Download
1 / 23
240 likes | 414 Views
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky. Přednáška 01 Logika jiri.cihlar@ujep.cz. Matematika I. KIG / 1MAT1. O čem budeme hovořit:. Výroky a jejich logická struktura Kvantifikátory a predikáty Pravdivostní ohodnocení formulí Některé důležité tautologie
E N D
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 01 Logika jiri.cihlar@ujep.cz Matematika I. KIG / 1MAT1
O čem budeme hovořit: Výroky a jejich logická struktura Kvantifikátory a predikáty Pravdivostní ohodnocení formulí Některé důležité tautologie Logicky ekvivalentní formule Logické vyplývání
Výroky O každém výroku lze rozhodnout, zda je pravdivý anebo nepravdivý. Příklady výroků (bez kvantifikátorů): • Číslo 2 je nejmenší prvočíslo. • Není pravda, že číslo 13 je sudé. • Jestliže je číslo dělitelné třemi, pak je dělitelné i šesti. • Pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník má dva úhly o velikosti 450.
Obecný a existenční kvantifikátor Příklady výroků s kvantifikátory: • Existuje alespoň jedno prvočíslo. • Každéreálné číslo má svou druhou mocninu kladnou. • Ke každému kladnému číslu existuje alespoň jedno ještě menší kladné číslo. • Každákvadratická rovnice má nejvýše dva reálné kořeny.
Jaká sdělení nejsou výroky? U těchto sdělení nelze rozhodnout, zda jsou pravdivá anebo nepravdivá. Příklady sdělení, která nejsou výroky: • Druhá odmocnina ze středu kružnice kolmé na číslo 3 je sjednocení. • Číslo x je prvočíslo. • Existuje kladné číslo menší než číslo y. • Trojúhelník má shodné úhly.
Predikáty Příklady predikátů: • Číslo x je větší než 2. • Množina X je podmnožinou množiny Y. • Přímky a, b jsou rovnoběžné. • Prvek x náleží množině V. Predikáty formulují to, že objekty o nichž uvažujeme mají určité vlastnosti. Predikáty nejsou výroky, obsahují proměnné pro objekty. Predikáty neobsahují logické spojky ani kvantifikátory.
Jak vzniká z predikátu výrok? Kombinováním těchto dvou možností: • dosazování konstant za proměnné, • kvantifikováním proměnných. Příklady: původní predikát x < y utvořený výrok (x) x < 2 původní predikát A B utvořený výrok (B) (A) A B
Spojování výroků Základní logické spojky jsou v následující tabulce:
Pravdivostní hodnoty logických spojení Základní pravidla jsou v následujících tabulkách:
Příklad pravdivostního ohodnocení formulí bez kvantifikátorů Kolik řádků bude mít tabulka pro formuli, která má právě n různých výrokových proměnných?
Formule s kvantifikátory Schémata místo tabulek (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x)
Logické věty (tautologie) Tautologie jsou formule, které jsou vždy pravdivé. A B ( A B ) ( A B ) 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 Tautologie jsou základem logického myšlení.
Důležité tautologie o negaci Věta o negaci negace: ( A ) A De Morganovy zákony: ( A B ) ( A ) ( B ) ( A B ) ( A ) ( B ) Věty o negaci implikace a ekvivalence: ( A B ) A ( B ) ( A B ) ( A ( B ) ) ( ( A ) B )
Důležité tautologie o implikaci a ekvivalenci Jiné vyjádření implikace a ekvivalence ( A B ) ( A B ) ( A B ) ( A B B A ) Obměněna věty ve tvaru implikace ( A B ) ( B A ) Věta pro přímé důkazy ( A B B C ) ( A C ) Věta pro důkazy sporem ( A ( B B ) ) A
Negování kvantifikátorů (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x)
Logicky ekvivalentní formuleLogické vyplývání Je-li formule tautologie, říkáme, že formule a jsou (logicky) ekvivalentní, a píšeme . Je-li formule tautologie, říkáme, že z formule (logicky) vyplývá formule .
Příklad logicky ekvivalentních formulací V trojúhelníku se stranami a, b, c, kde c je nejdelší, platí: trojúhelník je pravoúhlý právě tehdy, když a2 + b2 = c2 jestliže jetrojúhelník pravoúhlý , pak a2 + b2 = c2 a současně jestliže a2 + b2 = c2 , pak jetrojúhelník pravoúhlý jestliže a2 + b2 = c2 , pak jetrojúhelník pravoúhlý a současně jestliže a2 + b2 c2 , pak trojúhelník není pravoúhlý
Co je třeba znát a umět? • Odlišovat výroky od „nevýroků“, • znát kvantifikátory různých druhů, • chápat logickou strukturu výroků, • znát pravdivostní ohodnocení logických spojení, • umět určit pravdivostní ohodnocení formule, • aktivně znát důležité tautologie, • chápat logickou ekvivalenci formulí a logické vyplývání, • umět vytvářet logicky ekvivalentní formulace.
