1 / 58

3.2.7.3 Fungsi Trigonometri

3.2.7.3 Fungsi Trigonometri. A. Sudut dalam satuan derajad. y. sisi akhir. . x. O. sisi awal. Gambar 3.16. B. Pengukuran sudut. Sudut diukur dalam satuan derajat atau radian. B. Pengukuran sudut. Sudut diukur dalam satuan derajat atau radian. y.

mimis
Download Presentation

3.2.7.3 Fungsi Trigonometri

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 3.2.7.3 FungsiTrigonometri • A. Sudutdalamsatuanderajad y sisiakhir  x O sisiawal Gambar 3.16 • B. Pengukuransudut Sudutdiukurdalamsatuanderajatatau radian

  2. B. Pengukuransudut Sudutdiukurdalamsatuanderajatatau radian y Sudut yang diukurdarisumbu x positifkearahkiri adalahsudutpositif  positif x  negatif Sudut yang diukurdarisumbu x positifkearahkanan adalahsudutnegatif

  3. C. Sudutdalamsatuan radian 1 radian = = 570 17’ 45’’ (3.37) t radian = = 570 17’ 45’’ (3.38) . t 1800 1800   0 = radian (3.40) 10 = radian (3.39) .    1800 1800

  4. D. Fungsitrigonometrisudutlancip  a b c c c a sisidihadapansudut sisipembatassudut sisi miring sisi miring  b sin  = = (3.41a) cos = = (3.41b)

  5. c c a b a a b b sisi miring sisidihadapansudut sisi miring sisipembatassudut sisidihadapansudut sisipembatassudut sisidihadapansudut sisipembatassudut sec  = = (3.41e) csc = = (3.41f) cot  = = (3.41d) tan  = = (3.41c)

  6. Dari persamaan 3.41 dapatdibuathubungansbb.: sin  1 1 cos sin  sin  cos cos tan  = (3.42a) sec  = (3.42c) csc = (3.42d) cot  = (3.42b)

  7. MasihtetapmengacupadaGambar 3.20 danteorema Pythagoras : c2 = a2 + b2 (bagisemuaruasdengan c2) = +  1 = + (subst. ke pers. 341a dan 3.41b) b2 c2 a2 c2 c2 c2 didapat, b a 2 2 c c sin2 + cos2 = 1 (3.43) Bagipersamaan 3.43 dengan cos2, 1 cos2 sin2 Sehinggadidapat, cos2 cos2 cos2 + = tan2 + 1 = sec2 (3.44)

  8. Jikapersamaan 3.43 dengan sin2, maka didapat, 1 + cot2 = csc2 (3.45) Persamaan 3.43 s/d 3.45 disebutidentitastrigonometri Contoh 3.35 Diketahuisebuahsegitigasiku-sikuterletakpadakuadran I. Jikaharga sin  = 4/5, tentukannilaifungsitrigonometrilainnya ! Penyelesaian sin2 cos2 1 sin2 sin2 sin2 + =

  9. y 52 – 42 5 4  x x1 =? 0 Gambar 3.21 Teorema Pythagoras, 52 = 42 + x12 x1 = = 3 didapat, cos = 3/5 ; tan = 4/3 ; cot = 3/4 ; sec = 5/3 ; csc = 5/4

  10. E. Fungsitrigonometrisudut-sudut 300 , 450 , dan 600 2a = 1  a = 1/2 a2 = 1/4 300 300 300 Pythagoras 1= a2 + b2 1 1 1 • b2 = 1 – a2 b b • b2 = 1 – a2 • b2 = 1 – 1/4 600 600 600 • b2 = 3/4 a a a • b= 1/2 Gambar 3.21b Gambar 3.21 a √ 3

  11. √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3

  12. 450 1 b  1/2 450 a Gambar 3.22 a = b Pythagoras : 1 = a2 + b2 2a2 = 1  a =

  13. 450 1 b   1/2 1/2 450 a Gambar 3.22   2 2

  14. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L sinA L sinAcosB L sinAsinB L Q S L cosA L cosAsinB A x B O R T Gambar 3.22

  15. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L A x O Gambar 3.22

  16. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L L cosA A x O Gambar 3.22

  17. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L sinA L L cosA A x O Gambar 3.22

  18. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L sinA L sinAcosB L sinAsinB L Q S L cosA L cosAsinB A x B O R T Gambar 3.22

  19. sin(A+B) = sinAcosB + sinBcosA (3.46) sinAcosB + sinBcosA L sinAcosB + L cosAsinB L cosAsinB – L sinAcosB cosAcosB – sinAsinB L L PQ + QR OT – RT sin(A+B) = = = cos(A+B) = = OP L OR sin(A+B) OP tan(A+B) = = cos(A+B) cos(A+B) = cosAcosB – sinAsinB (3.47)

  20. tanAtanB tan(A+B) = (3.48) 1 – tanAtanB sinAcosB sinAsinB cosAcosB sinBcosA + cosAcosB cosAcosB cosAcosB cosAcosB tan(A+B) = –

  21. Untukfungsi-fungsitrigonometrilainnyadapatdijabarkan sendiriolehmahasiswa. Fungsitrigonometriinidapatdigunakan untukmencarihargafungsitrigonometrisuduttumpulseperti 900 + atausuduttumpullainnya. Contoh 3.36 Tentukanharga sin 1350. Penyelesaian sin 1350 = sin(900 +450) = sin 900 cos450 + sin450 cos900 = (1) (1/2) √ + (1/2) √ (0) = (1/2) √ 2 2 2

  22. G. Grafikfungsitrigonometri 1 3 3 1 y 2 2 2 2 1 –1 2  x – O –2 –   • Gambar 3.23 • GrafikFungsi Sinus  – 

  23. 1 3 1 3 2 2 2 2 y 1 –  x 2 O –2 –1 –   –   • Gambar 3.24 • GrafikFungsiCosinus

  24. y x      • Gambar 3.25 • GrafikFungsi Tangent

  25. y x      • Gambar 3.26 • GrafikFungsi Cotangent

  26. y  1 1 3 3     – – –  –  –  –  –2 2 2 2 2  – 2 0 x  Gambar 3.27 GrafikFungsi Secant

  27. y 3 1 3 1     – – –  –  –  –  2 2 2 2  – 2 0 x  –2 Gambar 3.28 GrafikFungsi Cosecant

  28. Hukum sinus Untukmembuktikanhukum sinus perhatikanGambar 2.29 berikut. C  a b E k h   B A D c Gambar 3.29

  29.  BDC  sin = h/a  h = a sin  (*)  ADC  sin = h/b  h = b sin  (**) • BDC  sin  = k/b  k = b sin (#) (***) (###) Dari (*) dan (**)  a sin = b sin  Dari (#) dan (##)  b sin = c sin • AEB  sin  = k/c  k = c sin  (##) sin sin sin   = = b b b sin sin sin sin a c a c Dari (***) dan (####) didapat = = (3.49) Persamaan 3.49 disebutHukum Sinus

  30. I. Hukumcosinus UntukmembuktikanhukumcosinusperhatikanGambar 2.30 berikut. C  a b E k h   B A D c Gambar 3.30

  31.  h = b sin  sin = h/b PerhatikanADC PerhatikanBDC b2 + c2 – a2 (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 2bc = (BC)2 – (AB – AD)2 h2 = a2 – (c – b cos)2 b2 sin2  = a2 – c2 + 2bc cos – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = a2 – c2 + 2bc cos b2 (sin2  + cos2 ) = a2 – c2 + 2bc cos b2 = a2 – c2 + 2bc cos Sehingga, a2 = b2 + c2 – 2bc cos ataucos  = (3.50)

  32.  h = a sin  sin = h/a PerhatikanBDC PerhatikanADC a2 + c2 – b2 (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 2ac = (AC)2 – (AB – BD)2 h2 = b2 – (c – b cos  )2 a2 sin2  = b2 – c2 + 2ac cos  – a2 cos2  a2 sin2  + a2 cos2  = b2 – c2 + 2ac cos  a2 (sin2  + cos2 ) = b2 – c2 + 2ac cos  a2 = b2 – c2 + 2ac cos  Sehingga, b2 = a2 + c2 – 2ac cos  ataucos  = (3.51)

  33.  k = b sin   sin = k/b PerhatikanAEC PerhatikanAEB a2 + b2 – c2 (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 2ab = (AB)2 – (BC – CE)2 k2 = c2 – (a – b cos )2 b2 sin2  = c2 – a2 + 2ab cos  – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = c2 – a2 + 2ab cos  b2 (sin2  + cos2 ) = c2 – a2 + 2ab cos  b2 = c2 – a2 + 2ab cos  Sehingga, b2 = c2 – a2 + 2ab cos  ataucos  = (3.52) Persamaan 3.50 s.d. 3.52 disebutHukumCosinus

  34. 3.2.7.4 Fungsitrigonometriinvers Kita telahmengetahuibahwasuatufungsiakan mempunyaiinversjikafungsitersebutadalah fungsisatukesatu, yaitufungsi yang mempunyai nilaitunggaluntuksetiap domain. Sebagaicontoh f(x) = x3 + 1 adalahfungsisatu kesatukarenauntuksetiapharga x yang tunggal akanmenghasilkan f(x) yang tunggal pula. Sehinggadikatakanbahwa, f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akantetapi f(x) = x2bukanlahfungsisatukesatu karenauntukduaharga x yang berbedaakan menghasilkanharga f(x) yang tunggal. Sehinggadikatakanbahwa f(x) = x2tidakmempunyai invers.

  35. Fungsi-fungsitrigonometriadalahfungsi-fungsi yang tidaktermasukdalamgolonganfungsisatukesatu. Sebagaicontoh f(x) = sin x. Untukharga x = 0, x =  dan x = 2akanmenghasilkanharga yang samayaitu 0. Akantetapijikakitabatasi domain fungsitrigonometri makakitadapatmembuatfungsitrigonometrimenjadi fungsisatukesatu. Jadi f(x) = sinxadalahfungsisatukesatujika - < x < . Begitujugadenganfungsi-fungsitrigonometrilainnya.

  36. Definisi-definisi : i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1atauarcsin) didefinisikan sebagai, y = sin-1 x  x = sin y , untuk -1  x  1 dan -/2  y /2. ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1atauarccos) didefinisikan sebagai , y = cos-1 x  x = cos y , untuk -1  x  1 dan 0  y . iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1atauarctan) didefinisikan sebagai, y = tan-1 x  x = tan y , untuksetiapharga x dan -/2  y /2 iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1atauarccot) didefinisikan sebagai ,y = cot-1 x  x = cot y , untuksetiapharga x dan 0  y .

  37. Definisi-definisi : v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1atauarcsec) didefinisikan sebagai ,y = sec-1 x  x = sec y , untuksetiapharga x 1 dan 0  y , kecuali y = /2 vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1atauarccosec) didefinisikansebagai y = cosec-1 x  x = cosec y , untuksetiaphargax 1 dan 0 y/2

  38. y 1 1  2 2 –1 x O 1 • Grafik sin-1 x – 

  39. y 1 2   x O 1 –1 • Grafik cos-1 x

  40. Sifat-sifatfungsitrigonometriinvers • arcsin(sinx) = x untuk -/2  x /2 sin(arcsinx) = x untuk 1  x  1 • arccos(cosx) = x untuk 0  x  cos(arccosx) = x untuk -1  x  1 • arctan(tanx) = x untuk -/2  x /2 tan(arctanx) = x untuksemuaharga x

  41. Contoh 3.37 • Tentukanharga y jika,   1 1 1 1 1 untuk x  • a) y = sin-1 ( √ 2 2 2 2 2 4 4 1 • Penyelesaian 1 ) • b) y = sin-1 (- √ untuk x  2 2 2 1 1 1 • a) y = sin-1 ( √  siny = √ ) ) 2 2 2. 2 2 2 Jadi y = Jadi y = - –  –   –  • b) y = sin-1 (- √) 2 •  siny = √ 2.

  42. y 1 1 1 1  4 4 2 2 • - √ • √  –1 x 1 1 2 2 O 1 2 2 –  – 

  43. 3.2.7.5 Fungsihiperbolik • A. Definisi Fungsihiperbolikadalahfungsi yang mempunyaisifat yang serupadenganfungsitrigonometri. Keserupaan antarakeduafungsitersebutdapatdilihatdaridefinisi yang diberikanberikutini. sinh x = (3.53a) ex – e-x ex + e-x 2 2 cosh x = (3.53b) ex – e-x ex – e-x coth x = (3.53d) tanh x = (3.53c) ex+e-x ex+e-x

  44. 2 2 sech x = (3.53e) csch x = (3.53f) ex + e-x ex – e-x B. Identitashiperbolik Dari persamaan 2.53a dan b didapat: 2 e2x –2+ e-2x ex – e-x sinh2 x = = 2 4 e2x +2+ e-2x 2 ex + e-x cosh2 x = = 4 2 e2x +2+ e-2x e2x –2+ e-2x cosh2 x – sinh2 x = cosh2 x – sinh2 x = 1 (3.54) 4 4

  45. Bagipersamaan 3.54 dengan cosh2x, didapat 1 – tanh2 x = sech2 x (3.55) Bagipersamaan 3.54 dengan sinh2x, didapat coth2 x – 1= cosech2 x (3.56) 3.2.7.6 Fungsihiperbolikinvers Padadefinisisebelumnyatelahdiketahuibahwafungsi hiperbolikdefinisikandalambentukfungsieksponen. Hal iniberartibahwafungsihiperbolikinversdapat ditulisdalambentuklogaritma natural.

  46. Teorema-teorema • Bukti 2x – ey + e-y = 0  kalikansemuaruasdenganey , didapat x2 +1 ey– e-y x2 +1 x2 +1 x2 +1 2x ey– e2y+ 1 = 0 atau e2y– 2x ey– 1 = 0  2    sinh-1 x = ln(x + ) (3.57) Denganmenggunakan pers. kuadrat x + x –  4x2 +4 2x  y = sinh-1x  x = sinh y = ey = = x  Berartieymempunyaiduanilai, yaitu: 2 atau

  47. Perludiperhatikanbahwa, Dari duafaktadiatas, kitadapatmenyimpulkanbahwa  1+ x x2 +1  Nilaieydanselalupositifuntuksembarangnilai x  Nilai x2 + 1 selalulebihbesardari x untuksembarangnilai x ln tanh-1 x = , |x| < 1 (3.59) 1 – x 1   cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) x2 + 1 2 ey = x + (terbukti) x2 –1 x2 –1  

  48. 1+ x 1+ x2  cosech-1 x = ln , x > 0 (3.61) 1+ x ln coth-1 x = , |x| > 1 (3.60) 1 – x 1 2  1– x2 1+ x sech-1 x = ln , 0 > x  0 (3.61)

  49. 3.2.7.7 Fungsigenapdanganjil Suatufungsidikatakanfungsigenapjikamemenuhi : f(x) = f(–x) ( 3.63 ) Dikatakanganjiljikamemenuhi: f(–x) = –f(x) (3.64 ) Jikasuatufungsitidakmemenuhipersamaan 3.63 dan 3.64 makapersamaantersebutbukanmerupakanfungsigenap atauganjil.

More Related