1 / 40

Szereg czasowy – czy trend jest wykładniczy?

Szereg czasowy – czy trend jest wykładniczy?. Problem. Powiedzmy, że interesuje nas odpowiedź na następujące pytanie:. W latach 1985-94 obserwujemy wartość pewnej cechy, np. wielkość produkcji telewizorów w tys. sztuk. Dane empiryczne zobaczymy na kolejnym slajdzie. Problem – dane empiryczne.

majed
Download Presentation

Szereg czasowy – czy trend jest wykładniczy?

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Szereg czasowy – czy trend jest wykładniczy? Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  2. Problem Powiedzmy, że interesuje nas odpowiedź na następujące pytanie: W latach 1985-94 obserwujemy wartość pewnej cechy, np. wielkość produkcji telewizorów w tys. sztuk. Dane empiryczne zobaczymy na kolejnym slajdzie. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  3. Problem – dane empiryczne Dane te tworzą szereg czasowy (inaczej chronologiczny). Szereg czasowy, to zbiór wyników postaci (t, yt) uporządkowany rosnąco wg czasu. Czas w szeregu czasowym odgrywa rolę zmiennej niezależnej Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  4. Problem – inna postać danych Bez szkody dla istoty problemu, a dla całkowitej zgodności z definicją szeregu czasowego przekształcamy czas tak, aby przypisać mu kolejne wartości naturalne 1, 2, 3 itd.. Interesuje nas teraz pytanie, czy możemy uznać, że trend tego zjawiska można przedstawić jako wykładniczą funkcję czasu? Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  5. Problem – próba odpowiedzi Można oczywiście oszacować (korzystając z Excela) wykładniczy model trendu na podstawie danych z poprzedniego slajdu. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  6. Próba odpowiedzi Jak widzimy trend wykładniczy dość dobrze opisuje badaną zależność, ale z tego jednoznacznie nie wynika, że powinniśmy zastosować właśnie model wykładniczy. W przypadku szeregu czasowego (szerzej: wtedy, gdy x zmieniają się o stałą wartość) i konieczności sprawdzenia, czy związek między y a czasem (x) jest wykładniczy możemy skorzystać z bardzo prostej własności funkcji wykładniczej. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  7. Własność funkcji wykładniczej Załóżmy, że między y a zmienną t jest związek wykładniczy postaci: Przyrost absolutny wartości funkcji wykładniczej dla argumentu t i t-1 jest równy: dla t=2, 3, …, n Jak widzimy przyrost absolutny nie jest stały, lecz jest funkcją czasu. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  8. Własność funkcji wykładniczej (2) Mając przyrosty absolutne możemy wyznaczyć przyrosty względne wartości funkcji w punkcie t: dla t=2, 3, …, n Z powyższego wynika, że w przypadku zależności wykładniczej przyrosty względne zmiennej y-ek są STAŁE (nie są funkcją zmiennej t) Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  9. Rozwiązanie Wykorzystując podaną na poprzednim slajdzie zależność wyznaczamy dla naszych danych przyrosty absolutne zmiennej y dla kolejnych wartości czasu: A następnie przyrosty względne: Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  10. Rozwiązanie – dane wyjściowe,przyrosty bezwzględne i względne Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  11. Obliczenie przyrostów-formuły Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  12. Rozwiązanie – estymacja pomocniczego modelu Wykorzystując dane z kolumny A i D arkusza przedstawio-nego na slajdzie 10 (bez pozycji i=1) będziemy estymować model z zamiarem wykazania, że parametr b jest równy ZERO Zrobimy to poprzez weryfikację hipotezy H0:b=0.W sytuacji, gdy nie będziemy mieli podstaw do odrzucenia H0:B=0 będziemy mogli uznać, że przyrosty względne y-ka są STAŁE, a tym samym y-ek zależy wykładniczo od czasu! Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  13. Rozwiązanie numeryczne (1) Do obliczeń wykorzystamy procedurę Liniowa z menu Regresja arkusza StatystykaJG.xls. Przed wywołaniem tej procedury musimy przygotować spójny obszar danych dla zmiennej niezależnej (czasu) jak i zmiennej zależnej (przyrostów względnych d(y)). Zaczniemy od wyselekcjonowania komórki A1, a następnie przy wciśniętym klawiszu Ctrl selekcjonujemy obszar A3:A11, komórkę D1 oraz obszar D3:D11. Zaznaczone obszary pokazane są na kolejnym slajdzie. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  14. Rozwiązanie numeryczne (2) – zaznaczone obszary arkusza Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  15. Rozwiązanie numeryczne (3) – skopiowanie danych w inne miejsce Korzystając z dowolnej metody umieszczamy zaznaczony fragment arkusza w schowku Windows Zawartość schowka wkleimy w innym miejscu arkusza, może to być przykładowo obszar zaczynający się komórką G1 Po ustawieniu kursora w tej komórce wywołujemy polecenie Wklej specjalnie i wybieramy opcję Wartości – jest to konieczne z uwagi na formuły w zaznaczeniu. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  16. Rozwiązanie numeryczne (4) – dane skopiowane Dane z obszaru G1:H10 zostaną wykorzystane w procedurze Liniowa Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  17. Obliczenia – wskazanie danych wyjściowych Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  18. Uruchomienie obliczeń Pytanie o kontynuację obliczeń – odpowiadamy Tak Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  19. Wyniki weryfikacji H0:b=0 W obszarze M3:N3 mamy dolny i górny kraniec przedziału ufności dla wsp. regresji b – krańce są różnych znaków, co oznacza, że zero należy do tego przedziału, tym samym nie ma podstaw do odrzucenia H0 Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  20. Podsumowanie badania, czy przyrosty względne są stałe (1) Na slajdzie 19 wskazałem, że z uwagi na fakt, że zero należy do przedziału ufności dla współczynnika regresji b NIE MAMY podstaw do odrzucenia H0:b=0 wobec H1:b<>0 Analogiczny wniosek możemy sformułować wykorzystująć statystykę F –Fishera dla weryfikacji tej samej hipotezy. W komórce N7 mamy p-value, jego wartość jest większa niż domyślne alfa=0,05 Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  21. Podsumowanie badania, czy przyrosty względne są stałe (2) Fakt, że nie mamy podstaw do odrzucenia H0:b=0 wobec H1:b<>0 przy rozpatrywaniu modelu Oznacza, że przyrosty względne zmiennej y-ek są stałe, co automatycznie wskazuje na związek wykładniczy między zmienną y-ek a czasem t Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  22. Co dalej? Pozostaje nam estymacja modelu wykładniczego Jest to jednak model krzywoliniowy, przed jego estymacją musimy go linearyzować. Logarytmując obustronnie mamy: Co pozwala już na użycie standardowej procedury estymacji modelu liniowego Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  23. Przygotowanie danych do estymacji modelu wykładniczego W kolumnie C są logarytmy danych z kolumny B, do estymacji wykorzystamy dane z obszaru A1:A11 oraz C1:C11 Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  24. Estymacja – wskazanie danych Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  25. Estymacja – wykresy i badanie założeń Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  26. Pytanie o kontynuację obliczeń… Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  27. Wyniki estymacji w nowym arkuszu Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  28. Ocena wyników estymacji (1) Test serii został wykorzystany do zweryfikowania hipotezy, że zależność między ln(y) a czasem jest liniowa. Wniosek jest oczywisty – wynika bowiem z naszych wcześniejszych rozważań dotyczących ustalenia, czy y-ek zależy wykładniczo od czasu Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  29. Ocena wyników estymacji (2) Pokazane są wyniki badania założeń o normalności reszt losowych i braku autokorelacji – w obu przypadkach założenia są spełnione. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  30. Ocena wyników estymacji (3) Mamy oceny parametrów modelu wraz z ich błędami oraz 95% przedziałami ufności oraz wyniki weryfikacji hipotezy o istotności regresji (H0:b=0 vs H1:B<>0). Hipotezę H0 odrzucamy, tym samym istnieje istotny liniowy związek między ln(y) a czasem. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  31. Ocena wyników estymacji (4) Model ln(y)=ln(a)+bt jest istotny statystycznie, możemy więc podać interpretację współczynnika regresji b: Jeżeli czas wzrośnie o jednostkę, to ln(y) średnio wzrośnie o 0,20 jednostki. Uwzględniając przedział ufności dla współczynnika regresji można rozszerzyć ten wniosek do postaci:z 95% ufnością mamy prawo oczekiwać, że przy wzroście czasu o jednostkę ln(y) średnio wzrośnie o nie mniej niż 0,15 jednostek, ale nie więcej niż o 0,25 jednostek. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  32. Ocena wyników estymacji (5) Procedura Liniowa zwróciła także wartości współ-czynników korelacji i determinacji. Temu ostatniemu można nadać następującą interpretację: zmienność ln(y) w prawie 91% jest wyjaśniona upływem czasu. Na slajdzie pokazana jest także macierz, którą wykorzystamy do prognozy. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  33. Ocena wyników estymacji (6) Procedura Liniowa wyprowadza także pokazane wyżej wyniki, mamy tu czas, obserwowane wartości Y (u nas ln(y)), wartości teoretyczne wynikające z modelu, oraz przedziały ufności i predykcji oraz reszty. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  34. Ocena wyników estymacji (7) Na podstawie danych z poprzedniego slajdu przygotowany jest pokazany niżej wykres. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  35. Retransformacja wyników (1) Wszystkie pokazane dotychczas wyniki estymacji jak i sformułowane wnioski dotyczą cechy ln(y) a nie samego y-ka. Niżej pokazane są dane ze slajdu 33 po retransformacji, czyli po powrocie do cechy y-ek. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  36. Retransformacja wyników (2) Poniżej wykres zrobiony „ręcznie” na podstawie danych retransformowanych. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  37. Prognoza przyszłych wartości (1) Wykorzystamy teraz wyestymowany model do wyznaczenia prognozowanej wielkości produkcji telewizorów w kolejnym roku, czyli w 1995 roku. Precyzyjnie będziemy prognozować logarytm naturalny przewidywanej wielkości produkcji, ale po retransformacji będziemy mogli wrócić do rzeczywistej wielkości produkcji w 1995 roku. Prognozę wykonamy w tym arkuszu, w którym procedura Liniowa zwróciła wyniki estymacji modelu d(y)=ln(a)+bt Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  38. Prognoza przyszłych wartości (2) Do prognozy wykorzystamy dane z zaznaczonych obszarów … Oraz obszar A43:A44, gdzie wpisałem etykietę oraz wartość czasu w 1995 roku Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  39. Prognoza przyszłych wartości (3) Do wykonania prognozy wykorzystam procedurę Prognozowanie z menu Regresja Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

  40. Prognoza przyszłych wartości (4) Procedura Prognozowanie zwróciła wyniki w obszarze B43:H44, od wiersza 46 zapisałem wyniki prognozy po retransformacji. Z 95% pewnością mamy prawo oczekiwać, że wielkość produkcji w 1995 roku będzie nie mniejsza niż 14,51 tys. sztuk, ale nie większa niż 45,52 tys. sztuk Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

More Related