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Analyse statistique des données expérimentales. Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor. Plan. Introduction : incertitudes sur les données Probabilités Distributions de probabilités Incertitudes, propagation des incertitudes Ajustement de courbes.

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analyse statistique des donn es exp rimentales

Analyse statistique des données expérimentales

Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques

John Taylor

slide2
Plan
  • Introduction : incertitudes sur les données
  • Probabilités
  • Distributions de probabilités
  • Incertitudes, propagation des incertitudes
  • Ajustement de courbes
mesure et incertitude
Mesure et incertitude
  • Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie
  • La science de la mesure consiste à
    • mesurer à la meilleure précision possible
    • d’évaluer l’incertitude sur la mesure
erreur vs incertitude
Erreur vs incertitude
  • Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue)
  • Incertitude : écart probable
  • Les barres d’incertitude contiennent probablement la valeur vraie
  • Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude
  • Mieux vaut une mesure présentant une grande incertitude mais qui contienne la valeur vraie que l’inverse
mesure et incertitude1
Mesure et incertitude
  • Chiffres significatifs et mesure
  • Quelle est la signification de :
    • Albert a 22 ans
    • J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo
    • Le LEP mesure 26,66 km de circonférence
    • Ce pointeur laser éclaire à 50 m
    • This laser pointer shines to 54,68 yards
mesure et incertitude2
Mesure et incertitude
  • Quelle est la signification de:
    • G = (6,67428 ± 0,00067) × 10-11 m3 kg-1s-2
    • me= (9,10938215 × 10-31 kg) ± 50 ppb
    • www.physics.nist.gov/constants
chiffres significatifs
Chiffres significatifs

a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte)

a = 7,3 ± 0,3

a = 7,356 ± 0,04

a = 7,3568 ± 0,005

a = 7,35678 ± 0,0007

On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif

On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif

chiffres significatifs exemple
Chiffres significatifs (exemple)
  • Soit a = 3 m et b = 7 m
  • a/b = 0,428571 ... ?
  • a/b = 0,4
incertitude
Incertitude
  • Erreur de mesure
  • Erreur systématique
  • Incertitude aléatoire
  • Incertitude sur une quantité dérivée
  • Propagation des incertitudes
  • Distribution de probabilité
erreur de mesure
Erreur de mesure
  • Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres:
    • La précision ~ ½ mm
  • Mesure de tension avec un multimètre:
    • La précision dépend de l’appareil
    • L’appareil est très précis mais la tension varie
erreur syst matique
Erreur systématique
  • Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm
    • Mais la règle est fausse de 10% !
  • Vous avez mesuré une tension à 0,01%
    • Mais l’appareil est décalibré de 5%
  • Vous avez fait une mesure avec grand soin
    • Mais un des appareils était débranché
incertitude al atoire statistique
Incertitude aléatoire (statistique)
  • Vous répétez une mesure 100 fois
  • Les résultats se ressemblent mais ...
incertitude1
Incertitude
  • L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité
  • L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement
  • L’incertitude = 1 déviation standard
incertitude2
Incertitude

Quelle est la signification de:

  • G = (6,67428 ± 0,00067) × 10-11 m3 kg-1s-2
  • me= (9,10938215 × 10-31 kg) ± 50 ppb
  • L’incertitude = une déviation standard
  • La probabilité que la vraie valeur soit dans cet intervalle est de 68%
exemple de mesures
Exemple de mesures
  • Fréquence d’un pendule (~ 1 s)
  • Chronomètre très précis (~ 1s par an)
  • À quelle précision puis-je mesurer la période ?
    • quelques dixièmes de seconde
  • L’histogramme présente une fluctuation
  • Je peux moyenner sur plusieurs périodes
exemple de mesures1
Exemple de mesures
  • Fréquence de ma respiration
  • Même précision de mesure que précédemment
  • L’histogramme est plus large
  • Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure
  • Je peux moyenner
slide18
Non
  • Je compte 100 périodes ~ 100 s ± 0,2 s
  • Plus facile et plus précis qu’avec plusieurs mesures
  • 100 mesures de ~2 s à ± 0,2 s donnent
incertitude relative ou fractionnaire
Incertitude relative ou fractionnaire
  • G = (6,67428 ± 0,00067) × 10-11 m3 kg-1s-2
  • G = 6,67428 × 10-11 m3 kg-1s-2
  • dG = 0,00067 × 10-11 m3 kg-1s-2
  • dG/G = 0,00067/ 6,67428 = 10-4 = 0,01 %
  • me= (9,10938215 × 10-31 kg) ± 50 ppb
  • d me/ me = 5 × 10-8
  • d me= 4,6 × 10-38 kg
propagation des incertitudes additions et soustractions
Propagation des incertitudesAdditions et soustractions
  • a = 9 ± 3 a entre 6 et 12
  • b = 7 ± 2 b entre 5 et 9
  • s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21
  • d = a - b = 2 ± 5 car d entre -3 et 7
propagation des incertitudes produits et quotients
Propagation des incertitudesProduits et quotients
  • a = 29 ± 3 a entre 26 et 32
  • b = 37 ± 2 b entre 35 et 39
  • ab = 1073 et est entre 910 et 1248
propagation d incertitudes pour une somme
Propagation d’incertitudes pour une somme
  • Soit 2 mesures x ± dx et y ± dy
  • z = x + y dz = dx + dy (provisoire)
  • La règle est provisoire car on exagère un peu
  • x ± dx contient ~68%
  • y ± dy contient ~68%
  • z ± dz contient ~90%, ce qui surévalue dz
propagation d incertitudes pour un produit
Propagation d’incertitudes pour un produit
  • a = 29 ± 3
  • b = 37 ± 2
  • z = ab = 1073 ± 169
propagation d incertitudes pour un quotient
Propagation d’incertitudes pour un quotient
  • z=a/b On trouve le même résultat :
  • (règle provisoire)
slide25
Ajouter ou soustraire un nombre exact ne change pas l’incertitude absolue
  • a = 7,3 ± 0,2
  • b = 4
  • a + b = 11,3 ± 0,2
  • Multiplier ou diviser par un nombre exact ne change pas l’incertitude relative
  • 4 x (7,3 ± 0,2) = 29,2 ± 0,8
puissance
Puissance
  • et on additionne les incertitudes relatives
  • a une incertitude 4 fois celle de a
  • ça ressemble à une dérivée
incertitudes ind pendantes
Incertitudes indépendantes
  • z = x + y
  • dz = dx + dy surestime l’incertitude sur z si les dx et dy sont indépendants
  • l’erreur sur x a autant de chance d’être + ou -
  • l’erreur sur y a autant de chance d’être + ou -
incertitudes ind pendantes1
Incertitudes indépendantes
  • x et y sont des variables indépendantes
  • Et dx et dy sont des erreurs indépendantes
  • Leurs effets s’additionnent quadratiquement
incertitudes ind pendantes2
Incertitudes indépendantes

pour des incertitudes indépendantes

propagation d erreurs
Propagation d’erreurs

(sans corrélations)

probabilit
Probabilité
  • Probabilité qu’un événement X se produise

Où N = nombre d’essais

probabilit1
Probabilité
  • On lance un dé
  • 6 résultats possibles
  • Chaque résultat a un pi = 1/6

Normalisation

compl ment
Complément
  • p = la probabilité que X se produise
  • 1 - p = la probabilité que X ne se produise pas
  • q = 1 - p est le complément de p
calcul de la probabilit
Calcul de la probabilité
  • 1) Calculez le nombre total de combinaisons N,supposées équiprobables
  • 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S
  • 3) p = S/N
calcul de probabilit
Calcul de probabilité
  • Probabilité de tirer 3 avec 1 dé
  • 1) N = 6 possibilités
  • 2) S = 1 seule bonne combinaison
  • 3) p = 1/6
calcul de probabilit1
Calcul de probabilité
  • Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés
  • 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités
  • 2) S = 3 (1,3) (2,2) (3,1)
  • 3) p = 3/36 = 1/12
calcul de probabilit2
Calcul de probabilité
  • Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés
  • 1) N = 36
  • 2) S = 6 (énumérez les)
  • 3) p = 6/36 = 1/6
distribution de probabilit
Distribution de probabilité
  • Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement
  • Se présente sous forme graphique
distributions
Distributions
  • Propriétés des distributions
    • Moyenne, mode, médiane
    • Valeur attendue
    • Moments
  • Distributions de probabilité particulières
    • Binôme, Gauss, Poisson, ...
2 types de distributions
2 types de distributions
  • Distributions discrètes
  • Distributions continues
distributions discr tes
Distributions discrètes

(comme on a déjà vu)

  • P(xi) > 0 pour des xidiscrets
  • P(xi) = 0 partout ailleurs
distributions continues
Distributions continues
  • Le nombre de résultats permis est 
  • Chaque résultat a une probabilité = 0
  • On définit la densité de probabilité

f(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre

x et x + dx

Normalisation:

slide50
Mode
  • Valeur la plus probable

= 7 pour la somme de 2 dés

Non défini pour un dé

Non défini pour pile ou face

m diane
Médiane
  • Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales
  • = 7 pour la somme de 2 dés
  • = 3,5 pour un dé

(ou toute valeur entre 3 et 4)

moyenne
Moyenne
  • Ou valeur attendue
  • Discrète :
  • Continue :
pour une distribution sym trique
Pour une distribution symétrique
  • Moyenne = Mode = Médiane
valeur estim e
Valeur estimée
  • Moyenne =
    • est la valeur attendue (ou estimée) de x
    • Notée
  • La moyenne de x est la valeur estimée de x
  • La valeur attendue de toute fonction f(x) est
normalisation
Normalisation

La normalisation représente la valeur attendue de 1

qui est bien sûr égale à 1

slide58

Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes

Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?

Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non

slide59

Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes

Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?

Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non

Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe

moments
Moments
  • Différentes distributions peuvent avoir la même moyenne mais être différentes
moments1
Moments
  • On peut représenter une distribution par l’ensemble de ses moments

Normalisation

Moyenne

...

moments centr s
Moments centrés
  • On soustrait la moyenne pour recentrer

Normalisation

Moyenne recentrée = 0

Variance = s

...

cart type
Écart-type
  • Représente la largeur de la distribution

s = Écart quadratique moyen

= Déviation moyenne

mesure et incertitude3
Mesure et incertitude
  • Je mesure une quantité 5 fois
  • x = 17, 16, 18, 17, 18
  • Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ?
probabilit de n v nements
Probabilité de N événements
  • Obtenir 25 piles en 35 lancers
  • Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers
  • Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes
  • Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure
  • Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle
distribution bin miale
Distribution binômiale
  • On lance un dé 100 fois
  • La valeur attendue du nombre de 6 est ~17
  • Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ?
slide67
Toutes les séries (a1, a2,..., a100) sont équiprobables
  • La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6
  • Chaque combinaison de r succès et n- r échecs a une probabilité
  • Il y a combinaisons de r succès

Probabilité pour r succès et n- r échecs =

d sint gration radioactive
Désintégration radioactive
  • 1 g de radium = 2,7*1021 atomes =1 Ci = 1,7*1010 désintégrations/s
  • Demi-vie = 5,26 *108 min ~ 1000 ans
  • Probabilité qu’un atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 10-8
  • µ = np = 5*1012 désintégrations en 5 minutes
slide71
Probabilité de r désintégrations =

Mais n! est impossible à calculer

n est très grand

p est très petit

np = µ est fini

On remplace p par µ/n

slide75

n = 10, p = 0,5

µ = 5

n = 100, p = 0,05

µ = 5

rayons cosmiques
Rayons cosmiques
  • 180 rayons cosmiques / (m2 min)
  • Combien en passe-t-il en 10 secondes ?
  • µ = 180*10/60 = 30
  • On peut prédire qu’il passera

rayons cosmiques en 10 secondes

distributions de poisson
Distributions de Poisson
  • Nombre de fautes de frappe dans une page
  • Nombre d’individus vivant plus de 100 ans
  • Nombre de a émis par une source
  • Nombre d’incendies à Montréal par semaine
  • Nombre de gens tirant le numéro gagnant
additivit
Additivité
  • x obéit à
  • y obéit à
  • Alors, z = x + y obéit à
additivit1
Additivité
  • x obéit à
  • y obéit à
  • Alors, z = x + y obéit à
distribution gaussienne
Distribution gaussienne
  • La distribution de Poisson est asymétrique
  • Mais devient plus symétrique pour µ grand
  • Pour µ>30, la distribution est symétrique
distribution gaussienne1
Distribution gaussienne
  • Abraham de Moivre 1733
  • Distribution continue de à
  • Maximum en x = µ
  • Forme en cloche
  • D’application très générale
    • Théorème de la limite centrale
  • Approximation de pour µ grand
distribution gaussienne2
Distribution gaussienne
  • Taille des individus
  • QI
  • Incertitudes
  • Vitesse des molécules
distribution gaussienne3
Distribution gaussienne
  • 2 paramètres : µ et s
  • Symétrique autour de µ
additivit2
Additivité
  • x obéit à
  • y obéit à
  • Alors, z = x + y obéit à
distribution normale
Distribution normale
  • Distribution gaussienne
  • µ = 0

s = 1

Fonction tabulée

Fonction standard

th or me de la limite centrale
Théorème de la limite centrale
  • Sans démonstration
  • Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne
th or me de la limite centrale1
Théorème de la limite centrale
  • Soit xii = 1, ..., n n variables indépendantes
  • Les xi obéissent à des distributions caractérisées par des µi et des si
  • Alors, est distribuée selon une
  • gaussienne avec
lorentz
Lorentz
  • Pas de lien avec les autres distributions
  • Phénomènes de résonance
  • Circuits RLC
lorentz1
Lorentz
  • s est infini
  • On utilise G