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MATEMÁTICAS A. CS II

MATEMÁTICAS A. CS II. Tema II Matrices. OPERACIONES: PRODUCTO DE MATRICES. TEMA 2.3 * 2º BCS. PRODUCTO DE MATRICES.

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  1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema II Matrices Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  2. OPERACIONES:PRODUCTO DE MATRICES TEMA 2.3 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  3. PRODUCTO DE MATRICES • Para multiplicar una matriz fila de tamaño 1xn por una matriz columna de tamaño nx1, se van multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados parciales, de modo que el resultado final es un número real. • Ejemplo_1 • d • ( a b c ) e = a.d + b.e + c.f • f • Ejemplo_2 • 4 4.2 4.5 4.(-7) 8 20 -28 • -3 ( 2 5 -7 ) = -3.2 -3.5 -3.(-7) = -6 -15 21 • 1 1.2 1.5 1.(-7) 2 5 -7 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  4. Producto: DEFINICIÓN • Dadas dos matrices A y B de tamaño mxn y nxp respectivamente, dos matrices en que el nº de columnas de la 1ª coincide con el nº de filas de la 2ª, se llama matriz producto A.B a una nueva matriz en la que el elemento de lugar (i,j) se obtiene multiplicando la matriz fila i de A por la matriz columna j de B. • El resultado es una matriz de tamaño mxp. a d . b e c f 2a+3b+4c 2d+3e+4f = 5a+6b+7c 5d+6e+7f 2 3 4 5 6 7 Una matriz [2x3] multiplicada por otra [3x2] da por resultado una [2x2] Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  5. Ejemplos 2 -3 -5 6 -1 . 4 2(-1)+(-3).4 = -5(-1)+6.4 -14 = 29 2 -3 -5 6 -1 2 . 4 3 2(-1)+(-3).4 2.2+(-3).3 = -5(-1)+6.4 -5.2+6.3 -14 -5 = 29 8 -1 2 . 4 3 2 -3 = 2(-1)+(-3).4 2.2+(-3).3 = -14 -5 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  6. Más ejemplos -1 . 4 2 2 -3 0 -5 6 1 2(-1)+(-3).4+0.2 = -5(-1)+6.4+1.2 -14 = 31 1 -2 0 3 -4 1 -1 2 . 4 3 1.(-1)+(-2).4 1.2+(-2).3 = 0.(-1)+3.4 0.2+3.3 (-4).(-1)+1.4 (-4).2+1.3 -9 -4 = 12 9 8 -5 1 0 -1 0 1 3 -1 1 0 5 . 7 4 5+0–4 = 0+7+12 -5+7+0 1 = 19 2 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  7. Último ejemplo • El producto de matrices NO es conmutativo: A.B <> B.A • Sea la matriz A [2x3] y la matriz B [3x2] -1 2 . 4 3 -2 -5 2(-1)-3.4+4(-2) 2.2-3.3+4(-5) = -5(-1)+6.4-1(-2) -5.2+6.3-1(-5) -22 -25 = 31 13 2 -3 4 -5 6 -1 -1 2 4 3 . -2 -5 -2-10 3+12 -4-2 = 8-15 -12+18 16-3 -4+25 6-30 -8+5 -12 15 -6 = -7 6 13 21 -24 -3 2 -3 4 -5 6 -1 • Como se puede observar los resultados son distintos: A.B = [2x2] y B.A = [3x3] Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  8. Propiedades del PRODUCTO • PROPIEDADES • Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C • (En ocasiones hay que multiplicar entre sí más de dos matrices) • No es conmutativa: A.B <> B.A • (Muy importante en las operaciones con matrices) • Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I). • (La matriz I es siempre cuadrado, presenta todos unos en la diagonal principal y los demás elementos son ceros) • Distributiva respecto a la suma: • A.(B+C) = A.B+A.C • (Hay que tener presente que A.(B+C) <> (B+C).A , en general.) • Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre. • (Imprescindible para poder dividir matrices. Si A.B = C, nos dan A y C, para hallar B tenemos: B=C / A = (1 / A).C , donde 1/A es la matriz inversa de A.) Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  9. Ejemplo • PROPIEDAD ASOCIATIVA: A.(B.C) = (A.B).C 1 1 0 1 -1 2 . 4 3 0 1 . 2 1 1 1 = 0 1 -1 2 . 4 3 0 1 . 2 1 1 1 0 1 4 1 . 6 7 3 5 = 4 3 0 1 . 2 1 10 8 6 7 10 8 = 6 7 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  10. Ejemplo • PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: A.(B+C) = A.B+A.C 1 1 0 1 -1 2 . 4 3 0 1 + 2 1 1 1 = 0 1 -1 2 . 4 3 1 1 + 0 1 0 1 . 2 1 1 1 0 1 -1 3 . 6 4 3 5 = 4 3 2 2 + 2 1 5 7 6 4 5 7 = 6 4 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  11. Otro ejemplo de propiedad anticommutativa del producto 8 17 = 26 53 1 2 A.B = 4 5 . 4 7 2 5 32 43 = 22 29 4 7 B.A = 2 5 . 1 2 4 5 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  12. POTENCIA DE UNA MATRIZ • A2 = A.A • A3 = A2 .A • A4 = A3 .A • An = An – 1 . A • En todos los casos los valores de los términos del resultado siguen una ley de formación, una serie. • 1 0 • Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz A = • 1 1 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  13. Ejemplo de potencias de matrices Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz 1 0 A = 1 1 • 2 1 0 1 0 1 0 • A = = • 1 1 1 1 2 1 • 3 1 0 1 0 1 0 • A = = • 2 1 1 1 3 1 • 4 n • ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ? Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  14. Otro ejemplo de potencias Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz 1 0 A = 1 0 • 2 1 0 1 0 1 0 • A = = • 1 0 1 0 1 0 • 3 1 0 1 0 1 0 • A = = • 1 0 1 0 1 0 • 4 n • ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ? Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  15. Otro ejemplo de potencias Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz 0 1 A = 1 0 • 2 0 1 0 1 1 0 • A = = • 1 0 1 0 0 1 • 3 1 0 0 1 0 1 • A = = • 0 1 1 0 1 0 • 4 • ¿Qué valdrá A ?  Lo mismo que A • n • ¿ Y A ?  A si n es par, e I si n es impar Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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