2012 년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

1. 이산수학(Discrete Mathematics) 논리 (Logic) 2012년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

2. 논리(Logic)란? 1.1 Logic 논리(logic)란 수학적 표현의 의미를 정확하게 기술할 수 있게 함 논리는 회로 설계, 프로그램 작성, 프로그램 정확성 검증 등에 활용

3. 명제(Proposition) 1.1 Logic • 명제의 정의 • 명제란 참(true, T) 또는 거짓(false, F)을 판정할 수 있는 선언적 문장을 말한다. • A proposition (p, q, r, s, …) is a declarative statement that is either true (T) or false (F), but not both. • 명제의 예제 • 1 + 1 = 2. (T) • 2 + 2 = 5. (F) • Seoul is the capital of Korea. • 11213 is prime. • 명제가 아닌 예제 • Who is there? (not declarative, question) • Just do it! (command) • x + 2 = 5. (non-constant value, variable)

4. 논리 연산자(Logical Operator) (1/2) 1.1 Logic • 논리 연산자 관련 용어 정의 • 하나 또는 여러 명제를 조합하여 새로운 수학적 명제를 만들 수 있으며, 이를 복합명제(compound proposition)라 한다. • 복합명제를 만들 때 사용하는 연산자를 논리 연산자(logical operator) 혹은 접속사(connective)라 한다. • 논리 연산자는 명제 연산자(propositional operator) 혹은 불리언 연산자(Boolean operator)라고도 불리며, 피연산자(operand)로서 명제 혹은 진리 값(truth value)을 취한다.( 본 강의에서는 이들 용어를 동일한 의미로 혼용하여 사용할 예정임)

5. 논리 연산자(Logical Operator) (2/2) 1.1 Logic Boolean Operator의 예

6. 부정(Negation) (1/2) 1.1 Logic • 부정의 정의 • p가 명제이면, “It is not the case that p” 역시 명제이며, 이를 p의 부정(negation)이라 하며, ¬p(not p)로 표기한다. • The unary negation operator “¬” (NOT) transforms a proposition into its logical negation. • 부정 명제의 예제 • 명제(p) “I have brown hair.”의 부정 명제(¬p)는 “I do NOT have brown hair.”이다. • 명제 “Today is Sunday.”의 부정 명제는 “Today is NOT Sunday.”이다.

7. 부정(Negation) (2/2) 1.1 Logic Negation operator의 truth table Operand column Result column

8. 논리곱(Conjunction) (1/2) 1.1 Logic • 논리곱의 정의 • p와 q가 명제이면, “p and q”도 명제이며, 이를 p와 q의 논리곱(conjunction)이라 하고, pq라 표기한다.이 명제는 p, q가 모두 참일 때만 참이 되며, 그 외는 모두 거짓이 된다. • The binary conjunction operator “” (AND) combines two propositionsto form their logical conjunction. • 논리곱 사용의 예제 • p = “I will have salad for lunch.”, q = “I will have a steak for dinner.” • pq = “I will have salad for lunch and I will have steak for dinner.”

9. 논리곱(Conjunction) (2/2) 1.1 Logic Conjunction operator의 truth table

10. 논리합(Disjunction) (1/2) 1.1 Logic • 논리합의 정의 • p와 q가 명제이면, “p or q”도 명제이며, 이를 p와 q의 논리합(disjunction)이라 하고, pq라 표기한다.이 명제는 p, q가 모두 거짓일 때만 거짓이 되며, 그 외는 모두 참이 된다. • The binary disjunction operator “” (OR) combines two propositionsto form their logical disjunction. • 논리합 사용의 예제 • p = “My car has a bad engine.”, q = “My car has a bad carburetor.” • pq = “My car has a bad engine, or my car has a bad carburetor.”

11. 논리합(Disjunction) (2/2) 1.1 Logic Disjunction operator의 truth table

12. 배타적-OR (Exclusive-OR) (1/2) 1.1 Logic • 배타적-OR의 정의 • p와 q가 명제이면, “p exclusive-or q”도 명제이며, 이를 p와 q의 배타적-OR(exclusive-or)라 하고, pq라 표기한다.이 명제는 p, q중 어느 하나만이 참일 때만 참이, 그 외는 모두 거짓이 된다. • The binary exclusive-or operator “” (XOR) combines two propositionsto form their logical “exclusive or”. • 배타적-OR 사용의 예제 • p = “I will earn an A in this course.”, q = “I will drop this course.” • pq = “I will either earn an A for this course, or I will drop it (but not both!).”

13. 배타적-OR (Exclusive-OR) (2/2) 1.1 Logic Exclusive-OR operator의 truth table

14. 함축 (Implication) (1/2) 1.1 Logic • 함축의 정의 • p와 q가 명제이면, 함축(implication) “pq”도 명제이며, 이 명제는 p가 참이고 q가 거짓일 경우에만 거짓이 되며, 그 외는 모두 참이 된다.이때, p를 hypothesis, antecedent라 부르고, q를 conclusion, consequent라 부른다. • The implicationpqstates that p implies q. That is, if p is true, then q is true; but p is not true, then q could be either true or false. • 함축 사용의 예제 • p = “You study hard.”, q = “You will get a good grade.” • pq = “If you study hard, then you will get a good grade.”(else it could go either way)

15. 함축 (Implication) (2/2) 1.1 Logic Implication operator의 truth table • “pq”를 표현하는 영어 문장 • p implies q. • If p, then q. • p only if q. • p is sufficient for q. • q is necessary for p.

16. 역(converse), 이(inverse), 대우(contrapositive) 1.1 Logic • 역, 이, 대우의 정의 • 역(converse): q  p • 이(inverse): ¬p  ¬q • 대우(contrapositive): ¬q  ¬p • 역, 이, 대우의 예제 • 명제: “If it is raining, then the home team wins.” • 역: “If the home team wins, then it is raining.” • 이: “If it is not raining, then the home team does not win.” • 대우: “If the home team does not win, then it is not raining.” • Converse/Inverse/Contrapositive의 truth table 동치(equivalent)

17. 상호조건명제 (Biconditional) (1/2) 1.1 Logic • 상호조건명제의 정의 • p와 q가 명제이면, “p↔q”를 상호조건명제(biconditional)라 하고, p와 q가 동일한 진리 값을 가질 때 참이 되며, 다른 진리 값을 가지면 거짓이 된다. • The biconditionalp↔qstates that p is true if and only if (IFF) q is true. • p↔q  (pq)(qp)  ¬(pq) • 상호조건명제의 사용의 예제 • p = “You can take the flight.”, q = “You buy a ticket.” • p↔q = “You can take the flight if and only if you buy a ticket.”

18. 상호조건명제 (Biconditional) (2/2) 1.1 Logic Biconditional operator의 truth table • “p↔q”를 표현하는 영어 문장 • p if and only if q. • p is necessary and sufficient for q. • q is necessary and sufficient for p.

19. 논리 연산자의 우선순위(Precedence) 1.1 Logic 우선 순위 테이블 • ¬pq는 (¬p)q를 의미하며, ¬(pq)를 의미하지 않는다. • pqr은 (pq)r를 의미하며, p(qr)를 의미하지 않는다. 우선 순위를 명확히 하기 위하여 괄호 “()”를 사용

20. Some Alternative Notations 1.1 Logic

21. Logic and Bit Operations 1.1 Logic • 비트(bit)란 binary digit(이진수)에서 따온 단어임 • 비트는 1(true)과 0(false)의 값을 가짐 • True 혹은 false를 값으로 갖는 변수(variable)를 Boolean variable이라 함 • Bit operator(OR, AND, XOR)의 truth table Bit operation의 예제 01 1011 0110 11 0001 1101 11 1011 1111 bitwise OR 01 0001 0100 bitwise AND 10 1010 1011 bitwise XOR