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INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA DÍA 25 * 1º BAD CS

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA DÍA 25 * 1º BAD CS. INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. Interpolación cuadrática: Su forma será: f(x) = a.x 2 + b.x + c Y hallaríamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: 2 = a.1 2 + b.1 + c 10 = a.3 2 + b.3 + c 26 = a.5 2 + b.5 + c , por el Método de Gauss

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INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA DÍA 25 * 1º BAD CS

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  1. INTERPOLACIÓNCUADRÁTICADÍA 25 * 1º BAD CS

  2. INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Interpolación cuadrática: • Su forma será: • f(x) = a.x2 + b.x + c • Y hallaríamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: • 2 = a.12 + b.1 + c • 10 = a.32 + b.3 + c • 26 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss • a+ b + c = 2 • 9.a + 3.b + c= 10 • 25.a + 5.b + c = 26 • a+ b + c = 2 • - 6.b – 8.c = - 8 • - 20.b – 24.c = - 24 • a+ b + c = 2 • - 6.b – 8.c = - 8 • - 2.b = 0  b = 0  c = 1  a = 1 • f(x) = x2 + 1 es la función de interpolación. Sea la Tabla: • X Y • 1 2 • 3 10 • 5 26 • Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes: • m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4 • m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8 • Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. • Debe pues hacerse una interpolación cuadrática.

  3. INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Sea la Tabla: • X Y • 1 2 • 3 10 • 5 26 • Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes: • m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4 • m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8 • Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. • Debe pues hacerse una interpolación cuadrática. m=8 m=4

  4. INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA • Al darnos más de tres puntos en la Tabla, veamos si existe Interpolación Cuadrática: • y  1 9 25 49 • Δy  8 16 24 • Δ2y  8 8 • Vemos que Δ2y = 8 = Cte • Si Δx=Cte e Δ2y =Cte  F. Cuadrática • Su forma será: • f(x) = a.x2 + b.x + c • Y hallaríamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: • 1 = a.12 + b.1 + c • 9 = a.32 + b.3 + c • 25 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss Sea la Tabla: • X Y • 1 1 • 3 9 • 5 25 • 7 49 • Si nos dan más de DOS puntos, calculamos las pendientes: • m=(9-1)/(3-1)= 8/2 = 4 • m=(25-9)/(5-3)=16/2 = 8 • Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. • Debe pues hacerse una interpolación cuadrática.

  5. Hallamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: • 1 = a.12 + b.1 + c • 9 = a.32 + b.3 + c • 25 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss • a + b + c = 1 • 9.a + 3b + c = 9 • 25.a + 5b + c = 25 • A la (2) la quito 9 veces la (1) • A la (3) la quito 25 veces la (1) • a + b + c = 1 • - 6.b – 8.c = 0 • - 20.b – 24.c= 0 • A la (3) la quito 3 veces la (2) • a + b + c = 1 • - 6.b – 8.c = 0 • - 2.b = 0 • Y obtengo b=0 • Si b=0  En la (2): c= 0 • Si b=0 y c=0  En la (1): a=1 • Luego la función interpoladora cuadrática será: • f(x) = a.x2 + b.x + c • f(x) = x2 • Interpolamos: • f(4) = 42 = 16 • Extrapolamos: • f(8) = 82 = 64

  6. Ejemplo: • Sea la población de Valladolid a lo largo de los últimos 10 años, dado en forma de tabla y en miles de habitantes. • Año 1992 1994 1996 1998 2000 • Habitantes 360 365 375 390 410 • Miramos si hay interpolación lineal: • m=(365-360)/(1994-1992)=5/2=2,5 • m=(375-365)/(1996-1994)=10/2=5 • Las pendientes no coinciden.  No hay interpolación lineal. • Estaríamos frente a una INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. Comprobamos: • Δx = 2 = Cte. • y  360 365 375 390 410 • Δy  5 10 15 20 • Δ2y  5 5 5 • Vemos que Δ2y = 5 = Cte • Si Δx=2=Cte e Δ2y =5=Cte  F. Interpolación Cuadrática • f(x) = a.x2 + b.x + c

  7. … Ejemplo: • Como Δx=2=Cte e Δ2y =5=Cte  F. Interpolación Cuadrática • f(x) = a.x2 + b.x + c  Tomamos tres puntos cualesquiera: • A(1992,360) , B( 1994, 365 ) y C (2000,410) • Resolvemos el sistema: • 360 = a.19922 + b. 1992 + c • 366 = a.19942 + b. 1994 + c • 410 = a.20002 + b. 2000 + c • 6 = (19942 - 19922).a + 2.b = 7972.a + 2.b  18 = 23916.a + 6.b • 44 = (20002 - 19942).a + 6.b = 23964.a + 6.b  44 = 23964.a + 6.b • que nos da: 26 = 48.a  a = 0,5416 ; b = - 2156,08 ; c = 2145903,36 • quedando la función: f(x) = 0,5416.x2 - 2156,08.x + 2145903,36 • que nos dará en todo momento el número de habitantes de Valladolid en cualquier año entre 1992 y 2000, sin mas que sustituir la “x” de la función por el año correspondiente.

  8. Antes Ahora • 1992  2 • 1994  4 • 1996  6 • 1998  8 • 2000  10 • ESTRATEGIA A SEGUIR PARA COEFICIENTES MUY GRANDES: • c + 1992.b + 19922 .a = 360 • c + 1994.b + 19942 .a = 366 • c + 2000.b + 20002 .a = 410 • Cambio: 1992  2 ,, 1994  4 • Queda: • c + 2.b + 22 .a = 360 • c + 4.b + 42.a = 366 • c + 10.b + 102.a = 410 • Resolvemos por Gauss: • c + 2.b + 4 .a = 360  c + 2.b + 4 .a = 360 • 2.b + 12.a = 6  2.b + 12 .a = 6 • 8.b + 96.a = 50  48.a = 26 • De donde a=26/48 = 0,5416, b= -0,2500; c= 358,3333 • La función de interpolación cuadrática es: • f(x) = 0,5416.x2 – 0,2500.x + 358,3333 • Hallar, por ejemplo, f(1997) sería hallar f(7)

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