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FEM: Fehlerquellen und Fehler

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FEM: Fehlerquellen und Fehler. Die Studierenden sollen Fehlerquellen bei FEM kennen und Möglichkeiten zur Fehlerminimie-rung nutzen können. Vom physikalische Problem zum Rechenmodell. Quelle: S. Bischoff, Stuttgart. FE-Methode. Systemzerlegung und Zusammenbau Element- und Systemsteifigkeiten

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fem fehlerquellen und fehler
FEM: Fehlerquellen und Fehler
  • Die Studierenden sollen Fehlerquellen bei FEM kennen und Möglichkeiten zur Fehlerminimie-rung nutzen können.
vom physikalische problem zum rechenmodell
Vom physikalische Problem zum Rechenmodell

Quelle: S. Bischoff, Stuttgart

fe methode
FE-Methode
  • Systemzerlegung und Zusammenbau
  • Element- und Systemsteifigkeiten
  • Lasten und Randbedingungen
  • Lösung des Gleichungssystems und Rückrechnung
approximationen
Approximationen
  • bei der Aufgabenstellung
    • Die Wahl der einzelnen finiten Elemente bedingt die Form des Gebietes (z.B. FE bei Kreisscheibe)
  • bei der Lösung
    • Formfunktionen
    • isoparametrisches Konzept
    • numerische Integration
isoparametrische konzept
Isoparametrische Konzept

Die Geometrie und die Verschiebungen, also die unverformte und die verformteGeometrie werden mit denselben Formfunktionen approximiert.

prinzip vom minimum der potentiellen energie
Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie
  • Prinzip der virtuellen Verschiebungen
    • Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, ist für beliebige, infinitesimal kleine, virtuell auf den Körper einwirkende Verschiebungen, die die Auflagerbedingungen erfüllen, die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der äusseren virtuellen Arbeit.
anforderungen an die ans tze der fem
Anforderungen an die Ansätze der FEM
  • Konsistenz = Vollständigkeit + Kompatibilität
  • Stabilität = ausreichende Integrationsordnung + reguläre Elementformen
konvergenzrate und genauigkeit
Konvergenzrate und Genauigkeit
  • Konvergenzrate: sagt aus, wie schnell eine bestimmte Fehlergrösse mit Netzverfeinerung gegen Null strebt.
  • Genauigkeit: Der absolute Fehler sollte bei erträglichen Rechenzeiten unterhalb einer bestimmten Grenze liegen.
locking
Locking

bezeichnet das Phänomen einer von einem bestimmten Parameter abhängenden, reduzierten Konvergenzrate bei groben Netzen.

reduzierte Konvergenzrate: bei Netzverfeinerung ist die Verbesserung der Lösung geringer, als es die mathematische Theorie vorhersagt.

fem n herungsl sungen
FEM-Näherungslösungen
  • Die FEM-Näherung ist bei gleichmässiger Elementgrösse im Bereich geringerer Spannungsgradienten besser als im Bereich höherer Spannungsgradienten.
  • Die Elementspannungen sind in Elementmitte deutlich genauer als am Elementrand.
  • Der Spannungssprung zwischen zwei Elementen ist ein Mass für die Genauigkeit an der betreffenden Stelle.
fehlerm glichkeiten bei stabwerkberechnungen
Fehlermöglichkeiten bei Stabwerkberechnungen
  • Fehler im Berechnungsmodell
  • Eingabefehler
  • numerische Fehler
  • Programmfehler

(Werkle S. 157)

kontrolle von stabwerksberechnungen
Kontrolle von Stabwerksberechnungen
  • Grobkontrolle
    • Graphische Darstellung des Systems
    • Kontrolle der Summe der Lasten jedes Lastfalls
    • graphische Darstellung der Verformungen
    • graphische Darstellung massgebender Schnittgrössen
  • Prüfung der Eingabedaten auf Vollständigkeit
  • Kontrollen bei singulärer Steifigkeitsmatrix
  • Feinkontrolle
dokumentation der berechnungen eingabewerte
Dokumentation der BerechnungenEingabewerte:
  • alle relevanten Eingabewerte
  • Numerierung der Knotenpunkte und Elemente
  • Knotenpunktkoordinaten
  • Querschnitts-, Material- und Bemessungskennwerte
  • Auflager- und Gelenkdefinitionen
  • Lasten
  • graphische Darstellung aller Lastfälle
  • Summe der Lasten
  • Vorschrift zur Lastfallüberlagerung
dokumentation der berechnungen ergebnisse
Dokumentation der BerechnungenErgebnisse:
  • Auflagerkräfte (einzeln und Summe lastfallweise)
  • graphische und tabellarische Darstellung der Schnittgrössen
  • graphische und tabellarische Darstellung der Durchbiegungen
  • Bemessungskennwerte und Bemessung bzw. sonstige statische Nachweise
n herungscharakter der fem
Näherungscharakter der FEM

Lesen und bearbeiten Sie im Buch Werkle FEM die Kapitel:

  • 4.3.1 Eindimensionales Erläuterungsbeispiel
  • 4.3.2 Analytische Lösung
  • 4.3.3 FEM-Näherungslösung mit linearem Verschiebungsansatz
forderung an exakte l sung
Forderung an exakte Lösung
  • An der Grenzlinie benachbarter Elemente müssen die Verschiebungsgrössen beider Elemente übereinstimmen.
  • An der Grenzlinie müssen die Kraftgrössen beider Elemente die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.
  • An gelagerten Rändern sind die Auflagerbedingungen zu erfüllen.
  • An freien Rändern ist das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen zu erfüllen.
fem n herungsl sungen22
FEM-Näherungslösungen
  • Die FEM-Lösung nähert die exakte Lösung an. Ihre Genauigkeit wird durch eine Vergrösserung der Elementzahl bzw. eine Verringerung der Elementgrösse erhöht.
  • Elemente mit höheren Ansatzfunktionen sind genauer als Elemente mit niedrigeren.
  • Bei Finiten Elementen, die ausschlieslich auf Verschiebungsansätzen beruhen, sind die angenäherten Knotenverschiebungen im Mittel zu klein, d.h. das System verhält sich aufgrund des Näherungsansatzes zu "steif".
eigenschaften der fem n herungsl sung
Eigenschaften der FEM-Näherungslösung
  • Genauigkeit wird durch Vergrösserung der Elementzahl erhöht.
  • Elemente mit höhern Ansatzfunktionen sind genauer.
  • Bei Verschiebungsansätzen sind die Knotenverschiebungen im Mittel zu klein.
  • bessere Genauigkeit im Bereich geringer Spannungsgradienten.
  • Elementspannungen in der Mitte genauer als am Rand.
  • Spannungsprung zwischen zwei Elementen ist Mass für die Genauigkeit.
eigenschaften der fem mit verschiebungsans tzen
Eigenschaften der FEM mit Verschiebungsansätzen
  • Verschiebungsgrössen stimmen an den grenzen benachbarter Elemente überein.
  • Die Gleichgewichtsbedingungen für Kraftgrössen werden an den Grenzlinien nicht erfüllt.
  • Die Auflagerbedingungen werden an gelagerten Rändern erfüllt.
  • An freien Rändern wird das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen nicht erfüllt.
numerische integration
Numerische Integration

Für die Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix Kund des Vektors Fder konsistenten Knotenlasten müssen Integrale gelöst werden.

In FEM-Programmen wird die Integration in der Regel numerisch ausgeführt, meist nach Gauss. Dabei wird das Integral durch eine Summe von Funktionswerten multipliziert mit einem Gewichtsfaktor ersetzt.

numerische integration nach gauss legendre
Numerische Integration nach Gauss-Legendre

1-dimensional

2- dimensionale Gebiete

kondition einer matrix
Kondition einer Matrix

Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten.

Die Konditionszahl stellt ein Mass für diese Abhängigkeit dar; sie beschreibt den Faktor, um den der Eingangsfehler im ungünstigsten Fall verstärkt wird.

Sie ist unabhängig von konkreten Lösungsverfahren.

kondition einer matrix28
Kondition einer Matrix

Eine positiv definite Matrix hat nur positive Eigenwerte k , k = 1 . . . n.

Die Konditionszahl einer solchen Matrix ist der Quotient von grösstem und kleinsten Eigenwert:

Ist k gross, so ist die Matrix schlecht konditioniert.

faustregel
Faustregel

Die Grössenordnung der Konditionszahl gibt die Anzahl der Stellen in den Ergebnissen angibt, die nicht mehr genau berechnet werden können.

Ist beispielsweise k ≈ 107 , dann kann bei einem real*4-Ergebnis mit 8 Stellen nur eine Ziffer sinnvoll ausgewertet werden.

bandbreite von matrizen31
Bandbreite von Matrizen

Die Matrix K ist meist schwach besetzt, d.h. bis auf die Hauptdiagonale und wenige Nebendiagonalen besteht die Matrix nur aus Nullelementen.

-> Bandmatrix, entsteht nur bei günstiger, d.h. fortlaufender Numerierung der Knoten.

Charakteristisch ist die halbe Bandbreite einer n  n-Matrix. Sie ist

o(i) = Position des ersten Nichtnullelements der i-ten Zeile

iterative l sungsverfahren f r gleichungssysteme
Iterative Lösungsverfahren für Gleichungssysteme
  • Jakobi-Verfahren
  • Gauss-Seidel-Verfahren
  • konjugiertes Gradientenverfahren
weitere probleme
Weitere Probleme
  • Thermische Veränderungen
    • Temperaturgradient
    • unterschiedliches Materialverhalten
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