W. Durner und S.C. Iden, SS2012. Unsicherheiten - 3

1. Extended multistep outflow method for the accurate determination of soil hydraulic properties close to water saturation (Un-)sicherheiten in der Ökosystemmodellierung W. Durner und S.C. Iden, SS2012. Unsicherheiten - 3

2. Inhalt Ökosysteme/Modelle Daten, Fehler, Unsicherheiten Fehlerrechnung Parameterschätzung Stochastik Intervallarithmetik Fuzzy Set Theorie Monte Carlo Verfahren

3. Quantifizierung von Unsicherheiten • Top down:Wiederholung von Messungen und deren statistische Auswertung • Bottom up:Berechnung der Fehlerpropagation

4. Modellfehler erkennen: Residuenanalyse • Unabhängigkeit der Residuen: • Beispiel: Niederschlags-Abfluss Modellierung - Topmodel + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + - - -

5. Propagation von Unsicherheiten durchs Modell F(i ,j) Output Input i - Prozessparameter i - Eingangsgrößen: Rand- und Anfangsbedingungen

6. Propagation von Unsicherheiten Entscheidend: Das Wissensniveau • Nur Werteintervall bekannt, keine Vorstellung über Verteilung innerhalb des Intevalls • Min-Max-Abschätzung (Intervallarithmetik) • Werteintervall bekannt, sowie grobe Vorstellung über Verteilung innerhalb des Range („unscharfe Zahl“) • Fuzzy-Number Rechnungen • Verteilungsform und –Parameter bekannt • Monte Carlo-Verfahren • Fehler sind normalverteilt mit bekannter Varianz • Gauss‘sche Fehlerfortpflanzung

7. Min-Max-Abschätzung: Intervallarithmetik • Def.: Abgeschlossenes Intervall • Beobachtungs-/Messgenauigkeit • Rundungsfehler

8. -60 1=-66 cm 10 cm K-63cm = 20 cm/d 2=-60 cm

9. x[xu,xo] [0.5,8] [1,4] F(x) y [yu,yo] Intervallarithmetik

10. Zusammenfassung • Elementare Rechenoperationen: • Addition: • Subtraktion: • Multiplikation: • Division: mit

11. Zusammenfassung • f(x)=x2

12. a1=a2=a3 „Viereckige“ a1 a2 a3 a4 a1=a2 a3=a4 Fuzzy Set Theorie • Unscharfe Zahlen statt pure Intervalle „Dreieckige“ Sonderfall: “Reelle Zahl“ 1 0 Zugehörigkeitsgrad a1 a2 a3 Sonderfall: “Intervall“ 1 0 x

13. -x1, x1 -x2, x2 x1 x2 f(x) -y, y y Fehlerrechnung (Gauss) Eingangsgrößen: - normalverteilt - unabhängig

14. Fehlerrechnung: »Sensitivität« • Sensitivität: »Sensitivität von f(x) auf xi« f(x+x) f(x)+f‘(x)x f f(x) x x x+x

15. Sensitivitätsanalyse: »relative Sensitivität« • Sensitivitäten(normiert): f(x+x) f(x)+f‘(x)x f f(x) x x x+x

16. Fehlerrechnung • Fehlerfortpflanzung nach Gauß: mit: - Varianzen der Eingangsgrößen xi - Varianz der Zielgröße y

17. !!! Fehlerrechnung • Für unkorrelierten (!) Fehler gilt: • Reduktion durch wiederholtes Messen • Summe oder Differenz:

18. Fehlerrechnung • mit relativem Fehler: • Produkt oder Quotient:

19. Zusammenfassung • Voraussetzung für Gauß‘sche Fehlerrechnung sind unkorrelierte normalverteilte Fehler der Eingangsgrößen. • Bei offensichtlicher Verletzung der voraussetzungen kann eventuell mit transformierten Daten gerechnet werden

20. Datentransformation • Test auf Normalverteilung • Beibehaltung der Nullhypothese  »Beweis« für normalverteilt! • Datentransformationen • Logarithmieren von Daten! • Weitere Transformationen

21. Sinnlosigkeit von Unsicherheitsberechnungen • Verletzung von Annahmen • Verteilungstyp der Eingangsfehler (-> Datentransformation) • Homoskedastizität (-> Datentransformation) • Richtigkeit des Modells • Richtigkeit der Parametrisierung • Autokorrelation von Eingangsdaten • Kreuzkorrelation von Eingangsdaten (Bsp. Temperatureinfluss) • Interpretation statistischer Unsicherheitsmaße bei Modellfehlern • Beispiel B&C-Fit an Retentionsdaten; Parameterunsicherheit • Beispiel dynamische Effekte; PI mit Richardsgleichung

22. Ende