1 / 43

Perbandingan ,fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

TRIGONOMETRI. Perbandingan ,fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan menggunakan klinometer. . Perbandingan trigonometri. Pengalaman Belajar.

hilda
Download Presentation

Perbandingan ,fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TRIGONOMETRI Perbandingan ,fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

  2. Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan menggunakan klinometer  Perbandingan trigonometri

  3. Pengalaman Belajar Seorang siswa program keahlian bangunan ingin praktik membuat rangka atap rumah dengan ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka panjang x adalah … 2 m x m 4 m Perbandingan Trigonometri

  4. Pengalaman Belajar Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut elevasi 300 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 450 seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20 meter, berapa tinggi menara tersebut? Perbandingan Trigonometrri 450 300 B A 20 m

  5. APA yang terjadi ? Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada muridnya sbb: “Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi AC=4, BC=6 dan AB=8. Tentukan besar sudut A.” Perbandingan Trigonometri

  6. Sekilas ??? Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan oleh guru tersebut? Murid ya mencoba menghitung besar sudut A dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A Guru merasa tak bersalah Perbandingan Trigonometri

  7. Perbandingan Trigonometri BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA? 3 M 4M

  8. Manakah bangun yang kelilingnya terpanjang? Perbandingan Trigonometri 2) 1) 4) 3)

  9. RuangLingkup Perbandingan Trigonometri 1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut 2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus ) 3. Rumus-rumus Trigonometri 4. Koordinat Kartesius dan Kutub 5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga 6. Identitas Trigonometri 7. Persamaan Trigonometri

  10. SINUS ADALAH PERBANDINGAN ANTARA SISI DIDEPAN SUDUT DENGAN HIPOTENUSA PADA SUATU SEGITIGA SIKU-SIKU Perbandingan Trigonometri AC OC C Sin AOC = A 0

  11. Perbandingan Trigonometri • Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi disampaing sudut dengan hipotenua suatu segitiga siku-siku C OA OC Cos AOB = O A

  12. Perbandingan Trigonometri • Tangen adalah nilai perbandingan antara sisi didepan sudut dengan sisi disamping sudut C AC OA Tan AOC = O A

  13. Sudut Dalam Kedudukan Baku Y X Sudut θ tidak dlm kedudukan baku Sudut θ dalam kedudukan baku Perbandingan trigonometri C B C θ θ A B A Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ

  14. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP SINUS D E' C B A E B' C' D' Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku, maka: Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A tersebut dinamakan sinus sudut A dan dilambangkan dengan sin A

  15. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP KOSINUS D E' C B A E B' C' D' Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku, maka: Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A tersebut dinamakan kosinus sudut A dan dilambangkan dengan cos A

  16. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP TANGEN D E' C B A B' E D' C' Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku, maka: Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A tersebut dinamakan tangen sudut A dan dilambangkan dengan tan A

  17. Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10 cm, sisi BC = 5 cm. Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah .... B 10 5 C A ? Perbandingan trigonometri didapat 5V3 Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3

  18. Dikembangkan Soal Perbandingan Trigonometri Dengan mengukur panjang tangga BC, dan mengukur besa sudut ABC, dan menggunakan konsep sinus, maka siswa ditugasi untuk menentukan ketinggian lantai II dari dasar lantai. C Tangga B A

  19. Perbandingan Trigonometri C Dengan mengukur besar sudut BAC dan jarak AB, serta menggunakan konsep kosinus maka siswa dapat menentukan panjang tali pancang AC, yang sudah waktunya diganti itu! Tali pancang Tiang A B

  20. Sudut Khusus Sudut khusus Perbandingan Trigonometri C R S A B D P Q ABC sama sisi panjang sisi = 2a PQRS persegi panjang sisi = 2a

  21. Perbandingan Trigonometri Dengan menggunakan gambar di atas, tentukan nilai perbandingan :

  22. Sudut Khusus 45o V2 45o 90o 1 Perbandibgan Trigonometri sin 45o = ½ V2 1 cos 45o = ½ V2 tan 45o = 1 sin 30o = ½ cos 30o = ½ V3 30o tan 30o = 1/3 V3 2 V3 sin 60o = ½V3 cos 60o = ½ 90o 60o 1 tan 60o = V3

  23. RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI Perbandingan Trigonometry • Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri • a. Relasi Kebalikan: • csc α = sec α = cot α = b. Relasi Pembagian: tan α = cot α = c. Relasi “Pythagoras”: sin2α + cos2α = 1 (dan variasinya) tan2α + 1 = sec2α 1 + cot2α = csc2α

  24. Sudut Berelasi Perbandingan Trigonometri 2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo Bernilai ”+” All Sin Tan Cos

  25. 1. Jika αo + βo + γo = 180o , maka:sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo Perbandingan Trigonometri Hal Khusus 2. Jika αo + βo + o = 270o, maka: sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o

  26. Koordinat Kartesius dan Kutub Y Y P(x,y) P(r,) x x   r y y  x X O o Koordinat Kartesius Koordinat Kutub Koordinat Kartesius ke Kutub Koordinat Kutub ke Kartesius r2 = x2 + y2 x = r cos a tan α = Y = r sin a

  27. Rumus Trigonometri dalam Segitiga • Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC: • 2. Aturan (rumus) kosinus: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ cos α = atau cos β = cos γ =

  28. Rumus Trigonometri dalam segitiga Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian? U AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o = 400 + 1024– 640 220o = 784 O 160o 60o 20 AB = 28 A 32 Jarak antara kedua kapal 28 mil B

  29. Rumus trigonometri dalam segitiga C 20 37 B 51 A Berapakah nilai tan A dan sin B? cos A = sehingga cos B = cos B = sehingga sin A =

  30. RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT 1. Rumus jumlah sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β Rumus selisih • sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β • cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β Rumus setengah sudut • 2 sin2 ½ α = 1 - cos α • 2 cos2 ½ α = 1 + cos α 2. Rumus sudut rangkap • Sin 2α = 2 sin α cos α • Cos 2α = cos2α – sin2α

  31. RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT 3. Rumus sudut rangkap tiga Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α

  32. Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Fungsi Sinus/Kosinus 1. Hasil kali sinus dan kosinus 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α – β) 2 cos α sin β = sin(α + β) – sin(α – β) 2 cos α cos β = cos(α + β) – cos(α – β) –2 sin α sin β = cos(α + β) – cos(α – β) atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β) 2. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus • sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) • sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) • cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) • cos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)

  33. IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas adalah suatu kalimat terbuka yang bernilai benar untuk setiap pengganti nilai variabelnya, misal : sin2α + cos2α = 1 • Buktikan ! sec4 – sec2 = tan4 + tan2

  34. Bukti: IDENTITAS TRIGONOMETRI

  35. IDENTITAS TRIGONOMETRI Bukti: Alternatif I Dari ruas kiri lternatif II Dari ruas kanan Ruas kiri: Ruas kanan: sec4 – sec2 tan 4 + tan 2 = sec2(sec2 – 1) = tan 2(tan 2+ 1) = sec 2 x tan 2 = (sec 2 – 1) sec 2 = (1 + tan 2) x tan 2 = sec 4 – sec 2 = tan 2 + tan 4 = ruas kiri (terbukti) = tan 4+ tan 2 = ruas kanan (terbukti)

  36. Persamaan Trigonometri Sederhana 1). Jika sin x sin  maka: x + k. 360 atau x (180) + k. 360 , k B Rumus I : 2). Jika cos x cos  maka : x + k. 360 atau x + k. 360, k B 3). Jika tan x tan  maka : x + k. 180k B

  37. Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol 1). Jika sin x 0 maka: xk.180 , k B PERSAMAAN TRIGONOMETRI 2). Jika cos x 0 maka: x 90 + k.180 , k B 3). Jika tan x 0 maka: xk.180 , k B

  38. Rumus III : Persamaan mengandung harga negatif 1). Jika sin x  - sin  sin (-) maka: x -  + k. 360 atau x (180 + ) + k. 360 , k B PERSAMAAN TRIGONOMETRI 2). Jika cos x  - cos  cos (180 +  ) maka: x 180 +  + k. 360 atau x - 180 -  + k. 360 , k B 3). Jika tan x  - tan  tan (-) maka: x -  + k. 180 , k B

  39. Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut:Untuk 0 ≤ x < 360: a) sin x0 = sin 400 b) cos 2x0 = Jawab: a) sin x0 = sin 400 x = 40 + k.360 atau x = (180 – 40) + k.360 untuk k = 0 → x = 40 k = 0 → k = 140 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {40, 140} adalah {30, 150, 210, 330} PERSAMAAN TRIGONOMETRI

  40. PERSAMAAN TRIGONOMETRI • b) cos 2x 0 = cos 2x 0 = cos 60 0 maka 2x = 60 + k.360 atau 2x = -60 + k.360 x = 30 + k.1 80 x = -30 + k.180 • untuk k = 0 → x = 30 Untuk k = 1 → x = 2100 • k = 1 → x = 150 k = 2 → x = 330 • Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {30, 150, 210, 330}

  41. Soal : 1.Diketahui segitiga ABC,AC =25 cm, BC=40 cm, dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD=24 cm. Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah .... 2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 030° dengan kecepatan 8 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 090° dengan kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah berlayar 3 jam adalah ... km PERSAMAAN TRIGONOMETRI

  42. Kerangka atap suatu bangunan berbentuk seperti gambar berikut: Hitunglah panjang AB Penerapan ke prgram keahlian B A 2,20 m 35,30 28,50 10,30 m panjang AB adalah 3,14 m

  43. Perhatikan gambar: Hitunglah jarak AB Hitunglah jarak BC A 18 cm B 950 400 700 C Penerapan ke program keahlian • jarak AB = 12,6 cm • jarak BC = 21,97 cm

More Related