材料组织结构的表征上海交通大学材料学院李晓玲电话 15900715289 Email ： xiaolingli@sjtu

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教材：周玉主编《材料分析方法(第2版)》 机械工业出版社, 2004

成绩构成: 考试成绩70％（期中35％，期末35％）；平时成绩30％（考勤10％，作业20％）

X射线衍射晶体学基础 • 晶体结构与空间点阵 • 晶向指数和晶面指数 • 晶体的倒易点阵 • 晶体对称的基本概念

晶体结构与空间点阵 空间点阵的基本概念晶体结构最突出的几何特征是其结构基元(原子、离子、分子成其它原子集团)在晶体内部做周期性排列；将每个结构基元抽象地看成一个相应的几何点，就成一组无限多个作周期性排列的几何点，称为晶体的空间点阵。空间点阵中的几何点称为阵点。每个阵点都具有相同的几何环境,是等效的。整个点阵是一个对称的空间无限的几何图形。

以NaCl为例说明: NaCl晶体属于立方晶系，如图所示。由Na离子构成的几何图形和由Cl离子构成的几何图形是完全相同的，因此，可以用各类等同点排列规律所共有的几何图形来表示晶体结构的几何特征。将各类等同点概括地用一个抽象的几何点来表示，该几何点就是空间点阵的阵点。因此NaCl晶体的空间点阵为面心立方

空间点阵的种类 晶体结构的基本特征是质点分布的周期性和对称性。为使空间点阵能以更鲜明的几何形态显示出晶体结构的周期性和宏观对称性，通常在空间点阵中按一定的方式选取一个平行六面体，作为空间点体的基本单元，称为阵胞，也称原胞。原胞是空间点阵几何形象的代表。

原胞选取的原则 同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的原胞

原胞选取的原则 • 选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性； • 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； • 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多； • 当满足上述条件的情况下，原胞应具有最小的体积。

原胞和点阵矢量 , , , , 棱边夹角, ,  点阵常数：a, b, c 点阵矢量：

14种布拉菲点阵 根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属于7种类型，即7个晶系。按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，布拉菲（Bravais A．）用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有14种，这14种空间点阵也称布拉菲点阵。

2 晶向指数和晶面指数 • 晶向：晶体中原子的位置、原子列的方向 • 晶面：原子构成的平面 • Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数

晶向指数 任意阵点P的位置可以用矢量或者坐标来表示。 OP = u + v + w 晶向指数：[ u v w]

晶向指数的确定步骤 1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x,y, z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。 2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。 3)在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值。 4)将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[u v w]即为待定晶向的晶向指数。

晶向指数的例子 • 正交晶系一些重要晶向的晶向指数

晶向指数的意义 • 晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向； • 所指方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反； • 晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<u v w>表示

晶面指数标定步骤 晶面指数 1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同； 2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值； 3)取各截距的倒数； 4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为( h k l )。

晶面指数的意义 • 晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。 • 在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。 • 立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直;

六方晶系指数 六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述方法标定，这时取a1，a2，c为晶轴，而a1轴与a2轴的夹角为120度，c轴与a1，a2轴相垂直。但这种方法标定的晶面指数和晶向指数，不能显示六方晶系的对称性，同类型晶面和晶向，其指数却不相雷同，往往看不出他们的等同关系。

六方晶系晶面指数标定 根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。

六方晶系一些晶面的指数

六方晶系晶向指数标定 采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直)

六方晶系中，三轴指数和四轴指数的相互转化 三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w) 三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i ＝－ ( h + k ) 。

晶面位向 晶面指数确定了晶面的位向和间距。晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的；空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。对立方晶系

晶面间距（1） 由晶面指数求面间距dhkl 通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集；晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏。

晶面间距（2） 晶面间距公式的推导

晶面间距（3） 正交晶系立方晶系六方晶系

3 晶体的倒易点阵 为说明晶体衍射和晶体物理学中的问题，厄瓦尔德在1921年引入了倒易点阵概念。倒易点阵是一种虚点阵，它是由晶体内部的点阵按照一定的规则转化而来的。

倒易点阵的定义 正点阵由三个基矢a、b、c描述，再引进三个新基矢 a*、b*、c*，与正点阵 a、b、c 关系由新基矢决定的新点阵S*，即倒易点阵

倒易点阵的某些关系式 1、正倒点阵基矢之间关系基矢a*、b*、c*与基矢a、b、c之间互为倒易 V*=a*.(b*×c*)=b*.(c*×a*)=c*.(a*×b*)=1/V

2、正倒点阵基矢的交角之间的关系 基矢a与b交角γ，b与c交角α，c与a交角β，基矢a*、b*、c*可写成

利用上述关系，由正点阵，可求得倒易格子的三个基矢长度及交角，反之亦然正交晶系，基矢间交角为α=β=γ=90o，可证明 α*=β*=γ*=90o，以及

单斜晶系基矢间交角α=γ=90o 及β≠90 o，则 α*=γ*=90o及β*=180oβ，V＝bcasinβ 可以证明

3、倒易点阵的性质 倒易点阵中的矢量Hhkl 其中h、k、l为任意整数

倒空间的任意矢量 必垂直于正空间的(hkl)晶面。(任意晶系) (任意晶系) （正交晶系）

4晶体对称的基本概念 对称是晶体物质的固有属性，有些晶体本身就具有一定的外观对称形态，但绝大多数晶体并没有天然的对称外形，但这并不等于说这些晶体就不具有对称性。实践和理论部已证明，所有晶体中的质点都表现出各种不同的对称分布规律。

如果一个物体经过一定动作后又能回复原来的状态，物体上每一点的新位置与开始时另一点在这个位置上的情况完全重合，则这个物体是对称的。 如果一个物体经过一定动作后又能回复原来的状态，物体上每一点的新位置与开始时另一点在这个位置上的情况完全重合，则这个物体是对称的。使物体回复原来状态的动作称为对称操作或对称变换。在对称变换中所凭借的几何元素称为对称元素。

晶体的宏观对称性和点群 晶体的对称性分宏观对称性和微观对称性。宏观对称性是针对晶体的外形而言的，由对称要素组成。对称要素有平面、直线、点，即反映面、旋转轴、对称中心。

A 旋转对称轴 当晶体绕某一轴旋转而完全复原时，此轴称旋转对称轴。注意该轴线一定要通过晶胞的几何中心，且位于该几何中心与角顶或棱边的中心或面心的连线上。在旋转一周的过程中，晶体能复原n次，就称为n次对称轴。晶体中实际可能存在的对称轴有1，2，3，4和6次5种.

在一个立方体上有六条二次旋转轴(a)、四条三次旋转轴(b)、三条四次旋转轴(c)。在一个立方体上有六条二次旋转轴(a)、四条三次旋转轴(b)、三条四次旋转轴(c)。

B 对称面 晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面或镜面，国际符号用m表示。对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多面角的平分面，且必定通过晶体几何中心。

立方体中的对称面

C 对称中心 晶体中每一点与该晶体中心连一直线，在其延长线上距中心的等距位置能找到相同的点，这种对称变换称为反演，其对称元素称为对称中心或反演中心，用国际符号i。对称中心必然位于晶体中的几何中心处。立方体上的所有点都可以进行反演操作

D 旋转—反演轴 若晶体沿某一轴旋转一定角度(360／n)，再以轴上的—个中心点作反演之后能得到复原,此轴称为旋转-反演轴。旋转-反演轴也可有1，2，3，4和6次5种.国际符号为:

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