Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

1. TBF 122 - Genel Matematik IIDERS – 4 : Determinantlar, Cramer Kuralı Leontief Girdi - Çıktı Analizi Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2. Bir Kare Matrisin Determinantı. Determinant kavramını tümevarımla tanımlayacağız. Bir m × nmatrisini-incisatırı vej-inci sütunu çıkarılarak elde edilen (m-1)×(n-1) matrise o matrisin i-j altmatrisidenir. Amatrisinin i-j altmatrisi A(i,j)ile gösterilir. 2×2matrisindeterminantı: matrisinin determinantı olarak tanımlanır n × nmatrisindeterminantı(n2): n × nmatrisindeterminantı, altmatrislerinin determinantları cinsinden tanımlanır. matrisindeterminantı olarak tanımlanır. Sigma gösterimi ile

3. Bu ifadeye A nın determinantının birinci satıra göre açılımı denir 3×3 matrisindeterminantı: - - - - - - Örnek. + + + + + +

4. Aynı determinantı birinci satıra göre açılım formülünden hesaplayalım: Örnek. Aşağıdaki 4 × 4 determinantı birinci satırına göre açılımını yaparak hesap-layalım

5. Determinantların temel özellikleri. Aşağıdaki özellikler determinant hesabında kolaylıklar da sağlar. Adaima bir n × nmatrisi göstermektedir. • Eğer Anın bir satırının her bir girdisi bir s sayısı ile çarpılarak elde edilen matrisA′ise,|A′|= s|A|dır. • Eğer Anın bir satırının bir sayı ile çarpılıp başka bir satırına toplanmasıyla elde edilen matrisA′ise,|A′|=|A|dır. • Eğer Anın iki satırının yerleri değiştirilerek elde edilen matrisA′ise,|A′|= -|A|dır. • Eğer A nın bir satırındaki tüm girdiler 0 ise, |A|= 0dır. • Eğer Anın iki satırı özdeş ise, |A|= 0dır. Bu ifadeye A nın determinantının i-inci satıra göre açılımı denir Bu ifadeye A nın determinantının j-inci sütuna göre açılımı denir • Yukarıda(iki, üç, dört, beş ve altıncı) özelliklerde satır sözcükleri yerine sütun yazılırsa, özellikler geçerliliğini korur.

6. Daha önce hesapladığımız 4×4determinantı, yukarıda ifade edilen özellikleri kulla-narak hesaplayalım.. birinci satır -4 ile çarpılıp üçüncü satıra, -3 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı ikinci satır -6 ile çarpılıp üçüncü satıra, -6 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı üçüncü satır -1 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı.

7. Determinantların bir diğer özelliği de çarpımsallık özelliğidir: • Ave B, n × n matrisler ise, |AB| = |A| |B| dir. A tersinir, AA-1=I  |AA-1| = |I| |A||A-1|=1. Böylece, bir kare matrisin tersinir olup olmadığını, determinantına bakarak belirleyebiliriz: • Amatrisinin tersinir olması için gerek ve yeter koşul, |A| ≠ 0 olmasıdır. Atersinir ise, |A-1|= (|A|)-1dir.

8. Bir n × n matris A = [aij ] , 1 ≤ i , j ≤ n verilmiş olsun. A nın k-inci satırını atıp onun yerine i-inci satırını yazarak elde edilen matris A′ ile gösterilsin. Eğer k ≠ i ise, A′ nün iki satırı aynı olacağından |A′ | = 0 dır; k-inci satıra göre açılım yazılırsa, Ters Matris , Cramer Kuralı. elde edilir. Burada, k ≠ i olduğunu unutmayalım. k = i için yukarıdaki ifade |A | ya eşit olacağından, olduğu görülür.| A | ≠ 0ise, iki taraf| A |ile bölünerek olan matrisin Anın tersi, A-1, elde edilir. Son ifade, j-k girdisi

9. olduğunu gösterir. Gerçekten, A ile j-kgirdisi cjkolan matrisin çarpımının i-kgirdi-si, Anın i-inci satırı[ai1 , ai2 , . . . , ain]ile diğer matrisink-inci sütunu nın çarpımı, yani olur ki, bu, söz konusu iki matrisin çarpımının birim matris, In, olduğunu gösterir. O halde,| A | ≠ 0ise,A = [ aij ] nin tersi, dır.

10. Özel olarak, 3×3 matrisler için ; | A |≠0 ise, Yukarıdaki tartışmalar, 2×2 matrisler için de geçerlidir.A(1,1) = a22, A(1,2) = a21, A(2,1) = a12veA(2,2) = a11, |A| = a11 a22 – a21a12alınarak ; a11 a22 – a21a12≠0 ise, elde edilir.

11. Örnek. matrisinin tersini bulalım. ve böylece

12. Örnek. matrisinin tersini bulalım. 0 0

13. Ters matris için yukarıda bulunanlar doğrusal denklem sistemlerinin çözümüne uygulanınca, Cramer Kuralı olarak bilinen kural elde edilir. Değişken sayısı denklem sayısına eşit olan doğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisini A , değişkenlerden oluşan sütun matrisini X ve sağ taraf sabitlerinden oluşan sütun matrisini B ile göstererek verilen denklem sisteminin AX = B matris denklemi olarak yazılabileceğini; A tersinir ise, bu denklemin tek bir çözümü bulunduğunu ve çözümün X = A-1B ile verildiğini biliyoruz.

14. Dolayısıyla, denklem sisteminin tek çözümünün i-inci bileşeni, A-1in i-inci satırı ile Bnin çarpımıdır. A-1in hesabı için yukarıda geliştirdiğimiz yöntem kullanılırsa, çözümün i-inci bileşeninin olduğu görülür. Dikkat edilirse, yukarıda ikinci ifadedeki toplam, katsayılar matrisi A nın i-inci sütununun B sütunuyla değiştirilmesiyle elde edilen matrisin determinan-tının i-inci sütuna göre açılımıdır. Anıni-inci sütununun B sütunuyla değiştirilmesiyle elde edilen matris A(i,B)ile gösterirlirse, olduğu görülür. Elde edilen sonucu teorem olarak ifade edelim.

15. Elde edilen sonucu teorem olarak ifade edelim. Teorem (Cramer Kuralı). Eğer denklem sisteminin katsayılar matrisi Atersinir ise, bu sistemin bir tek çözümü vardır ve bu tek çözüm, Anıni-inci sütunu sistemin sağ taraf sabitlerinden oluşan Bsütunuyla değiştirilince elde edilen matris A(i,B)olmak üzere, dır.

16. Cramer kuralının üç değişkenli denklem sistemi için, katsayılar matrisinin determinantı | A | ≠ 0 olmak koşuluyla, çözüm dır. Bir örnek verelim.

17. Örnek. denklem sistemini Cramer kuralı ile çözelim. Katsayılar matrisinin ve bu matrisin sütunlarını, sırasıyla, sağ taraf sabitlerinin oluşturduğu sütunla değiştirince elde edilen matrislerin determinantları Böylece, sistemin tek çözümü, olarak elde edilir.

18. Örnek. denklem sistemini Cramer kuralı ile çözelim. Katsayılar matrisinin ve bu matrisin sütunlarını, sırasıyla, sağ taraf sabitlerinin oluşturduğu sütunla değiştirince elde edilen matrislerin determinantları Böylece, sistemin tek çözümü, olarak elde edilir.

19. Örnek. denklem sistemini Cramer kuralı ile çözelim. Katsayılar matrisinin ve bu matrisin sütunlarını, sırasıyla, sağ taraf sabitlerinin oluşturduğu sütunla değiştirince elde edilen matrislerin determinantları Böylece, sistemin tek çözümü, , olarak elde edilir.

20. Cramer kuralı iki değişkenli iki denklemden oluşan denklem sistemleri için de geçerlidir: ise, denklem sisteminin tek çözümü yanda verildiği gibidir. Örnek. denklem sisteminin katsayılar matrisinin determinantı olup sistemin tek çözümü dir.

21. Leontief Girdi - Çıktı Analizi Leontief Input - Output Analysis

22. Wassili Leontief 1906 yılında Petersburg’da doğdu. Üniversiteyi Petersburg’da bitirdi; Almanya’da doktora yaptı. 1931 yı-lında New York’a gitti. 1973 yılında Nobel ekonomi ödülünü aldı. 1999 yılında vefat etti.

23. Girdi – Çıktı Analizi, bir ekonomideki endüstrilerin son(dış) taleplerle birlikte birbirlerinin(iç) taleplerini de karşılayacak kadar üretim yapmalarını sağlayacakdenge koşullarınıbelirlemek için yapılır. Örnek olarak, iki endüstrili bir ekonomi düşünelim. Elektrik Şirketi E ve Su Şirketi S. Her iki şirketin de çıktısı(output) TL ile ölçülsün. Elektrik şirketi, su ve elektrik kullanarak elektrik; su şirketi de yine su ve elektrik kullanarak su üretiyor. • 1 TL lik elektrik üretmek için 0.2 TL lik elektrik ve 0.1 TL lik su , • 1 TL lik su üretmek için 0.4 TL lik elektrik ve 0.2 TL lik su gerekiyor. Dış sektörün talebi ise,18 000 TL lik elektrik ve 12000 TL lik su. Denge koşullarını belirleyelim.

24. Elektrik Şirketi E ve Su Şirketi S. • 1 TL lik elektrik üretmek için0. 2 TL lik elektrik ve 0.1 TL lik su , • 1 TL lik su üretmek için0.4 TL lik elektrik ve0.2 TL lik sugerekiyor. Dış sektörün talebi 18000 TL lik elektrik ve12 000 TL lik su. Önce, dış talep kadar, yani18 000 TL lik elektrik ve12 000 TL lik suüretildiğini varsayalım: Bu takdirde, şirketlerin harcamaları gereken elektrik ve su miktarları şöyledir: 0.2(18000) + 0.4(12000) = 8400 TL lik elektrik, 0.1(18000) + 0.2(12000) = 4200 TL lik su Su üretmek için harcanan elektrik Elektrik üretmek için harcanan elektrik Elektrik üretmek için harcanan su Su üretmek için harcanan su Bu durumda dışarıya sadece9600 TL lik elektrikve7800 TL lik suverilebilir. Denge koşulları gerçekleşmemiştir!.. Denge koşulları ne zaman gerçekleşir? Üretilen su ve elektrik tüm iç ve dış talepleri karşıladığı zaman.

25. Temel Girdi-Çıktı Problemi: Bir ekonomide her bir endüstrinin üretim gerçekleştirebil-mesi için gerekli iç talepleri bilindiğinde, bu endüstrilerin hemiçtaleplerihem dedış taleplerikarşılayacakçıktısağlamaları içindenge koşullarının belirlenmesi.. Yukarıda ele aldığımız modelde, elektrik(E) ve su(S) şirketlerinin hem iç talepleri hem de dış talepleri karşılayacak şekilde üretim yapması isteniyor. Dengekoşullarınıbelirlemek için x1 = elektrik şirketinin toplam çıktısı, x2 = su şirketinin toplam çıktısı olsun. İç Talepler Dış talepler Elektrik için0.2x1+ 0.4x2, Elektrik içind1 = 18 000, Su için 0.1x1+ 0.2x2 Su içind2 = 12000 TL.

26. İç ve dış talepler birleştirilince denklem sistemi elde edilir ki, bu sistem matris biçiminde Çıktı matrisi Teknoloji matrisi olarak ifade edilebilir. Eğer Dış talep matrisi tanımlanırsa, yukarıdaki denklem X = MX + D matris denklemine dönüşür.

27. Elde edilen matris denklemi X = MX + D ya da (I - M)X = D biçiminde yazılabilir. Bu matris denklemi, öğrendiğimiz yöntemlerden herhangi biri ile çözülebilir. Katsayılar matrisi, I-M, bir kare matris olduğundan, bu matris denklemi ters matristen yararlanılarak çözülebilir: Biz örnek problemimizin matris denklemini Cramer Kuralı ile çözeceğiz. , Cramer Kuralında ile girdi-çıktı denkleminin çözümü olarak elde edilir. O halde, iç ve dış talebin karşılanabilmesi için x1 = 32000 TL lik elektrik ve x2 = 19000 TL lik su üretilmelidir. Bu üretimle, 18000 TL lik elektrik ve 12000 TL lik su olan dış talep karşılanacak ve bunu mümkün kılacak üretimin yapılabilmesi için gerekli iç talep de karşılanacaktır.

28. 1 TL lik Eiçin Egirdisi Çıktı S E 1 TL lik Siçin Egirdisi E Girdi S 1 TL lik Siçin Sgirdisi 1 TL lik Eiçin Sgirdisi Tartışmış olduğumuz problem iki endüstrili bir ekonomide girdi-çıktı problemidir. Çözüm yöntemimizi tekrar gözden geçirelim. E ve S endüstrileri Teknoloji matrisi: Çıktı matrisi: Dış talep matrisi :

29. 1 TL likE1için E1girdisi Çıktı E2 E1 1 TL likE2için E1girdisi E1 Girdi E2 1 TL likE2için E2girdisi 1 TL likE1için E2girdisi İki endüstrili ekonomi modeli E1ve E2endüstrileri Teknoloji matrisi: Çıktı matrisi: Dış talep matrisi :

30. E1 Girdi E2 E2 E1 Çıktı aij: Ejnin1 TL lik çıktı yapması için Eiden beklenen girdi X = MX + D Girdi – Çıktı matris denklemi: Girdi-çıktı matris denklemi, doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için gördüğü-müz yöntemlerden herhangi biri ile çözülebilir. Gauss-Jordan yoketme yöntemi, ters matris yöntemi ve Cramer Kuralı gibi. X = (I - M)-1 D. (I - M)-1var olmak koşuluyla, ters matris yöntemi ile çözüm:

31. Üç endüstrili ekonomi modeli E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1, E2ve E3endüstrileri (Çıktı Matrisi) (Dış Talep Matrisi) (Teknoloji Matrisi) aij: Ejnin1 TL lik çıktı yapması için Eiden beklenen girdi Girdi – Çıktı matris denklemi: X = MX + D İki endüstrili modelde olduğu gibi, girdi-çıktı matris denklemi, doğrusal denklem sis-temlerinin çözümü için gördüğümüz yöntemlerden herhangi biri ile çözülebilir. Gauss-Jordan yoketme yöntemi, ters matris yöntemi ve Cramer Kuralı gibi. (I - M)-1var olmak koşuluyla, ters matris yöntemi ile çözümX = (I - M)-1 Dverir.

32. Örnek.Enerji (E), İnşaat (İ) ve Taşımacılık (T) sektörlerinden oluşan bir ekonomide, 1 TL likenerji üretimi için 0.3TL likenerji, 0.2 TL lik inşaat, 0.1 TL lik taşımacılık girdisi; 1 TL likinşaat için 0.2 TL lik enerji, 0.1TL likinşaat, 0.1 TL lik taşımacılık girdisi; 1 TL liktaşımacılık için 0.2TL likenerji, 0.1 TL likinşaat ve 0.1 TL liktaşımacılık girdisi gerekmektedir. Dış talep, enerji için 30 milyonTL lik, inşaat için 20 milyon TL lik ve taşımacılık için 20 milyon TL liktir. İç ve dış talebin denge koşullarında karşılanabil-mesi için her sektörün gerçekleştirmesi gereken çıktı ne kadar olmalıdır? Teknoloji matrisi, çıktı matrisi ve dış talep matrisi, sırasıyla, şöyledir:

33. O halde, iç ve dış talebin tamamının karşılanabilmesi için, enerji sektörü 64 milyon TL lik, inşaat sektörü 40.2 milyon TL lik ve iinşaatsektörü 33.8 milyon TL lik çıktı ger-çekleştirmelidir.