M. en C. Arturo Lezama León Maestría en Ciencias, en Ciencias de la Computación.

1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PACHUCAMAESTRÍA EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIONESMatemáticas Discretas M. en C. Arturo Lezama León Maestría en Ciencias, en Ciencias de la Computación. Septiembre – Diciembre 2009

2. Objetivo • Al finalizar el curso el alumno deberá aprender un conjunto particular de realidades matemáticas, como aplicarlas y a pensar desde el punto de vista matemático para resolver problemas construyendo sus propios modelos.

3. Evaluación y acreditación • Para acreditar la asignatura deberá obtener una calificación mínima aprobatoria de 80 y se tomará en cuenta para la misma: discusión de artículos, participación en las sesiones teóricas, completamiento debido de las prácticas y promedio de los exámenes que a juicio del profesor se apliquen para promover el autoestudio y la obtención parcial de la competencia de que se trate.

4. Reglas del curso • Horario: 5 p.m. – 6:30 p.m. Lunes • Al término de la unidad se realizará un examen. • Para tener derecho a los exámenes se tendrá que entregar los trabajos impresos y engargolados en pasta negra. • Se formarán equipos funcionales de máximo tres personas, para la entrega de tareas. • La tolerancia es de 10 min a la entrada. • Más de dos faltas considérese reprobado en el curso. • El promedio de las calificaciones de las unidades = 80 % • Prácticas (ejercicios y aplicaciones) + Investigaciones = 20 % • Las prácticas deberán entregarse tres días antes del examen. • Las fechas de los exámenes no se pueden cambiar.

5. Contenido • Unidad I. Lógica Matemática (3 semanas) • Unidad II. Conjuntos (2 semanas) • Unidad III. Relaciones y Funciones (3 semanas) • Unidad IV. Algebra Booleana (3 semanas) • Unidad V. Introducción a los Grafos y Árboles (3 semanas)

6. Unidad I. Lógica Matemática • I. 1. Proposiciones lógicas • I. 2. Operaciones lógicas • I. 3. Tablas de verdad • I. 4. Enunciados, representaciones simbólicas y tautologías • I. 5. Cuantificadores, predicados y validez • I. 6. Lógica proposicional • I. 7. Lógica de predicados • I. 8. Inducción • I. 9. Recursión y relaciones de recurrencia

7. Objetivo U.I. Lógica Matemática • Que el alumno conozca las formas con las que se representan las características de la lógica matemática, mediante el uso de su formulación para demostrar sus equivalencias.

8. I. 1. Proposiciones lógicas • La lógica es el estudio del razonamiento. • La lógica se centra en las relaciones entre los enunciados y no en el contenido de un enunciado particular. • Una proposición es una declaración que encierra falsedad o verdad pero no ambas. • 1. Vicente Suárez se considera un niño héroe • 2. 2+2=3 • 3. 1+1=2 • 4. Pachuca es la capital de Hidalgo. • El área de la lógica que plantea proposiciones es llamada calculo proposicional.

9. I. 2. Operaciones lógicas • AND (.) , (^). Y P and Q • OR (+), (v). O P or Q • NOT (¬). Negación ¬P • OR Exclusiva

10. Si, entonces • Implicación → • La formulación “si p entonces q” enfatiza la hipótesis, mientras que la formulación “p sólo si q” enfatiza la conclusión. • La proposición q → p es la reciproca de la proposición p → q

11. Si y solo si • Bi condicional ↔

12. Ejercicios: (JOHNSONBAUGH, Richard) • Tema 1.1. proposiciones. Realizar ejercicios impares. • Enviar tareas a: lezama@upp.edu.mx

13. I. 3. Tablas de verdad • Despliega las relaciones entre los valores de verdad de las proposiciones.

14. I. 4. Enunciados, representaciones simbólicas y tautologías • Si el resultado es verdadero, se conoce como tautología • Si el resultado es falso, se conoce como contradicción • Si al menos un resultado es falso o verdadero, se conoce con el nombre de inconsistencia o cumplible.

15. I. 5. Cuantificadores, predicados y validez • p: n es un entero impar • Una proposición es una afirmación que es verdadera o falsa. • La afirmación p no es una proposición, ya que depende de n • Sea P(x) un enunciado que contiene la variable x y sea D un conjunto. P es una función proposicional (con respecto de D), P(x) es una proposición. D es el dominio del discurso. • Sea P una función proposicional con dominio de discurso D. La afirmación para toda x, P(x) es una afirmación cuantificada universalmente. El símbolo ∀ significa “para toda”. Así la afirmación para toda x, P(x) puede escribirse como ∀x, P(x) • El símbolo ∀ es un cuantificador universal. • El símbolo ∀ se lee “para cada”, “para toda” o “para cualquier”

16. El símbolo ∃significa “para alguna” • La afirmación para alguna x, P(x) • El símbolo ∃ es un cuantificador existencial

17. I. 6. Lógica proposicional • La parte de la lógica que estudia las operaciones proporciona y la deducción proposicional se denomina “lógica proposicional” o “cálculo proposicional” • Los siguientes son ejemplos de proposiciones: • Es posible que llueva mañana • Es necesario que alguien lo ayude • Luchemos por la Paz • Ninguna ley debe ser violada • ¿Hay alguna forma de vida en el planeta Marte? • Ana lee un libro • La tierra efectúa, entre otros, un movimiento de rotación sobre su eje, un movimiento de traslación alrededor del sol.

18. Notas • Las proposiciones a) y b) se llaman modales, puesto que expresan una posibilidad o necesidad. • La proposición c) es “imperativa”, expresa mandato o exhortación. • La proposición d) es de tipo “deóntica”, expresa un deber • La proposición e) es una interrogación • La proposición f) y g) son del tipo enunciativas. A ellas se puede asociar un valor de verdad, como propiedad que las distingue

19. Aquí nos concentraremos en las proposiciones enunciativas solamente • En el lenguaje natural se denominan oraciones a estos ejemplos, sin embargo, la palabra “oración” tiene una connotación lingüística, mientras que la palabra “proposición” tiene una connotación lógica. • Ejemplo: • Todos los hombres son mortales • No hay ningún hombre que no sea mortal • El hombre es mortal • En general consideremos que una proposición enunciativa se le podía asociar un valor de verdad que puede ser bivalente, es decir “verdadero” o “falso” Mañana va a llover

20. Ejemplos • La proposición “2 ≤ 2” es verdadera dada la propiedad reflexiva de la relación “≤” • La proposición “2 < 2” es falsa dada la propiedad irreflexiva de la relación “<“ • 2 es un número primo. Esto es una proposición elemental o simple, puesto que en ella no interviene ninguna operación lógica • a  A. Esta proposición es un ejemplo de negación, puesto que, en el resultado de aplicar a otra proposición una operación lógica (negación) • El número entero n es par o impar. Este es un ejemplo de disyunción lógica, es el resultado de aplicar a dos proposiciones una operación lógica denominada disyunción. • 2 es un número par o primo. Es la proposición es un ejemplo de conjunción lógica • Si la recta AB es paralela a la recta CD entonces CD es paralela a AB. Este es un ejemplo de condicional lógica, que representa: si entonces • A  B si y solo si A = B. Ejemplo de bi condicional lógica, que representa: ssi

21. Proposiciones condicionales y equivalencia lógica • María será una buena estudiante si estudia mucho • Juan puede cursar cálculo si está en su segundo, tercer o cuarto año de estudio de licenciatura • Cuando cantas, me duelen los oídos • Una condición necesaria para que los cachorros ganen la serie mundial es que consigan un lanzador relevista • Una condición suficiente para que Rafael visite California es que vaya a Disneylandia

22. Alfabeto del calculo proposicional • El alfabeto del calculo proposicional consta de cuatro componentes: • Contantes proposicionales • Variables proposicionales • Símbolos operacionales • Símbolos auxiliares de escritura

23. Constantes proposicionales • Símbolos que denotan de manera compacta determinadas proposiciones. En general se consideran el ‘1’ y el ‘0’ se utilizarán para denotar proposiciones verdaderas y falsas respectivamente.

24. Variables proposicionales • Símbolos que denotaran proposiciones elementales cualesquiera. Se utilizaran las letras del alfabeto p, q, r o con subíndices P1, P2,…, P n (n  N)

25. Símbolos operacionales • Símbolos que denotan las operaciones lógicas sobre las proposiciones:

26. Símbolos auxiliares de escritura • Símbolos que permite agrupar a las proposiciones de manera que quede claro a que proposiciones se aplica cada operación. Utilizaremos los corchetes ‘[’ , ‘]’ como símbolos auxiliares.

27. Fórmulas • Representa el conjunto de todas las combinaciones operacionales admitidas entre proposiciones, que brindan como resultado una expresión. (validas o admitidas) • Reglas para la construcción de fórmulas • Toda constante o variable proposicional es una formula • Si A es una fórmula, entonces –[A] es una formula • Si A y B son fórmulas, entonces [A v B] [A ^ B], [A  B], [A B] son fórmulas • No existen fórmulas en el lenguaje proposicional que no sean las definidas por las reglas i), ii), iii)

28. Ejemplos • La expresión [- [p]-[q v p]] es una fórmula • La expresión [-[p]  -[rv]] no es una fórmula. Se puede observar que “rv” no es una formula.

29. Operaciones de cálculo proposicional (tablas de verdad o veritativas) • La negación es opuesto, no complemento • La disyunción entre dos proposiciones (A v B) toma valor 1 si y solo si alguna de las dos proposiciones A ó B tiene valor 1. • A  B es falsa si A es falsa y B es falsa

30. La conjunción entre dos proposiciones (A ^ B) toma valor 1 solo si ambas proposiciones A y B tienen valor 1 • A  B toma valor 0 si alguna de las proposiciones toma valor 0. A es falsa y B es falsa.

31. La implicación entre dos proposiciones (A  B) tiene valor 0 en caso de que A tenga valor 1 y B tenga valor 0, en el resto de los casos A B tiene valor 1 • La equivalencia o bicondicional entre dos proposiciones (A  B) tiene valor 1 en caso de que A y B tenga el mismo valor, y tiene valor 0 si A y B tienen valores diferentes.

32. Interpretación de fórmulas • De acuerdo con el número n de variables proposicionales distintos que tenga una fórmula A, dicha fórmula tendrá 2n interpretaciones como resultado de todos los posibles valores de verdad 0 y 1 de sus n variables proposicionales. • Ejemplo: • Hallemos el valor de verdad de la fórmula p ^- q  [- [s v p]  r] a.1. p:1, q:1, s:0, r:0 Para la interpretación dada la fórmula es verdadera a.2. p:1, q:0, s:0, r:1

33. b) Construir la tabla de verdad de la fórmula p  [q v r] Todas las posibles interpretaciones

34. Una fórmula puede ser: • Cumplible : Si y solo si es verdadera para al menos una interpretación. a.1. Un caso particular es cuando se cumple para cualquier interpretación, en cuyo caso se denomina “Fórmula tautológica” o “tautología”. a.2. Contradictoria (o una contradicción). Cuando no es cumplible, es decir, cuando es falsa para cualquier interpretación. Ejemplos: a) Verificar que la siguiente fórmula es una tautología [p v q] v – [p v q] b) Verificar que la siguiente fórmula es una contradicción: A ^-A

35. De las definiciones de tautología y la contradicción se desprende que: • Una fórmula A es una tautología ssi –A es una contradicción • Una fórmula A es una contradicción ssi –A es una tautología Ejercicios: • ¿Cuáles entre las siguientes cadenas de símbolos son fórmulas? • p  q • --p • q- • p-^q • [p^q]r • -p^[r v s] • p  q ^ r • Determine cuáles de las siguientes fórmulas son cumplibles, tautologías o contradicciones • -[p[q  p] • -[p ^ q]  [-p v –r] • -[p^q • [p^-p]  q • [p v –[q v r ]]  [-[p v q] ^-r] • [-[p q] r] [-[p ^-q] v r] • [[p q]^[-p r]] [q v r] • [[-p v q]  p] - [-p  q] • [p q] [[-q v r]  [-r  -p]]

36. Equivalencia entre fórmulas • Definición: • Sean A y B fórmulas cualesquiera. Se dice que A y B son “Equivalentes” si y solo si A  B es una tautología, se denota AB • De acuerdo a la definición, dos fórmulas son equivalentes si y solo si tienen para las mismas interpretaciones los mismos valores. • Ejemplos: • Verifiquemos que las formulas siguientes son equivalentes: • -p v q • p  q • Verificar que –[p^-q]  [p  q]

37. La relación  entre fórmulas es una relación de equivalencia, es decir, satisface las propiedades: • Reflexiva. A A dado que A  A es una tautología • Simétrica. Si A  B entonces B  A, dado que si A  B es una tautología B A también lo es • Transitiva. Si A  B y B  C entonces A  C • Definición.- Sean A y B fórmulas cualesquiera. Se dice que A implica lógicamente a B ssi A  B es una tautologíase denota A ≡⟩ B por lo tanto, una fórmula A implica lógicamente a una fórmula B ssi no existe ninguna interpretación para la cual A sea verdadera y B sea falsa. Verifique que –p ^[-p v q]  -p es una tautología Nota. ≡⟩ significa “implica lógicamente”

38. Leyes de cálculo proposicional

39. Leyes de cálculo proposicional

40. Leyes de cálculo proposicional

41. Leyes de cálculo proposicional

42. [Tarea] Reduzca las siguientes fórmulas aplicando las leyes del cálculo proposicional, indicando el número de la fórmula utilizado. • [--[p  q]^-[p^-p] • [r  q] v [-p  [p  [r^-r]]] • [-[p q]^[r v-r]]v[p v-p]

43. I. 7. Lógica de predicados • En vez de usar proposiciones se utilizan variables. • Leer: • Calculo de predicados

44. Formas normales proposicionales • Es posible desarrollar un método para la transformación de cualquier fórmula en otra lógicamente equivalente peron con una estructura más simple donde sólo se utilicen las operaciones de: negación, disyunción y conjunción, las cuáles se denominan “Forma normales”. • Definición: Una fórmula A se denomina “literal” ssi A es una variable proposicional o la negación de una variable proposicional. Ejemplo: p, -q son literales • Definición: Una fórmula A se denomina “Forma Normal Conjuntiva” si y solo si A es la constante ‘o’ o A es de la forma A1^A2^A3^…^An (n≥1) y cada Ai es una literal o una Disyunción de literales. • Las formas normales conjuntivas se identifican como FNC • Ejemplos: • 0 • P • -q • P ^-q • P v –q • [pv-q]^[-pv-qv-r]^[qvr] Caso típico de FNC; Conjunción de disyunciones de literales

45. Definición. Una fórmula A se denomina “Fórmula normal disyuntiva” si y solo si A es la constante. ‘1’ ó A es de la forma A1 v A2 v … v An (n ≥ 1) y cada Ai es una literal o una conjunción de literales. • Ejemplos: • 1 • P • -q • P^-q • P v –q • [p^-q ] v [-p^-q^-r] v [q ^ r] Caso típico de FND. Una disyunción de conjunciones de literales.

46. Teorema. Para toda fórmula A puede hallarse una fórmula A’ que sea FNC (FND) tal que A  A’ • La demostración del teorema lleva implícita el siguiente procedimiento para hallar cualquiera de las dos formas normales. • Primero: Utilizar las leyes L20 y L21 para eliminar las operaciones  y  • Segundo. Utilizar L15 (negación de la negación) y L18 y L19 (ley de Morgan) con el objetivo de eliminar todas las negaciones que no sean literales. • Tercero. Utilizar L7 y L8 (Leyes distributivas) para obtener la forma normal deseada • Nota. Estos pasos deberán aplicarse repetidamente y además otras leyes pueden también ser aplicadas.

47. Ejemplo: Hallar una FNC y una FND de [p v -q]  -[p ^ r] • Para obtener FNC [p v -q]  -[p ^ r]  - [p v -q] v – [p ^ r] L20  [-p ^ --q] v [-p v -r] L18, L19  [-p ^q] v [-p v -r] L15  [-p v [-p v -r]]^[qv[-pv-r]] L7, L5  [-p v -r] ^[q v –p v -r] L3, L1 (FNC) • Para obtener FND [p v -q]  -[p ^ r]  - [p v -q] v -[p^r] L20  [-p ^--q]v [-p v -r] L18, L19  [-p ^q] v [-p v -r] L15  [-p ^ q] v –p v –r L3 (FND)

48. [tarea] Trasformar las siguientes fórmulas a FNC • [p q] ^[q  r] • A  [-B [C ^A]] [tarea] Trasformar las siguientes fórmulas a FND [q^-r]  [-[q v p]^[q  p]] -[A^-B]  [-A v -C]^B

49. I. 8. Inducción • Sea k un número fijo (positivo, negativo o cero). Supongamos que para cada entero n ≥ k se tiene una proposición correspondiente p(n) y que se desea demostrar que P(n) es verdadera para todas las n ≥ k • Supongamos que: • P(k) es verdadera • Para toda n ≥ k, siempre que P(n) sea verdadera, se sigue que P(n+1) es verdadera Entonces el ‘Principio de Inducción Matemática’ establece que P(n) es verdadera para todo n ≥ k

50. Paso básico: Se demuestra que la propiedad se cumple para el primer elemento k • Paso inductivo: Se supone la propiedad cierta para n ≥ k y se demuestra que esto implica el cumplimiento para n+1 • Ejemplos: • Demostrar que para toda n ≥1 se cumple lo siguiente: 1+2+…+n = n(n+1)/2