Carlo Marchini Parma 22 novembre 2010 28 marzo 2011

1. Strategie didattiche: lo studente da oggetto del processo di insegnamento a soggetto dell’apprendimento • Carlo Marchini Parma 22 novembre 2010 28 marzo 2011

2. Alba o tramonto? Gli interventi di Pesci e Bruno Longo che mi hanno preceduto hanno avuto entrambi per obiettivo l’allievo e possibili strategie per favorirne l’apprendimento. A mio parere (e non solo mio) apprendere è una scelta personale, che può esser compiuta solo dal discente. L’insegnante può, attraverso la trasposizione didattica, proporre una sua scala di valori, che può esser influenzata dalla struttura scolastica, ma condividerla è una scelta dell’allievo.

3. Alba o tramonto? L’insegnante ha un compito gravoso: • presentare la materia specifica in modo che essa venga riconosciuta importante in sé e per le esigenze di chi apprende • presentare anche tutta una serie di pratiche sociali che sono implicite e costituiscono la parte educativa dell’insegnamento.

4. Alba o tramonto? Se il punto di vista appena espresso viene accettato, diviene subito evidente che la didattica che in modo grossolano si può dire trasmissiva è destinata al tramonto, perché lascia poca libertà al soggetto in apprendimento. Con trasmissiva intendo una didattica fondata sull’idea che il sapere sia prerogativa esclusiva dell’insegnante.

5. Alba o tramonto? L’esposizione di Angela Pesci ha messo in luce i possibili vantaggi di una struttura cooperativa ideata per responsabilizzare in ogni istante lo studente, che agisce con notevole libertà, in un gioco di coordinamento. Nella didattica tradizionale queste attività sono tutte demandate al singolo che è però pensato come un esecutore addestrato.

6. Alba o tramonto? Si è quindi proposta un’azione esterna a surrogare/integrare quella interna del soggetto con lo scopo anche di fare apprendere il valore del lavoro di team, un obiettivo trans-disciplinare socialmente importante.

7. Alba o tramonto? Nell’intervento di Paola Bruno Longo, si è messo in luce che l’apprendimento è sempre, come dicono Bachelard e Brousseau, un apprendimento contro, in cui le conoscenze pregresse, per il soggetto possono (ed è bene che lo facciano) essere di ostacolo al raggiungimento di un livello maggiore di consapevolezza. Il ruolo della partecipazione sociale è determinante per la riuscita del progetto.

8. Alba o tramonto? Possiamo dire che entrambi gli interventi si coordinino e si integrino per offrire un panorama accattivante di quella che potrebbe essere l’alba di una nuova didattica.

9. Il problemadell’oggetto • La mia presentazione si pone in una ottica di continuità con quanto visto negli incontri precedenti, ma sposta l’attenzione su l’oggetto di insegnamento, invece di limitarsi all’esempio episodico. • La scelta dell’argomento deve essere tale da coinvolgere lo studente e fargli apprezzare il grado di libertà che il tema gli permette, per realizzare il proprio percorso.

10. Il problemadell’oggetto • Per fare questa scelta mi baso sui seguenti fattori: • I programmi (o le indicazioni) • La ricerca in Didattica della Matematica • L’esperienza personale di ricerca.

11. Le indicazioni • Obiettivi di apprendimento della scuola primaria : • Dare stime per il risultato di un operazione. • Utilizzare i numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quotidiane

12. Le indicazioni • Obiettivi di apprendimento della scuola primaria : • Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta • Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni.

13. Le indicazioni • Obiettivi di apprendimento della scuola secondaria di primo grado: • Dare stime approssimative per il risultato di un operazione, anche per controllare la plausibilità di un calcolo già fatto. • Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta.

14. Le indicazioni • Obiettivi di apprendimento della scuola secondaria di primo grado: • Utilizzare frazioni equivalenti e numeri decimali per denotare uno stesso numero razionale in diversi modi, essendo consapevoli di vantaggi e svantaggi che le diverse rappresentazioni danno a seconda degli obiettivi.

15. Le indicazioni • Obiettivi di apprendimento della scuola secondaria di primo grado: • Conoscere il teorema di Pitagora e le sue applicazioni in matematica e in situazioni concrete. • Stimare per difetto e per eccesso l’area di una figura delimitata da linee curve. • Conoscere il numero π, ad esempio come area del cerchio di raggio 1, e alcuni modi per approssimarlo

16. Le indicazioni • Obiettivi di apprendimento della scuola secondaria di primo grado: • Rappresentare insiemi di dati. • In situazioni significative, confrontare dati al fine di prendere decisioni.

17. Le indicazioni • In conclusione, le indicazioni del 2007, presentano l’allievo come di colui che in proprio sceglie • cosa rappresentare, • come rappresentare, • quando rappresentare, • a che scopo rappresentare, divenendo agente del suo apprendimento

18. La ricerca in Didattica della Matematica • L’ultima parola della diapositiva precedente era ‘apprendimento’. Con essa mi riallaccio alla presentazione di Bruno D’Amore nella prima conferenza. • Voglio aggiungere un’altra parola importante ‘comprensione’ perché difficilmente ci può essere apprendimento senza di essa.

19. La ricerca in Didattica della Matematica • Scrive d’Amore: “L’apprendimento della matematica non comprende solo la costruzione di concetti (noetica), ma consta di almeno 5 tipologie di apprendimenti distinti, anche se non del tutto privi di sovrapposizioni:

20. La ricerca in Didattica della Matematica • Scrive d’Amore: • apprendimento concettuale (noetica) • apprendimento algoritmico (calcolare, operare,…). • apprendimento di strategie (risolvere, congetturare,…) • apprendimento comunicativo (argomentare, dimostrare,…) • apprendimento e gestione delle trasformazioni semiotiche

21. La ricerca in Didattica della Matematica • Scrive d’Amore: “apprendere un concetto matematico, apprendere a fare uso di un algoritmo, a comportarsi in modo strategico, a comunicare matematica,… sono tutti atteggiamenti nei quali si costruisce un oggetto matematico.”

22. La ricerca in Didattica della Matematica • Apprendere senza capire può essere il frutto di un addestramento, non è l’esito sperato di una attività didattica. • Capire, e i suoi sinonimi, intendere, afferrare, penetrare, assimilare, conoscere, concepire, comprendere hanno radici latine che esprimono verbi di moto o di azione. Da questi derivano parole come intendimento, penetrazione, assimilazione, conoscenza, concezione, comprensione che si possono utilizzare come sinonimi.

23. La ricerca in Didattica della Matematica • Kilpatrick (2009) fa una importante analisi della parola inglese understanding, confrontata con l’altra parola comprehension che viene spesso usata come sinonimo. Osserva che ‘understanding’ (ciò che sta sotto) è il risultato della comprehension, il risultato cui mira l’azione. • Passa poi in rassegna le varie proposte di interpretazione e giunge alla presentazione di un modello dello understanding sulla base di ricerche condotte in vari paesi nel mondo, finalizzato alla presentazione negli U.S.A. di un rapporto (2001) dal titolo: Per aiutare i bambini ad imparare la matematica

24. La ricerca in Didattica della Matematica • Il risultato dello studio è che il successo nell’apprendimento della matematica è l’opera congiunta di 5 componenti (il modello della treccia a cinque capi) attivi nel soggetto • Conceptual Understanding • Procedural Fluency • Strategic Competence • Adaptive Reasoning • Productive Disposition

25. La ricerca in Didattica della Matematica • Il modello adottato a Singapore (Dindyal, 2005) si è sviluppato indipendentemente. Descrive l’apprendimento della matematica con uno schema pentagonale che ha lo scopo di individuare gli aspetti: • Contenuti • Processi • Aspetti affettivi che si ritengono indispensabili nell’insegnamento/apprendimento.

26. Monitoraggio del proprio ragionamento Apprezzamento Interesse Confidenza Perseveranza Metacognizione Attitudini Stima e approsimazione Comunicazione Uso di strumenti matematici manipolazione aritmetica, manipolazione algebrica Trattamento dati Problem solving in Matematica Abili/capacità Abili/capacità di ragionamento Euristica Processi Concetti Numerici, geometrici, algebrici, statistici

27. Calcolo esatto “contro” calcolo approssimato (Kahane, 2002) • «Nella cultura, questi due tipi di calcolo sono sovente presentati in opposizione, dove il calcolo approssimato appare come quello al quale il matematico si rivolge quando il calcolo esatto diventa insostenibile. • La realtà è ben più complessa, benché vi sia in questa visione una parte di verità. • Nella risoluzione di numerosi problemi nei quali sono utilizzati dei calcoli, la ricerca di soluzioni esatte non è né pertinente, né utile. • Inoltre, anche quando il calcolo esatto è possibile, non è necessariamente facilmente utilizzabile. • L’insegnamento non sfugge a tale visione culturale e, tradizionalmente, la parte accordata al calcolo approssimato è ridotta. I rapporti tra calcolo esatto e calcolo approssimato non sono visti nella loro complementarietà, ma in una opposizione gerarchica di valori, essendo il calcolo esatto quello nobile.»

28. Calcolo esatto “contro” calcolo approssimato (Girnat, 2011) • «Mrs. D. - The beauty of mathematics is the fact that everything is logical and dignified. […] Everywhere else, there are approximations, but not in mathematics. There is everything in this status it has ideally to be in. [It is important for the students] to recognise that there are ideal things and objects in mathematics and that, in reality, they are similar, but not equal…» • «Insegnante D. – La bellezza della matematica consiste nel fatto che ogni cosa è logica e nobilitata. […] In ogni altra disciplina, ci sono le approssimazioni, ma non in matematica. Tutto è in questa condizione e ciò deve idealmente esserci. [È importante per gli studenti] riconoscere che ci sono cose ideali e oggetti in matematica e che, nella realtà, essi sono simili, ma non uguali…»

29. L’esperienza personale di ricerca • Ho svolto questa ricerca come membro di un Gruppo di ricerca, zeroallazero, nella formazione Maria Felicia Andriani Clara Bisso Silvia Dallanoce Rossana Falcade Serafina Foglia Silvano Gregori Lucia Grugnetti Achille Maffini Carlo Marchini Michele Rapuano Angela Rizza Angela Speroni Vincenza Vannucci

30. L’esperienza personale di ricerca • I membri del Gruppo coprono il segmento scolastico a partire dalla Scuola Primaria fino all’Università, comprendendo scuole secondarie di II grado di diversi indirizzi. • I risultati della ricerca sono apparsi su varie riviste italiane e straniere e si sono anche concretizzati in tre testi dedicati agli insegnanti

31. L’esperienza personale di ricerca • I testi forniscono esempi di attività svolte in classe con analisi a priori e a posteriori e offrono, sulla base dell’esperienza maturata, suggerimenti didattici ed approfondimenti culturali e contenutistici. • In quanto segue, svolgo il ruolo di portavoce del Gruppo zeroallazero.

32. Approssimazione, perché? • Il tema connette Matematica Fondamentale per l’Analisi matematica Numeri reali Limite Mondo esterno Fondamentale per i problemi di misura Applicazioni Mondo interiore Importante per favorire un approccio metacognitivo

33. Approssimazione, quando? • Riteniamo che la matematica «elementare» sia ricchissima di occasioni per familiarizzare gradualmente con il concetto di limite e che la scuola dell’obbligo possa svolgere un ruolo fondamentale nello sviluppo di immagini mentali favorevoli al suo apprendimento. • I temi che ci sembrano più ricchi di spunti, anche per il loro carattere verticale che consente di riprenderli più volte e da diversi punti di vista nei vari livelli scolastici, sono quelli dell’approssimazione, dellamisura e dellesuccessioni

34. Approssimazione, come? • Misurare aree e lunghezze I problemi legati alla misura (di lunghezze, di aree, di volumi) sono presenti nei programmi in tutti i livelli scolastici. Solitamente però, con qualche eccezione nella scuola primaria, essi si riducono al calcolo di perimetri, di aree o di volumi di figure particolari (poligoni, cerchio, poliedri, solidi di rotazione) attraverso formule specifiche.

35. Approssimazione, come? • Misurare aree e lunghezze Questa impostazione alimenta negli allievi la convinzione che «ogni problema matematico si risolva con una formula o un algoritmo particolare» e che non sia del tutto lecito, in matematica, utilizzare metodi di approssimazione

36. L’area di un laghetto(Oltre ogni limite…percorsi didattici per insegnanti spericolati, 2005) • Immagina di vedere dall’alto un laghetto di montagna e di disegnarlo ottenendo la figura qui a fianco • L’area della figura grigia si può misurare? • Se sì, come? Se no, perché?

37. Obiettivi di ‘L’area di un laghetto’ • Collegare l’esistenza della misura dell’area alla forma della figura più che all’esistenza di formule per calcolarla; • attivare la ricerca di strategie di misura che non si possono basare sull’applicazione di formule; • destabilizzare la certezza di poter sempre determinare esattamente il risultato di un problema; • assumere la consapevolezza che il risultato ottenuto è necessariamente approssimato;

38. Obiettivi di ‘L’area di un laghetto’ • capire che è possibile scegliere fra più metodi di approssimazione o applicare uno stesso metodo con successivi raffinamenti, rendendosi conto di ottenere risultati con diversi gradi di precisione; • intuire che, per esempio attraverso quadrettature sempre più fini, ci si può -almeno teoricamente- avvicinare sempre di più al valore ‘esatto’ della misura dell’area. • L’attività può essere proposta individualmente o in piccoli gruppi. Gli allievi devono disporre di strumenti da disegno (carta, matita, riga o squadra).

39. Risultati di ‘L’area di un laghetto’ • L’attività è stata proposta in classi con allievi dai 9 ai 16 anni, mostriamone alcuni esiti Domanda 1 L’area della figura grigia si può misurare?

40. Risultati di ‘L’area di un laghetto’ Le motivazioni del “no” alla prima domanda • Secondo gli allievi non si può misurare l’area perché: • N1 la figura è curva, è irregolare, non è regolare… (argomentazione esclusivamente qualitativa) • N2 la figura non ha lati che si possano misurare… (argomentazione con introduzione di aspetti quantitativi) • N3 la figura non è un poligono, non è un cerchio… (impossibilità di ricondursi a figure note) • N4 non ci sono formule per calcolare l’area… (mancanza di formule specifiche) • N5 altro (nessuna motivazione o risposte di altra natura)

41. Risultati di ‘L’area di un laghetto’ Domanda 2 Se sì, come? Se no, perché? Tipologie di risposte negative • N1: a causa dell’impossibilità di riferirsi a figure note (descrizione qualitativa/quantitativa) • N2: a causa dell’impossibilità di riferirsi a formule note • N3: altro (risposte non pertinenti)

42. Risultati di ‘L’area di un laghetto’ Domanda 2 Se sì, come? Se no, perché? (N1) Anna [L’area non si può misurare perché la figura] ha delle onde; Martina: [L’area non si può misurare perché la figura] è curvosa.

43. Risultati di ‘L’area di un laghetto’ Domanda 2 Se sì, come? Se no, perché? Tipologie di risposte positive L’area si può misurare ma … • S1 non so come, non ho gli strumenti necessari … • S2 non ci sono formule … L’area si può misurare col seguente metodo … • S3 trasformare la figura in un poligono con la stessa area … • S4 decomporre la figura in poligoni o quadrettarla … • S5 altre strategie

44. Risposte corrette, ma… • Le risposte corrette fanno riferimento a decomposizioni in poligoni o a quadrettature. • Tuttavia pochi allievi ammettono esplicitamente che il metodo seguito produce un risultato approssimato. • E anche quelli che lo fanno, sembrano attribuire all’approssimazione una connotazione negativa, testimoniata dall’utilizzo del termine approssimativo, al posto di approssimato.

45. Risposte corrette, ma… • Leonardo (3 SII) : Forse sì. Tratteggiandola a maglia di ferro con dei quadratini piccoli forse di può avere un’idea approssimativa.  • L’idea dinamica di iterazione e di avvicinamento sempre migliore non è presente in alcuna risposta. • Christopher, (SI) propone un metodo «fisico»: Secondo me sì, ritagliando la figura e pesandola; dopo aver ottenuto il peso, la densità e in seguito il volume. E poi si deve calcolare l’area.

46. E su scala internazionale? • Dal progetto PISA (per allievi di 15 anni per misurare le conoscenze la capacità di riflettere le conoscenze le esperienze, nonché su la capacità di applicarle e questioni e situazioni del mondo reale) (OCSE, 2001). • Stimate l’area dell’Antartide utilizzando la scala della cartina. • Esplicitate il vostro lavoro e spiegate come avete fatto tale stima (Potete disegnare sulla cartina se ciò può esservi di aiuto).

47. Ad esempio, in Svizzera • Il tasso di riuscita 21% (risposta corretta: area compresa tra 12'000'000 e 18'000'000 km2) con una variazione da 11 a 28% a seconda dei cantoni. • I metodi più utilizzati consistono nel calcolare l’area di un rettangolo o addizionare l’area di varie figure geometriche regolari. • Solo pochissimi allievi hanno pensato a calcolare l’area di un cerchio.

48. Accettare un risultato approssimato • La macchia Che bella figura! Mario e Giovanna devono trovare l'area di questa figura: Mario propone di misurare la superficie con carta a quadretti del primo tipo: Giovanna con carta a quadretti del secondo tipo: • E tu che cosa faresti? Hai altre proposte? • Quanto misura secondo te la superficie della figura? Spiega come l’hai trovata.

49. Obiettivi del problema ‘La macchia’ • Attivare la ricerca di strategie risolutive che non si possono basare sull’applicazione di formule; • destabilizzare la certezza di poter sempre determinare esattamente il risultato di un problema; • assumere la consapevolezza che il risultato ottenuto operativamente è necessariamente approssimato; • capire che è possibile scegliere fra più metodi di approssimazione o applicare uno stesso metodo con successivi raffinamenti, rendendosi conto di ottenere risultati con diversi gradi di precisione.

50. Accettare un risultato approssimato • Centrare il Bersaglio • Agli allievi viene consegnato un foglio A4, sul quale segnano il loro numero d’ordine nell’elenco alfabetico. • L’insegnante, alla presenza degli studenti, segna sul proprio foglio un punto in una posizione a suo piacimento ed afferma (eventualmente prospettando un premio) che vince questo gioco chi, tra loro, saprà rappresentare sul proprio foglio un punto in una posizione identica alla sua.