Berechnung der Kreisfläche

1. Berechnung der Kreisfläche

2. Im Altertum gehörte die Geometrie zur Philosophie: Die großen Gelehrten der Griechen versuchten, alle geometrischen Figuren auf Dreiecke zurückzuführen, deren Fläche sie berechnen konnten.

3. Der Kreis war am schwersten zu berechnen: Heute wissen wir, dass die Fläche des Kreises ungefähr ¾ des Durchmesser-Quadrates beträgt:

4. 3,14 ist die abgerundete Kurzform der unendlichen Zahl Π (Pi), auf die man bei der Berechnung des Kreises immer wieder stößt. Der Kreis war am schwersten zu berechnen: Heute wissen wir, dass die Fläche des Kreises ungefähr ¾ des Durchmesser-Quadrates beträgt:

5. d2 ist der Durchmesser des Kreises – mit sich selber malgenommen. Man könnte sagen: Ein Quadrat mit der Seitenlänge d. Der Kreis war am schwersten zu berechnen: Heute wissen wir, dass die Fläche des Kreises ungefähr ¾ des Durchmesser-Quadrates beträgt:

6. Der Kreis war am schwersten zu berechnen: Heute wissen wir, dass die Fläche des Kreises ungefähr ¾ des Durchmesser-Quadrates beträgt: Und das Ganze geteilt durch 4. Warum eigentlich 4 ? Schauen wir uns die Sache noch einmal in Ruhe an:

7. Wenn man außen um den Kreis herum ein Quadrat zeichnet, hat das den Flächeninhalt d x d = d2

8. Die Kreisfläche ist also KLEINER als d2. Wenn man außen um den Kreis herum ein Quadrat zeichnet, hat das den Flächeninhalt d x d = d2. Diese Fläche ist grösser als der Kreis: Die orange-farbenen Ecken stehen über.

9. Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: Und wie groß ist das grüne Quadrat?

10. Die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises bis zur Spitze des Quadrats ist d/2: ein halber d. Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: Die Fläche des Dreiecks berechnet sich als Grundseite mal Höhe geteilt durch 2. Dieser Durchmesser teilt das grüne Quadrat in 2 Dreiecke Hier also d (rote Linie) mal d/2 (grüne Linie) geteilt durch 2.

11. Und weil das grüne Quadrat aus 2 solchen Dreiecken besteht, ist seine Fläche 2 x d2/4 A = d x d/2 : 2 Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: = d2/2 : 2 = d2/4 Die Fläche des Dreiecks berechnet sich als Grundseite mal Höhe geteilt durch 2. Hier also d (rote Linie) mal d/2 (grüne Linie) geteilt durch 2.

12. Und weil das grüne Quadrat aus 2 solchen Dreiecken besteht, ist seine Fläche 2/4 d2 Das orange große Quadrat hat eine Fläche von d2. Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: Das sind 4/4 d2. Die Fläche des Kreises liegt also zwischen 2/4und 4/4 d2. Der Mittelwert ist 3/4 d2.

13. Das stimmt so ungefähr! Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: Genauer: 3,14/4 d2 Die Fläche des Kreises liegt also zwischen 2/4und 4/4 d2. Der Mittelwert ist 3/4 d2.

14. Eben: Verbesserungsvorschläge an r.schaefer@ibs-bremen.de