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Matemática Financeira e Informática de Gestão

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Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2010/2011. Matemática Financeira e Informática de Gestão. Primeira Aula. 2. Objectivos da Disciplina. 1ª Parte (12 aulas) Taxa de juro, capitalização e desconto Instrumentos financeiros sem risco: depósitos e créditos bancários; obrigações

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objectivos da disciplina
Objectivos da Disciplina

1ª Parte (12 aulas)

Taxa de juro, capitalização e desconto

Instrumentos financeiros sem risco: depósitos e créditos bancários; obrigações

Transformação de stocks financeiros em fluxos financeiros (rendas / amortizações)

Medidas de desempenho de um investimento

os preços correntes e preços constantes

3

objectivos da disciplina4
Objectivos da Disciplina

2ª Parte (6 aulas)

Risco do negócio. Modelos estatísticos.

Instrumentos financeiros com risco: seguros, acções e obrigações com risco de falha

Carteiras de activos: diversificação e alavancagem

4

objectivos da disciplina5
Objectivos da Disciplina

3ª Parte (6 aulas)

Programação em R

Aplicações retiradas das primeira e segunda partes do texto.

A linguagem de programação desenvolve a capacidade de análise e é uma poderosa ferramenta na modelização dos problemas da Matemática Financeira.

5

avalia o
Avaliação

Avaliação Contínua

Um teste sobre a 1ª parte (50% da nota)

Um teste sobre as 2ª e 3ª partes (50%)

Para fazer avaliação contínua têm que frequentar 75% das aulas

Avaliação por Exame (2 épocas)

O segundo teste é parte do exame

Mesmo fazendo o 1º teste, pode deitar fora e fazer o exame contando a melhor nota

6

material de estudo
Material de estudo

Existem disponíveis em formato digital

Uma página

www.fep.up.pt/docentes/pcosme/MFIG.G106.2010

um texto que segue as aulas

Um ficheiro excel com os exercícios do texto

As apresentações das aulas em Power Point

Cadernos de exercícios resolvidos

7

o contrato de d bito cr dito
O contrato de débito/crédito
  • Existem três razões principais para a haver contratos de crédito.
    • O ciclo de vida das pessoas
    • Poder ocorrer um período de “desemprego” ou de despesas acrescidas (e.g., doença)
    • O capital ser produtivo
o ciclo de vida
O ciclo de vida
  • Uma das mais obvias razões para a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas.
    • As pessoas precisam de consumir sempre
    • Existem longos períodos em que não têm rendimento (quando crianças e “velhos”)
o ciclo de vida12
O ciclo de vida
  • As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados
    • Em média, é-se “criança” durante 20 anos
  • Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice)
    • Em média, é-se activo durante 45 anos
o ciclo de vida13
O ciclo de vida
  • Quando reformados, não geram rendimento suficiente para sobreviver, mas têm os recursos que emprestaram
    • Em média, a reforma dura 15 anos
  • Esses recursos vão-se esgotando
o desemprego
O desemprego
  • O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias
  • E, de repente, qualquer pessoa pode ficar desempregada.
    • A probabilidade será de 10%/ano
o desemprego15
O desemprego
  • E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego
    • Em média, 12 meses
  • E o salário é menor que o anterior
    • Inicialmente ganha-se menos 15%
  • Será necessário poupar recursos para essa eventualidade.
    • Deverão ter uma poupança  12 salários.
cataclismos
Cataclismos
  • Podem ocorrer imponderáveis
    • O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar e necessitando de tratamento médico.
    • Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação.
    • Pode ter um incêndio em casa.
  • É necessário ter uns activos de lado ou pedir emprestado na adversidade
o capital ser produtivo
O capital ser produtivo
  • O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital
    • máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.
  • Se um indivíduo pedir emprestado dinheiro, pode comprar bens de capital e aumentar o seu rendimento
    • Mais tarde, pode devolver o capital pedido
o capital ser produtivo18
O capital ser produtivo
  • Também existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo
    • Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.
  • Estes bens “produzem” utilidade
    • As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.
o empr stimo em dinheiro
O empréstimo em dinheiro
  • Numa sociedade “atrasada”,
    • Armazenam-se bens
    • Emprestam-se bens e serviços
  • Numa sociedade com moeda, empresta-se dinheiro
o empr stimo em dinheiro20
O empréstimo em dinheiro
  • O armazenamento de recursos tem custos muito elevados
    • A roupa passa de moda
    • A comida estraga-se
    • Os carros enferrujam
  • É vantajoso emprestar dinheiro e mais tarde tê-lo de volta para comprar bens e serviços
o empr stimo em dinheiro21
O empréstimo em dinheiro
  • Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos
  • Se poupamos dinheiro, nós deixamos de consumir recursos (bens e serviços)
  • Mas, a quem emprestamos, vai consumir esses recursos que poupamos.
o empr stimo em dinheiro22
O empréstimo em dinheiro
  • Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro emprestado
    • As crianças, os desempregados e as vítimas de acidentes
    • Os empreendedores
  • Outras que precisam de guardar dinheiro
    • Os indivíduos activos e empregados.
a taxa de juro24
A taxa de juro
  • Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade
    • A diferença denomina-se por JURO
  • O Juro pode ser entendido como a remuneração de eu adiar o consumo, o custo de antecipar o consumo
a taxa de juro25
A taxa de juro

Por exemplo, eu empresto 5000€ a um familiar e recebo daqui a 10 anos 7500€.

Recebo o capital que são 5000€ mais os juros que são 2500€.

25

a taxa de juro26
A taxa de juro
  • O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo.
  • Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo
  • Historicamente é positivo
taxa de juro
Taxa de juro
  • Hoje faço anos e deram-me 1000€
    • Hipótese 1: entregam-mos agora.
    • Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.
  • Qual das hipóteses será preferível?
taxa de juro positiva
Taxa de juro positiva
  • Se for preferível a hipótese 1 então aceitamos uma taxa de juro positiva
    • Podia depositá-lo a juros
    • O dinheiro vai desvalorizar
    • O doador pode morrer (e a oferta falhar)
a taxa de juro29
A taxa de juro
  • É positiva por três razões
    • Existe uma remuneração real
      • As pessoas preferem o presente ao futuro
      • O capital é produtivo: existem empreendedores
      • Há concorrência pelo capital escasso
    • Há inflação
      • Os preços aumentam havendo necessidade de corrigir esta perda de poder de compra
    • Há risco de incumprimento
      • É uma lotaria
juro real
Juro real
  • Podia receber um juro real
    • O capital é produtivo.
      • E.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com apenas um pau.
    • O capital é escasso
    • Quem precisar de capital estará disponível a pagar uma remuneração positiva pelo empréstimo do capital.
juro real31
Juro real
  • É preferível consumir hoje.
  • As pessoas preferem o Presente ao Futuro
    • No Futuro estamos mortos
    • No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos tanta utilidade do consumo
  • Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser “remunerado”.
  • Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que “pagar”.
juro real32
Juro real
  • Inicialmente tenho V0 euros
    • Supondo que os preços se mantêm e que não existe risco, para uma taxa de juro r%
    • Terei no fim do período

V1 = V0(1+ r)

Ex., para V0 = 10000€ e r = 10%, terei

V1 = 10000(1+ 10%)=11000€

infla o
Inflação
  • O dinheiro vai desvalorizando
  • O valor do dinheiro resulta de podermos comprar bens e serviços.
    • Como existe inflação (i.e., o preço dos bens e serviços aumenta com o tempo), a quantidade de bens que posso comprar com um Euro diminui com o tempo.
    • O valor do dinheiro diminui com o tempo
infla o34
Inflação
  • Inicialmente tenho V0 euros
  • Os preços, em média, aumentam %.
  • Para no fim do período poder comprar os mesmos bens e serviços terei que ter

V1 = V0(1+ )

Considerando o duplo efeito virá

V1 = [V0(1+ r)](1+ )

infla o35
Inflação
  • Por exemplo, quero uma remuneração real de 7.5% e uma correcção da inflação que é de 5%. Emprestando 5000€ quero receber

V1 = [5000(1+ 7.5%)](1+ 5%)

=5643.75€

risco de incumprimento
Risco de incumprimento
  • O Futuro é incerto.
  • Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar receber o dinheiro mais os juros
  • Mas posso não receber nenhum deles
    • Ou receber apenas parte
  • A obrigação pode não ser cumprida
risco de incumprimento38
Risco de incumprimento
  • Vamos supor que eu emprestei V0 euros e vou receber (penso eu) V1 euros.
  • Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terei que contratar uma taxa que corrija este risco

V0 = 0 x p + V1 x (1 - p)

V1 = V0 / (1 - p)

p>0  V1 > V0

risco de incumprimento39
Risco de incumprimento
  • O risco acresce à taxa de juro real e à correcção da taxa de inflação

V1 = {[V0(1+ r)](1+ )}/(1-p)

  • Então, a taxa de juro contratada será

i = (1+ r)(1+ ) / (1-p) - 1

risco de incumprimento40
Risco de incumprimento

Vamos supor que eu empresto

1000€

pretendo uma taxa de juro real de 6%

a inflação prevista será de 8%

o risco de incumprimento é de 10%.

Qual deverá que ser a soma prometida no fim do prazo?

40

risco de incumprimento41
Risco de incumprimento

V1 = 1000 (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%)

= 1272€

A taxa de juro será 27.2%

a taxa de juro42
A taxa de juro
  • Haverá razões para que a taxa de juro seja negativa?
    • O dinheiro que guardo em casa pode ser roubado
    • Se houver poucas criancinhas e poucos empresários, não há a quem emprestar dinheiro
      • i.e., se não houver crescimento económico
a taxa de juro43
A taxa de juro
  • Historicamente, os efeitos “negativos” são menores que os efeitos “positivos”
    • Há uma tendência secular de crescimento económico
  • Historicamente, a taxa de juro é positiva
a taxa de juro44
A taxa de juro

Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010

(fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, “Acumulação de capital e crescimento económico em Portugal: 1910-2000”, UA-WP, 20, Quadro 1)

44

a taxa de juro45
A taxa de juro
  • As unidades de juro são em termos de unidades de capital por unidades de tempo.
  • e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano
    • Seria uma taxa de juro de 10% por ano
a taxa de juro46
A taxa de juro
  • Como o juro incorpora 3 elementos
    • A remuneração do capital (o juro real)
    • A inflação
    • O risco de não cobrança
  • Em termos de taxas temos, num ano

Vfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

a taxa de juro47
A taxa de juro
  • Para valores de r,  e p pequenos, é aceitável somas as 3 parcelas:
a taxa de juro48
A taxa de juro
  • Supondo que eu empresto 1000€, durante 1 ano.
    • A inflação (prevista) é de 5% ao ano
    • O juro real (acordado) é de 2% ao ano
    • O risco de não cobrança é de 3% ao ano
  • Qual deve ser a taxa de juro?
  • Quanto dinheiro devo acordar receber?
a taxa de juro49
A taxa de juro

A taxa de juro deve ser de10.41%:

1+i = (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)

i =10.412%

Devo exigir receber (daqui a um ano)

V1 = 1000 x (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)

V1 = 1104.12€

Os juros serão 104.12€.

a taxa de juro50
A taxa de juro

A soma das parcelas daria 10%

0.05 + 0.02 + 0.03

A taxa calculada é 10.412%

Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor é a diferença

a taxa de juro51
A taxa de juro
  • Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas
    • O risco de grandes somas é mais que proporcional ao risco das pequenas somas
      • Por causa da diversificação do risco
    • O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos
      • O futuro distante é menos previsível
a taxa de juro52
A taxa de juro
  • Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano.
    • E.g. 4.47%/ano
  • Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor
a taxa de juro53
A taxa de juro
  • Taxa EURIBOR
    • É a taxa de juro por ano que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si
    • É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação).
a taxa de juro54
A taxa de juro

EURIBOR a 6 meses entre 1-1-2008 e 30-4-2010

54

a taxa de juro55
A taxa de juro

EURIBOR dependendo do prazo do contrato

(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2010 direita)

a taxa de juro56
A taxa de juro
  • Taxa EURIBOR
    • Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o credor tem do risco de não cobrança de cada cliente.
    • Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários
a taxa de juro57
A taxa de juro
  • Taxa de desconto do Banco Central
    • O BC controla a quantidade de papel moeda em circulação,
    • i.e, controla o nível médio de preços
    • Não tem qualquer efeito real (monetaristas)
    • Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto
a taxa de juro58
A taxa de juro
  • Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco
    • A cedência de liquidez é de “último recurso”.
    • Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1 ponto percentual
    • Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p.

(actualmente este aumento está suspenso)

a taxa de juro61
A taxa de juro
  • O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento.
  • O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis
a taxa de juro62
A taxa de juro
  • Ex.1.3: assuma o seguinte score:
    • PJA: Proporção dos juros e amortizações no rendimento mensal
    • PDP: Proporção das dívidas no património
    • IM: Idade média do casal
  • Score = 100PJA + 25PDP + IM
a taxa de juro63
A taxa de juro
  • score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp
  • 80 < score ≤ 130, o spread será 1.75 pp
  • score > 130, o banco não concede crédito.
  • Qual o spread de um casal, com 2M€/mês, património de 100M€, 26 + 30 anos, e que pedem 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€?
    • Assuma uma prestação mensal de 6€/1M€.
a taxa de juro64
A taxa de juro
  • Como o Score
  • p = 100x6x175/2000

+ 25.[175/(100 + 250)]

+ 28 = 95.1

está no intervalo ]80, 130],

o spread será de 1.75pp.

capitaliza o
Capitalização
  • A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano.
    • Se a duração do contrato for de vários anos mas os juros forem pagos no final de cada ano
    • Estamos sempre a voltar à situação inicial.
  • Esta é a situação dita normal.
capitaliza o67
Capitalização
  • Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos)
  • Cada ano, o capital aumentará
    • Haverá lugar a juros dos juros não pagos.
  • Esta é a situação capitalizada.
capitaliza o dita simples
Capitalização dita simples
  • Neste caso, desprezamos os juros dos juros.
  • Cada ano, os juros são o capital inicial a multiplicar pela taxa de juro anual

J = Vinicial i

  • No final de n anos, receberemos

Jtotal = Vinicial ni

Vfinal=Vinicial +Jtotal= Vinicial  (1+ ni)

itotal = n i

exerc cio
Exercício
  • Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples.
    • Spread de 2 pontos percentuais
  • A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.
  • Qual a quantia a pagar?
exerc cio70
Exercício
  • R. Os juros serão

J = 10M€(5.754% + 6.217% + 6.765%)

= 1873.60€

O capital final será

V = 10000€ + 1873.60€

=11873.60€.

exerc cio71
Exercício

C3: =B3*B$1

C6: =SUM(C3:C5)

C7: =C6 + B1

exerc cio72
Exercício

O saldo corrente de uma conta é remunerado à taxa de 2%/ano, capitalização simples, a creditar em 1Jan do ano seguinte.

Calcule o total dos juros para uma situação concreta.

72

exerc cio74
Exercício

E5: =A6-A5 F5:=D5*E5/B$2*B$1

D6:=C6+D5

C15: =SOMA(F5:F14)

74

capitaliza o composta76
Capitalização Composta
  • Neste caso, vamos considerar os juros dos juros.
  • Cada ano, os juros acrescem ao capital

Jt+1 = Vt i

Vt+1 = Vt + Vt i = Vt (1+ i)

  • No final de n anos, receberemos

Vfinal=Vinicial(1 + itotal) = Vinicial(1 + i)n,

Vinicial(1 + itotal) = Vinicial(1 + i)n,

itotal = (1 + i)n - 1

exerc cio77
Exercício
  • Ex.1.6. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta.

i) Qual o capital final a receber

ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.

exerc cio78
Exercício
  • i) O capital final a receber será de

25000 (1 + 5%)5 = 31907.04€

  • ii) A taxa de juro do contrato será

(1+5%)5 –1 = 27.628%

com capitalização simples seria menor

= 5x5% = 25%

exerc cio79
Exercício

Ex.1.7. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são postecipados, capitalização composta.

A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano e 6.765%/ano, respectivamente.

Qual a quantia a pagar?

79

exerc cio80
Exercício
  • O valor a receber será

V(1+ 0.05754)(1+ 0.06217)(1+0.06765)

=11992.78€

exerc cio82
Exercício

Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no início de cada mês fez os seguintes movimento bancário: +250; +100; –50; +125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0; 200. Para uma taxa de juro constante de 0.165%/mês, determine o saldo da conta no fim do ano com capitalização mensal composta.

82

exerc cio84
Exercício

B1: =(1+B2)^12-1

C4: =B4; D4: =C2*B$2; E4: =C4+D4 e copiava

C5: = B5+E4 e copiava

F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava

F16: =sum(F4:F15).

84

exerc cio85
Exercício

B1: =(1+B2)^12-1

A taxa anual é a capitalização 12 meses da taxa mensal

Se fizesse =12* B2 tinha a taxa nominal

Capitalização simples

Assim é a taxa efectiva

85

per odo de tempo fraccion rio
Período de tempo fraccionário
  • Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1
  • O número de anos é inteiro.
  • No entanto, podemos extrapolar o conceito de capitalização a fracções do ano.
per odo de tempo fraccion rio87
Período de tempo fraccionário
  • Sendo que empresto 1000€ durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):
per odo de tempo fraccion rio88
Período de tempo fraccionário

i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227%

    • 3 meses correspondem a 0.25 anos.
  • Vou receber 12,27€ de juros
  • Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5%

(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%

per odo de tempo fraccion rio89
Período de tempo fraccionário
  • Ex.1.11. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado.
  • Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?
per odo de tempo fraccion rio90
Período de tempo fraccionário
  • R. A taxa mensal será

(1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796%

    • Um mês corresponde a 1/12 anos

 465.80€ de juros referentes ao mês

per odo de tempo fraccion rio91
Período de tempo fraccionário

Ex.1.12. Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25%. Supondo que os juros são pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro trimestral?

91

per odo de tempo fraccion rio92
Período de tempo fraccionário

R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro trimestral será dada por

(1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.

92

valor futuro valor capitalizado
Valor Futuro = Valor capitalizado
  • O valor que uma soma de dinheiro do presente terá no futuro
  • Traduz o total a pagar pelo devedor no final do prazo acordado:
    • valor futuro do capital emprestado.
valor futuro
Valor Futuro
  • Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a licenciatura. Supondo uma taxa de juro de 10%/ano, qual a soma de dinheiro mais apetecível?
valor futuro95
Valor Futuro

R. O valor futuro dos actuais 1000€ daqui a 3 anos será

1000(1+10%)^3 = 1331€

que é maior que os 1200€ que então receberão

Então, será melhor receber os 1000€ já.

95

valor futuro96
Valor Futuro

Ex.1.14. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a taxa de juro desta aplicação?

96

valor futuro97
Valor Futuro
  • R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:
  • será 7.277%/ano:
valor futuro99
Valor Futuro

Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.

  • As prestações são antecipadas

Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?

valor futuro100
Valor Futuro

O valor futuro de 1000€ depositados no início do mês i é

O valor futuro total valerá

que, resolvido no Excel, resulta em 66395.68 €.

valor futuro101
Valor Futuro

C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna

C62: =Soma(B2:B61)]

desconto
Desconto
  • Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo
  • Descontar é andar no tempo para trás
  • É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um número negativo de anos
desconto valor passado
Desconto = Valor passado
  • Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente
    • Eu recebi hoje 1000€ de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?
desconto valor actual
Desconto = Valor actual
  • Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro
desconto valor actual105
Desconto = Valor actual
  • No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€, pagos daqui a 10 anos.
  • Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100€ de daqui a 10 anos valem no presente

100€ x 1.06–10 = 55.84€.

desconto valor actual106
Desconto = Valor actual
  • Ex.1.16. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?
desconto valor actual107
Desconto = Valor actual
  • Posso “vender” este activo e receber no presente 2313.77€ (a outra pessoa que tenha uma taxa de desconto <=5%).
desconto valor actual108
Desconto = Valor actual
  • Ex.1.19. Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?
desconto valor actual109
Desconto – Valor actual
  • R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.
desconto valor actual110
Desconto = Valor actual

Ex.1.18. Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher receber 350k€ agora ou 1000€ no fim de cada mês dos próximos 50 anos.

Determine a taxa de juro implícita nesta opção

110

desconto valor actual111
Desconto = Valor actual

R. Vou descontar cada um dos 1000€ ao presente, somá-las todas e aplicar a ferramenta atingir objectivo.

111

desconto valor actual112
Desconto = Valor actual

B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3;

C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)

112

desconto valor actual113
Desconto = Valor actual

Goal Seek = Atingir Objectivo

Menu Data+ Data Tools + what if analysis

113

rendas
Rendas
  • Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.
  • 1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato.
  • 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.
rendas117
Rendas
  • Vamos explorar uma outra possibilidade
  • É paga uma prestação em cada período
  • No final do prazo não há mais nada a pagar
    • Cada prestação contêm juros e amortização do capital
  • Denominamos este plano como uma Renda
rendas118
Rendas
  • Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento.
  • Um stock num fluxo
rendas119
Rendas
  • As prestações podem ser
    • regulares ou irregulares no tempo
    • constantes ou variáveis no valor
    • haver ou não diferimento de alguns períodos
    • terem duração limitada ou serem perpétua
rendas120
Rendas
  • Emprestamos um capital que recuperamos na forma de uma renda
    • e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um rendimento mensal
  • Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda
    • e.g., um crédito à habitação que amortizamos mensalmente
  • Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital
    • e.g., depositamos uma quantia mensal para comprar um barco a pronto no futuro
rendas121
Rendas
  • Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital
    • e.g., termos um rendimento mensal à custa de uma herança que vamos receber no futuro
  • Receber uma renda que pagamos na forma de renda
    • e.g., pagamos os estudos com um financiamento mensal que amortizamos no futuro com uma prestação mensal.
rendas122
Rendas
  • Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente.
  • Para efeito de comparação, podemos usar outro instante de tempo qualquer mas tem que ser o mesmo para todas as prestações
rendas123
Rendas
  • Temos que clarificar o que é
    • um instante de tempo e
    • um período de tempo
  • O tempo é uma linha contínua
rendas124
Rendas

Cada ponto é um instante de tempo

e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010.

Um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois instantes de tempo,

e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho de 2010.

O instante final de um período é sempre o instante inicial do período seguinte.

e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.

124

rendas125
Rendas

Ex.1.21.No sentido de se licenciar, um estudante necessita uma renda antecipada cuja prestação mensal é de 300€/mês e a duração de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de 5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor actual dessa renda

125

rendas126
Rendas

B4: =B$2 C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava

C40: =SUM(C2:C37).

Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes fraccionadas nos anos, (A4-1)/12.

126

rendas127
Rendas
  • Ex.1.22. O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês.
  • Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e
  • Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 10000€ cada.
  • Determine a taxa de juro implícita.
rendas128
Rendas
  • F2: =(1+F1)^(1/12)-1
  • C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602;
  • F3: =Soma(C2:C602).
  • Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da célula F1.
rendas129
Rendas
  • Ex.1.23. Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar?

720.29€ / mês

rendas131
Rendas
  • Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente
  • B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e depois copiamos ambas em coluna.
  • C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.
  • Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo C603 para 0 por alteração de E3.
conta corrente
Conta corrente
  • Ex.1.25. Vou referir cada prestação a um instante de tempo.
  • Uns poupam, em média, 325€/mês para dar 750€/mês ao filho quando for para a universidade. Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos (colunas A e B).
  • A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa de juro passiva) é de 2%/ano.
conta corrente133
Conta corrente

C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1)

F2: =C2+E2 C3: =B3+F2 e copiava em coluna B84=-F2

133

renda perp tua
Renda perpétua

Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre.

Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros

135

renda perp tua136
Renda perpétua
  • Como os juros de cada período valeriam

J = Vi

Com P e i podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita com P e V)

P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda

renda perp tua137
Renda perpétua
  • Ex.1.26. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?
renda perp tua138
Renda perpétua
  • R.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%
  • V = 50 / 0.407% = 12278.58€
renda perp tua139
Renda perpétua

Ex.1.27. Um eucaliptal produz, a cada 10 anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa de juro de 3%/ano, qual será o valor actual do eucaliptal?

139

renda perp tua140
Renda perpétua

R. Calculo a taxa de juro por 10 anos, (1+3%)^10–1= 34.392%, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada:

V = (120.03)/34.392% = 1.05€/m2.

140

renda perp tua141
Renda perpétua
  • Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar a prestação inicial
renda perp tua142
Renda perpétua
  • Se houver deferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada
  • Só se começa a receber daqui a n+1 períodos pois a expressão p/i é para a renda postecipada
renda perp tua143
Renda perpétua

Ex.1.29. Uma obrigação com o valor nominal de 100€ paga trimestralmente 1€ de cupão e o par (i.e., os 100€) mais o cupão do trimestre final ao fim de 10 anos. Determine a taxa de juro desta obrigação.

143

renda perp tua144
Renda perpétua

R. Como no fim do prazo recebemos o par, aplicamos simplesmente

V = P/i i = P/V = 1/100 = 1%/trimestre

i = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano

Podemos confirmar no Excel que receber o Par no fim do prazo permite utilizar a expressão da Renda Perpétua

144

renda de dura o limitada
Renda de duração limitada
  • Com o conhecimento da expressão da renda perpétua
    • Há quem lhe chame perpetualidade
  • Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada
  • Compondo duas rendas perpétuas: uma a somar e outra a subtrair
renda de dura o limitada146
Renda de duração limitada
  • Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada).
  • É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e
  • pagar uma renda perpétua a começar no período N,
  • Descontado tudo ao presente.
renda de dura o limitada147
Renda de duração limitada

Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)?

Teremos que somar uma parcela.

Descontar menos um período

renda de dura o limitada149
Renda de duração limitada
  • Ex.1.30. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?
renda de dura o limitada150
Renda de duração limitada
  • Já não preciso do Excel

r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%

V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300)

= 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€

  • Mas podemos usá-lo para verificar
renda de dura o limitada151
Renda de duração limitada

C2: =B2*(1+$D$2)^-A2 C302=sum(C2:C301)

renda de dura o limitada153
Renda de duração limitada
  • Ex.1.31. o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações).
  • Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações).
  • Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai receber por mês?
renda de dura o limitada154
Renda de duração limitada
  • Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer)
  • Vamos somar
    • Duas rendas de duração limitada
    • Ou quadro rendas perpétuas

Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda

obriga es a taxa fixa
Obrigações a taxa fixa
  • Uma obrigação de taxa fixa consiste num activo que condensa uma entrega inicial e recebimentos futuro.
  • Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e o “par”) na remissão
  • O valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros
    • Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr de mercado
obriga es a taxa fixa157
Obrigações a taxa fixa
  • Ex.1.33. Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) cupão sero, vai ser vendida em leilão.
  • Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?
obriga es a taxa fixa158
Obrigações a taxa fixa
  • Vamos descontar os 100€ ao presente:
obriga es a taxa fixa159
Obrigações a taxa fixa
  • Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação?
  • Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?
obriga es a taxa fixa160
Obrigações a taxa fixa
  • Já só faltam 5 anos para receber os 100€
  • O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%
obriga es a taxa fixa161
Obrigações a taxa fixa
  • Se o investidor adquiriu a obrigação a 45€, qual a taxa de juro que pensava receber?
  • E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização?
obriga es a taxa fixa162
Obrigações a taxa fixa
  • A taxa de juro prevista era
  • E passou a ser
obriga es a taxa fixa164
Obrigações a taxa fixa

Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e., emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão anual de 25€ postecipado e o par mais o cupão no fim do prazo.

Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida ao par?

164

obriga es a taxa fixa165
Obrigações a taxa fixa

Podemos simplificar a expressão obtendo uma renda perpétua:

165

taeg impl cita no contrato
TAEGimplícita no contrato
  • TAEG – Taxa anual efectiva global
  • Actualmente, é obrigatório nos anúncios (de venda a crédito) que seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita efectiva calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente (global)
taeg impl cita no contrato167
TAEGimplícita no contrato
  • Ex.1.34. Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.
  • Determine a TAEG deste contrato de crédito.
taeg impl cita no contrato168
TAEGimplícita no contrato
  • Podemos indicar algebricamente o resultado
  • Mas o mais fácil é determina-lo no Excel
taeg impl cita no contrato170
TAEGimplícita no contrato

B2: = 1190-119; B3: 100; B6: -150

C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna.

C15: =Soma(C2:C14)

Definimos a célula C15 para o valor 0 alterando E2.

  • Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?
taeg impl cita no contrato172
TAEGimplícita no contrato
  • Ex.1.36. Um anúncio dizia

“Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”.

  • Confirme a TAEG.
taeg impl cita no contrato173
TAEGimplícita no contrato

Tem que se determinar no Excel

pre os correntes e constantes176
Preços correntes e constantes
  • A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos.
  • Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.
pre os correntes e constantes177
Preços correntes e constantes
  • O aumento dos preços é calculado para um cabaz de bens e serviços, sendo um valor médio (pesos de 2005).

B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5

pre os correntes e constantes178
Preços correntes e constantes

Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz custava então e compara-se com quanto custa agora.

Esse preço é normalizado a valer 100 no ano base (ou 1 ou 1000). B7:=B6/$B$6*100

178

pre os correntes e constantes179
Preços correntes e constantes

Em teoria, o índice de preços refere-se a um instante de tempo

Mas não é possível medir todos os preços no mesmo instante

Então, é um valor médio do período

IP20002010 = preço médio em 2010 na base 2000

179

pre os correntes e constantes180
Preços correntes e constantes

O “preço médio” normalizado denomina-se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços

índice de preços na produção

índice de preços dos mais pobres

índice de preços do interior norte

índice de preços na construção

Etc.

180

pre os correntes e constantes181
Preços correntes e constantes
  • Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços correntes” (ou “preços nominais”) e variam ao longo do tempo.
  • E.g., há um ano a gasolina custava deferente do que custa agora.
pre os correntes e constantes182
Preços correntes e constantes
  • Os preços corrigidos da inflação denominam-se de “preços constantes” ou “preços reais”.
pre os correntes e constantes183
Preços correntes e constantes

Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços.

Temos os preços correntes do período J, PJ, que queremos em preços reais com base no ano T, PTJ

PJPTJ

183

pre os correntes e constantes184
Preços correntes e constantes

PJ T, PTJ

Teremos os índices de preços dos períodos na mesma base (e.g., T)

IP período T no ano base T, IPTT e

IP período J no ano base T, IPTJ

184

pre os correntes e constantes185
Preços correntes e constantes

Transformamos PJPTJ

multiplicando o preço corrente pelo índice de preços do período T, IPTT, e dividindo pelo índice de preços do período J, IPTJ:

Não interessa a base do IP pois dá-se uma mudança de base.

185

pre os correntes e constantes187
Preços correntes e constantes

Ex.1.37. O preço de um frigorífico diminuiu de 178.50€ em 2006 para 169.90€ em 2010. Com

IP20052006 = 101.61

IP20052010 = 102.86

Quais os preços na base 2005?

Qual o preço de 2005 na base 2010?

Qual foi a variação em termos nominais e reais do preço?

187

pre os correntes e constantes188
Preços correntes e constantes

R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano base

P20052006 =178.50100/101.61 = 175.67€

P20052010 =169.90100/102.82 = 165.24€

Para 2010 ocorre mudança da base

P20102006 =178.50102.82/101.61

= 180.73€

188

pre os correntes e constantes189
Preços correntes e constantes

Em termos nominais temos

169.90/178.50 –1 = – 4.77%

(169.90 – 178.50)/178.50 = – 4.77%

Em termos reais temos

Variação = 165.24/175.77 –1 = –5.98%

Var. média anual (1–5.98%)^(1/4) –1

= –1.53%/ano

189

pre os correntes e constantes190
Preços correntes e constantes

Podíamos usar outro ano base qualquer

E.g, 2010

Variação = 169.90/180.73 –1 = –5.98%

190

pre os correntes e constantes191
Preços correntes e constantes

Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em 2010 é de 475,00€.

IPC20001974 é 4.003 e

IPC20002010 é 126,62.

compare, em termos reais (de 2010), o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais.

191

pre os correntes e constantes192
Preços correntes e constantes

Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2010 fazemos

os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2010

SM20101974= = 520,65€

Que é maior que os actuais

SM20102010 = 475€

192

pre os correntes e constantes193
Preços correntes e constantes

R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 36 anos, em termos nominais o SM aumentou

(475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano

em termos reais, diminuiu

(15.02/16.46)^(1/36) –1 = –0,25%/ano.

193

pre os correntes e constantes194
Preços correntes e constantes

A taxa de inflação é calculada pelo INE com base no IPC e tem periodicidade mensal.

Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior.

Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga.

194

pre os correntes e constantes195
Preços correntes e constantes

Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o princípio do ano.

A taxa de inflação mensal anualizada – é a variação percentual entre o IPC no mês anterior e o IPC no mês actual anualizada: (1+π)12-1.

A taxa de inflação em cadeia– é a taxa de inflação mensal (ou trimestral) sem anualizar

195

pre os correntes e constantes196
Preços correntes e constantes

Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia 128.7 e em Março 2006 passou a valer 131.4,

então a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois “instantes” foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

196

pre os correntes e constantes197
Preços correntes e constantes

Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes.

E.g., precisamos saber se a renda de 60mil€ mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.

197

taxa de infla o
Taxa de inflação
  • Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais
  • Ou mesmo refazer o IPC
taxa de infla o199
Taxa de inflação
  • Sendo IPT e, IPT+1

os índice de preços no período T e T+1, respectivamente

  • Também calculamos a taxa de inflação durante o período T+1, T+1 , por:
taxa de infla o200
Taxa de inflação
  • Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia 128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2005 foi de

131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

Neste exemplo, 128.7 refere-se à média do IPC de Jan., Fev., …, Dez. de 2005

pre os correntes e constantes202
Preços correntes e constantes
  • Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150€, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação
  • O preço do bem, a preços de 2005, seria
pre os correntes e constantes203
Preços correntes e constantes
  • O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e passou para p2006 = 1.30€.

Sendo que em 2005 a inflação foi de 2.1%, em termos reais, será que o preço deste bem aumentou (em termos reais)?

pre os correntes e constantes204
Preços correntes e constantes
  • O preço, em termos reais, aumentou 1.86%:
pre os correntes e constantes205
Preços correntes e constantes
  • Para transformar preços correntes do período T+n em preços constantes em referência ao período T, sabida a taxa de inflação para cada um dos n–1 períodos, temos:
pre os correntes e constantes206
Preços correntes e constantes
  • Como a taxa de inflação é calculada “em cadeia”, a partir do Índice de Preços:
  • Memorizar que se o IPC aumenta, o preço real diminui.
sal rio m nimo nacional a pre os correntes e constantes208
Salário Mínimo NacionalA preços correntes e constantes

E3: =C4*$B$4/B4;

F3: =D4*$B$36/B4

E copiava ambas as expressões em coluna

pre os correntes e constantes209
Preços correntes e constantes
  • Ex.1.42. No exercício 1.31, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de 44665€ até aos 85 anos.
  • Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano,
  • i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).
pre os correntes e constantes210
Preços correntes e constantes
  • Vamos descontar 44665€ ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto:
  • Em termos reais, corresponde a apenas 37% do valor nominal.
pre os correntes e constantes211
Preços correntes e constantes
  • Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).
pre os correntes e constantes212
Preços correntes e constantes
  • Posso fazer a análise
  • a “preços correntes” aumentando as prestações na taxa de inflação prevista
  • Ou a “preços constantes” retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal
      • Este “nominal” não é o mesmo conceito de quando falamos de capitalização
pre os correntes e constantes213
Preços correntes e constantes
  • Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é 0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.
pre os correntes e constantes214
Preços correntes e constantes
  • A “preços correntes”, uso o Excel:
pre os correntes e constantes215
Preços correntes e constantes
  • B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3;
  • C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos em coluna;
  • C603: =Soma(C2:C602) e usamos a ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1
pre os correntes e constantes216
Preços correntes e constantes
  • Eu ter retirado a taxa de inflação à taxa de juro nominal (“preços constantes”) e deu o mesmo resultado
compatibiliza o de tramos da s rie com diferentes bases
Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base.

Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
compatibiliza o de tramos da s rie com diferentes bases218
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
  • Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base.
  • A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série.

218

compatibiliza o de tramos da s rie com diferentes bases219
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
  • No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período.
  • Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base.

219

compatibiliza o de tramos da s rie com diferentes bases221
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
  • Ex.1.46. A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale 108.10 para 2002, e
  • a série do INE (base o ano 2002) vale 116.187 para 2009 (media até abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM actual (450.00€/mês).

221

compatibiliza o de tramos da s rie com diferentes bases222
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
  • R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será 116.19108.10/100 = 125.60. O valor a preços de 2009 dos 16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 = 516.84€/mês.

222

an lise de investimentos225
Análise de investimentos
  • um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro
an lise de investimentos226
Análise de investimentos
  • Teremos uma contabilização das entregas e dos recebimentos
  • com referência a um mesmo instante de tempo.
  • Será necessário capitalizar uns valores e descontar outros
an lise de investimentos227
Análise de investimentos
  • Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em dinheiro (i.e., saber o cash flow)
valor actual l quido
Valor actual líquido
  • No Valor Actual
  • Agregar todas as parcelas ao instante presente, descontadas ao presente
  • É Liquido porque se amortiza o Capital
valor actual l quido229
Valor actual líquido
  • Apesar de não haver um horizonte temporal de encerramento
  • O risco aconselha a usarmos um horizonte temporal limitado.
    • 5 anos
    • 10 anos
    • 25 anos
    • 50 anos
valor actual l quido230
Valor actual líquido
  • Ex.1.50. Num investimento são previstas entregas e recebimentos (k€):

i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento?

valor actual l quido231
Valor actual líquido
  • O saldo seria de 175 mil€
  • ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será o Valor Actual Líquido deste investimento
valor actual l quido232
Valor actual líquido
  • O VAL será de 2921€
  • B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).
valor actual l quido233
Valor actual líquido
  • A taxa de juro usada é elevada porque
    • os recebimentos são incertos
    • as entregas são certas
  • A taxa de juro contém o risco do negócio
    • o VAL do investimento é comparável a um activo sem risco (e.g., depósito a prazo).
  • Para investimentos diferente, a taxa de juro será diferente.
taxa interna de rentabilidade
Taxa interna de rentabilidade
  • Quantifica a taxa que torna o VAL igual a zero.
  • Estando o modelo implementado no Excel, determina-se a TIR facilmente com a ferramenta “Atingir objectivo”.
q de tobin
Q de Tobin

O q de Tobin é uma medida relativa que incorpora o risco de cada investimento

Uma mistura de VAL com TIR

Calcula-se pelo quociente entre o valor actual dos recebimentos e o valor actual dos investimentos

Terá que ser maior ou igual a 1

236

q de tobin237
Q de Tobin

B8: =B3*(1+$B$1)^-B$2 e copiava

B10: =SOMA(B9:L9)/SOMA(B8:L8)

237

exerc cio 1
Exercício -1
  • Suponha que empresto 1000€.
    • A inflação (prevista) é de 2.5% / ano
    • O juro real (acordado) é de 2.0% / ano
    • O risco de não cobrança é de 7.0% / ano
  • i) Quanto devo pedir de taxa de juro?
exerc cio 1240
Exercício -1

A taxa de juro seria de10.41%:

i = (1+ 0.025) x (1 + 0.02) / (1 – 0.07)

i =11.869%

ii) Se acordar receber os 1000€ em 12 prestações trimestrais caindo a primeira depois de decorridos 2 anos do empréstimo, de quanto deve ser a prestação?

exerc cio 1241
Exercício -1

A renda é antecipada

E começa daqui a dois anos

A taxa de juro trimestral é (1+11.869)0.25 -1 = 2.8435%

exerc cio 2
Exercício -2
  • Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M€.

Qual o capital final que vou receber?

exerc cio 2245
Exercício -2
  • O capital final a receber será de

25000.(1 + 4%)5 - 5000 .(1 + 4%)2.5 =

= 24901,22€.

[25000.(1 + 4%)2.5 - 5000] .(1 + 4%)2.5 =

= 24901,22€.

exerc cio 3
Exercício -3
  • Vou receber 1000€ daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 4€/ano, qual o valor actual dessa soma?
exerc cio 3247
Exercício -3
  • R. O valor dos 1000€ no presente resolve:
exerc cio 4
Exercício -4

Um indivíduo deposita, durante 40 anos, 100€/mês para receber uma reforma mensal durante 15 anos.

Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano e a inflação de 2.5%, determine o valor da reforma a preços correntes e a preços constantes de agora.

exerc cio 4249
Exercício -4

Vou somar quatro rendas perpétuas ou duas de duração limitada:

exerc cio 4250
Exercício -4

A preços correntes, i = 0,374%/mês

R = 854.67€ /mês

A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)]1/12 -1

i = 0,0125%/mês

R = 277.90€/mês

exerc cio 5
Exercício -5
  • Num investimento de 1000€ prevê-se que as vendas aumentem 25% ao ano e que o custo das vendas sejam 60%.
  • As amortizações são constantes a 5 anos
  • Calcule o VAL e a TIR
exerc cio 5254
Exercício -5

D6: =C6*(1+$B$1)

C7: =C6*$B$2

C8: =C6-C7

C9: =$B$3/5

C10: =C8-C9

C11: =C10*25%

C12: =C10-C11

C13: =C12+C9

C14: =C13*(1+$B$4)^(-C5)

B15: =SOMA(B14:G14)

exerc cio 5255
Exercício -5
  • Aplico agora o modelo para determinar a TIR