نسبت به قيمت‌ها مقعر و همگن از درجه يك باشد مي‌توان سيستم معادلات تقاضايي را استخراج نمود كه به آن سيستم تقاضاي تقريباً ايده‌آل گويند.


2 3461090

تابع تقاضاي تقريباً‌ ايده‌آل بصورت زير تعريف مي‌شود:

(1)

هزينه فرط خوشحالي

هزينه حداقل معيشت

Expenditure for subsistence

Bliss expenditure

b(p) هزينه زماني كه u برابر يك است.

a(p) هزينه زماني كه u برابر صفر است.

برگشت

به اين نوع توابع، توابع pic Logگويند.

b(p) و a(p) تابعي از قيمت‌ها هستند. اين توابع بايد بگونه‌اي باشند كه تابع مخارج همگن از درجه يك نسبت به قيمت‌ها باشد. اين نوع توابع فرم توابع ترانسلاگ را دارند.



2 3461090

(3) داريم:

از رابطه (2) داريم:


2 3461090

در رابطه (3) به جاي عبارت مي‌توان از تساوي آن استفاده كرد:

نوعي شاخص است و لذا به جاي آن مي‌توان يك شاخص قيمت گذاشت.

مي‌دانيم:

در نهايت اين تابع تخمين زده مي‌شود. در بسياري از اين تحقيقات براي تخمين سهم مخارج از اين تابع استفاده مي‌كنند.


2 3461090

Money Metric Utility function مي‌توان از تساوي آن استفاده كرد:

5- تابع تقاضاي سنجه پولي:

فرض مي‌شود سطح زندگي بوسيله مقدار پول يا درآمد پولي مورد نياز براي تأمين آن سطح زندگي اندازه‌گيري مي‌شود.

نسبت مصرف از دو كالاي x1 و x2

.

.

نقاط روي نمايشي از سطح زندگي فرد است.

سطح زندگي بالاتر

سطح زندگي پايين‌تر

شاخصي از سطح زندگي (A و B) خواهند بود.


2 3461090

در قيمت‌هاي مرجع، هزينه حداقل رسيدن به است و در واقع استفاده از تركيب A در زندگي است.

در قيمت‌هاي مرجع، هزينه حداقل رسيدن به است و در واقع استفاده از تركيب B در زندگي مي‌باشد.

حال اگر هر نقطه دلخواهي مانند h را انتخاب كنيد در اين صورت مخارج بصورت زير خواهد بود:

مي‌توان از بسط تيلور استفاده كرد و بطور تقريبي E را بدست آورد. بدين منظور E را حول قيمت موجود h بسط مي‌دهيم:


2 3461090

اگر صفر را سال مبدأ و حداقل رسيدن به است و در واقع استفاده از تركيب h را سال كنوني در نظر بگيريم و شاخص پاشه را بنويسيم:

بنابراين براي محاسبه سنجه پولي كافي است GDP سال جاري را بر شاخص پاشه تقسيم نماييم.


ad